Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a trong mặt phẳng (P), kí hiệu $d\perp \left(P\right)$ hoặc $\left(P\right)\perp d$.

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp AB,SA\perp AC.$ Chứng minh rằng $SA\perp \left(ABC\right)$ và $SA\perp BC$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB và AC là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABC) và $SA\perp AB,SA\perp AC.$

Suy ra $SA\perp \left(ABC\right).$

Mà $BC\subset \left(ABC\right)$ nên $SA\perp BC.$

3. Tính chất

• Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB; M, N là hai điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB sao cho M, N, O không thẳng hàng (xem hình vẽ). Chứng minh M và N thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Ta có: MA = MB suy ra $OM\perp AB;NA=NB$ suy ra $ON\perp AB.$

Suy ra $AB\perp \left(OMN\right).$

Theo giả thiết, ta có (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB. Do qua điểm O chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB nên (P) phải trùng với (OMN), suy ra M và N thuộc (P).

• Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình vuông tâm O (xem hình vẽ). Gọi d là đường thẳng đi qua S và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh d đi qua O.

Hướng dẫn giải

Ta có: SA = SC suy ra $SO\perp AC;SB=SD$ suy ra $SO\perp BD$. Suy ra $SO\perp \left(ABCD\right).$

Theo giả thiết, ta có đường thẳng d đi qua S và vuông góc với (ABCD). Do qua điểm S chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với (ABCD) nên d phải trùng với đường thẳng SO, suy ra d di qua O.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

• Tính chất 3:

+ Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình bình hành có AC cắt BD tại O. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OM ⊥ (ABCD).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình bình hành nên OA = OC, lại có M là trung điểm của SC nên OM là đường trung bình của tam giác SAC, do đó OM // SA.

Mà SA ⊥ (ABCD) nên OM ⊥ (ABCD).

Ví dụ 5. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$. Gọi M là trung điểm của AB. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh a // AA'.

Hướng dẫn giải

Ta có a ⊥ (ABCD) và $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$, suy ra a // AA'.

• Tính chất 4:

+ Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 6. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right).$

Chứng minh rằng $A{A}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right).$

Hướng dẫn giải

Do $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình hộp nên $\left(ABCD\right)//\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\text{.}$

Mà $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$, vậy $A{A}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right).$

Ví dụ 7. Giả sử ABCD và ABMN là hai hình chữ nhật không cùng nằm trong một mặt phẳng (xem hình dưới).

Chứng minh rằng (ADN) // (BCM).

Hướng dẫn giải

Vì hai đường thẳng AD, AN cắt nhau trong mặt phẳng (ADN), AB ⊥ AD, AB ⊥ AN nên AB ⊥ (ADN).

Vì hai đường thẳng BC, BM cắt nhau trong mặt phẳng (BCM), AB ⊥ BC, AB ⊥ BM nên AB ⊥ (BCM).

Vì hai mặt phẳng (ADN) và (BCM) cùng vuông góc với AB nên (ADN) // (BCM).

5. Phép chiếu vuông góc

Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d vuông góc với (P). Gọi M' là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Điểm M' được gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm M lên mặt phẳng (P).

Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M' của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD, SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông tâm O. Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông tâm O nên BO ⊥ AC (1).

Mà SA ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$ SA ⊥ BO (2).

Từ (1) và (2), suy ra BO ⊥ (SAC) nên O là hình chiếu của B lên mặt phẳng (SAC).

Do đó SO là hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAC).

6. Định lí ba đường vuông góc

Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).

Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh $CD\perp SD$ và $CB\perp SB$.

Hướng dẫn giải

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)$, suy ra DA là hình chiếu vuông góc của DS trên (ABCD) và BA là hình chiếu vuông góc của BS trên (ABCD). Do ABCD là hình chữ nhật nên $CD\perp DA$, suy ra theo định lí ba đường vuông góc ta có $CD\perp SD$.

Tương tự ta cũng có $CB\perp AB$, suy ra theo định lí ba đường vuông góc ta có $CB\perp SB$.

Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA = SB = SC = SD.

a) Xác định hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh BD ⊥ SA.

d) Tìm hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

a) Vì DSBD, DSAC cân tại S nên ta có

Suy ra O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Ta có hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên (ABCD) là OA.

c) Ta có hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD) là OA, mặt khác ta có OA ⊥ BD.

Theo định lí ba đường vuông góc ta suy ra BD ⊥ SA.

d) Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm O.

Hình chiếu vuông góc của các điểm O và B trên (ABCD) lần lượt là điểm O và B.

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OB.

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) $BC\perp \left(OAH\right);$

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}.$

Hướng dẫn giải

a) Vì $OA\perp OB,OA\perp OC$ nên $OA\perp \left(OBC\right)$, suy ra $OA\perp BC.$

Vì $OH\perp \left(ABC\right)$ nên $OH\perp BC$, suy ra $BC\perp \left(OAH\right).$

b) Vì $BC\perp \left(OAH\right)$ nên $BC\perp AH$. Tương tự, $CA\perp BH$, do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH và BC, ta có: $OK\perp BC$ và $OA\perp OK$ nên OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OAK và OBC, ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{K}^2}$ và $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}\text{.}$

Từ đó suy ra: $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}.$

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng $BC\perp AD.$

b) Kẻ AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng $AH\perp \left(BCD\right).$

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm của BC nên $AI\perp BC$.(1)

Tam giác DCB cân tại D và I là trung điểm của BC nên $DI\perp BC$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp \left(AID\right)$, suy ra $BC\perp AD.$

b) Ta có $AH\perp DI$ và $AH\perp BC$ (vì $BC\perp \left(ADI\right)$,$AH\subset \left(ADI\right)$ ), suy ra $AH\perp \left(BCD\right).$

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có $DA\perp \left(ABC\right),ABC$ là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ $AH\perp MD$ tại H.

a) Chứng minh rằng $AH\perp \left(BCD\right).$

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng $GK\perp \left(ABC\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $BC\perp DA,BC\perp AM$, suy ra $BC\perp \left(ADM\right)$, suy ra $BC\perp AH$.

Ta lại có $AH\perp DM$, suy ra $AH\perp \left(BCD\right)$.

b) Ta có $\frac{MK}{MD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$, suy ra GK // AD.

Ta lại có $AD\perp \left(ABC\right)$, suy ra $GK\perp \left(ABC\right).$

Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) $B{B}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right);$

b) $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Hướng dẫn giải

a) Vì $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right),A{A}^{\text{'}}//B{B}^{\text{'}}$ và $\left(ABC\right)//\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ nên $B{B}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right).$

b) Vì $BC\perp AB,BC\perp B{B}^{\text{'}}$ nên $BC\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Mà BC // B'C', suy ra $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Học tốt Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Các bài học để học tốt Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---