Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có định nghĩa sau:

• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90°.

• Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d' của đường thẳng d trên (P).

Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy là tam giác ABC cân tại A, góc BAC bằng 120° và AB = 2a. Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC, biết $A{A}^{\text{'}}=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có: AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABC) và tam giác AA'H vuông tại H. Do đó, góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AA' và AH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có: $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=60°,$ suy ra AH = a.

Xét tam giác AA'H vuông tại H, có: $\cos \widehat{HA{A}^{\text{'}}}=\frac{AH}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ suy ra $\widehat{HA{A}^{\text{'}}}=45°\text{.}$

Do đó $\left(A{A}^{\text{'}},AH\right)=45°$, hay góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 45°.

2. Góc nhị diện

2.1. Khái niệm

Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần được gọi là một nửa mặt phẳng và đường thẳng đó được gọi là bờ của mỗi nửa mặt phẳng này.

Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.

Trong hình trên, ta có góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) có chung bờ là đường thẳng d, kí hiệu [P, d, Q]. Đường thẳng d gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P) và (Q) là một mặt của góc nhị diện.

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N lần lược là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P) và (Q) nhưng không thuộc đường thẳng d.

2.2. Số đo của góc nhị diện

Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d.

Qua một điểm O trên đường thẳng d, ta kẻ hai tia Ox, Oy lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cùng vuông góc với đường thẳng d. Góc xOy gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

Góc x'O'y' cũng là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho với O' khác O.

Nhận xét:

• Số đo góc phẳng nhị diện xOy không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên cạnh nhị diện và được gọi là số đo của góc nhị diện đã cho.

• Số đo của góc nhị diện từ 0° đến 180°.

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Trong không gian, cho góc nhị diện.

• Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

• Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

• Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90° thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ (ABCD) và $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện [S, BD, C].

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó CO ⊥ BD. (1)

Ta có BD ⊥ AC và BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ SO. (2)

Từ (1) và (2), suy ra góc phẳng nhị diện [S, BD, C] bằng góc SOC.

Xét tam giác SAO, có $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}=SA$ và góc SAO là góc vuông nên tam giác SAO là tam giác vuông cân tại A, suy ra $\widehat{SOA}=45°$; do đó $\widehat{SOC}=135°$.

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BD, C] bằng 135°.

Bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông tại B, AC = 2a, BC = a, $SB=2a\sqrt{3}$. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ $AH\perp SB\left(H\in SB\right).$

Vì

Mà $SB\perp AH$ (do cách dựng) nên $AH\perp \left(SBC\right)$, hay H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBC), suy ra góc giữa SA và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng SA và AH, đây chính là góc ASH hay góc ASB.

Tam giác ABC vuông ở B $\Rightarrow AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=a\sqrt{3}.$

Tam giác SAB vuông ở A $\Rightarrow \sin \widehat{ASB}=\frac{AB}{SB}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{ASB}=30°.$

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°.

Bài 2. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Tính góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right).$

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có $AO\perp BD$ (1).

Mặt khác ta lại có$ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương nên $B{B}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow B{B}^{\text{'}}\perp AO$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $AO\perp \left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right).$

Khi đó, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ chính là góc giữa đường thẳng AB' và B'O.

Xét tam giác vuông AB'O có $\sin \widehat{A{B}^{\text{'}}O}=\frac{AO}{A{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{A{B}^{\text{'}}O}=30°.$

Vậy góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ bằng 30°.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=120°,SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\sqrt{3}a$. Tính tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADC cân tại D, có $\hat{D}=60°$ nên tam giác ADC đều.

Kẻ $CI\perp AD$ tại I.

Ta có: $CI\perp SA\Rightarrow CI\perp \left(SAD\right)$nên SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc giữa hai đường thẳng SC và SI, chính là góc CSI.

Ta có: $SI=\sqrt{S{A}^2+A{I}^2}=$$\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}a.$

Xét $\Delta SCI$ vuông tại I có $\tan \widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Vậy tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) bằng $\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính số đo của các góc nhị diện [S, BC, O];[C, SO, B].

Hướng dẫn giải

Hình chóp S.ABCD đều nên $SO\perp \left(ABCD\right).$

Kẻ $SH\perp BC$ tại H. Ta có $BC\perp SO$ nên $BC\perp \left(SOH\right).$

Suy ra $OH\perp BC$.Do đó, $\widehat{SHO}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, O].

Ta xác định được $OH=\frac{a}{2},OC=OB=\frac{a\sqrt{2}}{2},$$SO=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do đó, $\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\sqrt{2}$. Suy ra $\widehat{SHO}\approx 54,7°.$

Lại có$SO\perp \left(ABCD\right)$ nên $SO\perp OB,SO\perp OC.$

Do đó, $\widehat{BOC}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, SO, B]. Ta có $\widehat{BOC}=90°.$

Vậy các góc nhị diện [S, BC, O];[C, SO, B] tương ứng có số đo là $54,7°;90°.$

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a. Gọi I là trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy và $SI=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$. Tính số đo góc nhị diện [S, BC, D].

Hướng dẫn giải

Ta có SI vuông góc với đáy (ABCD) và $BC=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}=a\sqrt{5}.$

Vẽ $IH\perp CB$ tại H.

Do đó,IH là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (ABCD) nên $SH\perp CB$ (theo định lý ba đường vuông góc).

Khi đó, $\widehat{SHI}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, D].

Ta có $S_{ICB}=S_{ABCD}-S_{IDC}-S_{AIB}$$=3a^2-\frac{a^2}{2}-a^2=\frac{3a^2}{2}$$\Rightarrow IH\cdot CB=3a^2\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{5}}{5}.$

Ta có $\tan \widehat{SHI}=\frac{SI}{IH}=\frac{\frac{3a\sqrt{5}}{5}}{\frac{3a\sqrt{5}}{5}}=1$$\Rightarrow \widehat{SHI}=45°.$

Vậy góc nhị diện [S, BC, D] bằng 45°.

Học tốt Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Các bài học để học tốt Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---