Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7: Đạo hàm sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 7.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7 Cánh diều

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 7

1. Đạo hàm tại một điểm

1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in \left(a;b\right).$

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và được kí hiệu là $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ hoặc ${y^{\text{'}}}_{x_0}.$

Nhận xét:Trong định nghĩa trên, ta đặt:

$\Delta x=x-x_0$ và gọi ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀;

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ và gọi $\Delta y$ là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x₀.

Khi đó, ta có: $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

1.2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ thuộc khoảng đó.

Để tính đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ của hàm số y = f(x) tại x₀, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀. Tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right).$

Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Bước 3. Tính $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Kết luận: Nếu $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=a$thì $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=a.$

Nhận xét. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

1.3. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số tại t₀: $v\left(t_0\right)=s^{\text{'}}\left(t_0\right).$

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right).$

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right).$

3. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

3.1. Đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ, n > 1)

Hàm số $y=x^n(n\in \mathbb{N},n>1)$ có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và ${\left(x^n\right)}^{\text{'}}=n{x}^{n-1}.$

Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:

• Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)' = 0 với c là hằng số;

• Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)' = 1.

3.2. Đạo hàm của hàm số y = $\sqrt{x}$

Hàm số y = $\sqrt{x}$ có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ,x>0$ và ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

3.3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

• Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và $(\sin x{)}^{\text{'}}=\cos x.$

• Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và $(\cos x{)}^{\text{'}}=-\sin x.$

• Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $(\tan x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

• Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $(\cot x{)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

3.4. Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và ${\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x.$

Tổng quát: Hàm số y = a^x (a > 0, a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và ${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=a^x\ln a.$

3.5. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hàm số y = ln x có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}.$

Tổng quát: Hàm số $y={\log }_{a}x\left(a>0,a\ne 1\right)$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}.$

4. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp

4.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

${\left(f+g\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}+g^{\text{'}};$

${\left(f-g\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}-g^{\text{'}};$

${\left(fg\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}g+f{g}^{\text{'}};$

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f^{\text{'}}g-f{g}^{\text{'}}}{g^2}\left(g=g\left(x\right)\ne 0\right);$

Hệ quả: Cho f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

• Nếu c là một hằng số thì ${\left(cf\right)}^{\text{'}}=c{f}^{\text{'}}.$

• ${\left(\frac{1}{f}\right)}^{\text{'}}=-\frac{f^{\text{'}}}{f^2}\left(f=f\left(x\right)\ne 0\right).$

4.2. Đạo hàm của hàm hợp

• Hàm số $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ được gọi là hàm hợp của hai hàm số $y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)$.

• Cho hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x₀ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại $u_0=g\left(x_0\right)$. Xét hàm hợp $y=f\left(g\right(x\left)\right).$

Ta có quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp như sau:

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u_x^{\text{'}}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là $y_u^{\text{'}}$ thì hàm hợp $y=f\left(g\right(x\left)\right)$ có đạo hàm tại x là $y_x^{\text{'}}=y_u^{\text{'}}.u_x^{\text{'}}.$

Nhận xét: Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp:

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản thường gặp	Đạo hàm của hàm hợp (ở đây u = u(x))
${\left(x^n\right)}^{\text{'}}=n\cdot x^{n-1}$	${\left(u^n\right)}^{\text{'}}=n\cdot x^{n-1}\cdot u^{\text{'}}$
${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2}$	${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{u^2}$
${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	${\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{2\sqrt{u}}$
${\left(\sin x\right)}^{\text{'}}=\cos x$	${\left(\sin u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot \cos u$
${\left(\cos x\right)}^{\text{'}}=-\sin x$	${\left(\cos u\right)}^{\text{'}}=-u^{\text{'}}\cdot \sin u$
${\left(\tan x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	${\left(\tan u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{{\cos }^{2}u}$
${\left(\cot x\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	${\left(\cot u\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{{\sin }^{2}u}$
${\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x$	${\left(e^u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot e^u$
${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=a^x\cdot \ln a$	${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot a^u\cdot \ln u$
${\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$	${\left(\ln u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u}$
${\left({\text{log}}_{a}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$	${\left({\text{log}}_{a}u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$

5. Đạo hàm cấp hai

5.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ tại mọi điểm $x\in \left(a;b\right)$. Nếu hàm số $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y" hoặc $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right).$

5.2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 7

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)$$=3{\left(1+\Delta x\right)}^3-1-\left(3\cdot 1^3-1\right)$$=9\Delta x+9{\left(\Delta x\right)}^2+3{\left(\Delta x\right)}^3.$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9\Delta x+9{\left(\Delta x\right)}^2+3{\left(\Delta x\right)}^3}{\Delta x}$$=9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2;$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2]=9.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(1\right)=9.$

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Hướng dẫn giải

+ Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

+ Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

+ Ta có f(x) – f(2) = |x – 2| – |2 – 2| = |x – 2|.

Với x ≠ 2, ta có $\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\frac{|x-2|}{x-2}.$

Có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-2}=1$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-\left(x-2\right)}{x-2}=-1.$

Do đó, không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}.$

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 3. Cho hàm số $y=\frac{8}{x},x\ne 0$ có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 4).

Hướng dẫn giải

a) Với x ≠ 0, ta có $y^{\text{'}}=-\frac{8}{x^2}.$

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:  

$f^{\text{'}}\left(2\right)=-\frac{8}{2^2}=-2.$

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 4) là:

y = −2(x – 2) + 4 hay y = −2x + 8.

Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y={\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^2;$

b) $y={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right){\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\frac{-2}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$$=-\frac{2}{\sqrt{x}}\frac{1-\sqrt{x}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^3}.$

b) $y^{\text{'}}={\left[{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2\right]}^{\text{'}}$$=2\cdot \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\cdot {\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$

$=2\cdot \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right)$

$=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)$

$=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)$

$=1-\frac{1}{x^2}.$

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$ với x > 0;

b) $y=\left(1+x-2x^2\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-\sqrt[3]{x}\right)}^{\text{'}}\left(1+\sqrt[3]{x}\right)-\left(1-\sqrt[3]{x}\right){\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$=\frac{-\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}\left(1+\sqrt[3]{x}\right)-\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}}{{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}$$=-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}\frac{2}{{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}$$=-\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}.$

b) $y^{\text{'}}={\left(1+x-2x^2\right)}^{\text{'}}\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$$+\left(1+x-2x^2\right){\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)}^{\text{'}}$

$=\left(1-2\cdot 2x\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$$+\left(1+x-2x^2\right)\left(-2x+3\cdot \frac{x^2}{3}\right)$

$=\left(1-4x\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$$+\left(1+x-2x^2\right)\left(-2x+x^2\right)$

$=2-10x-2x^2+\frac{28}{3}{x}^3-\frac{10}{3}{x}^4.$

Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\left(\sin x+2\cos x\right)\left(\sin x-2\cos x+1\right);$

b) $y=\frac{\tan x-1}{\cot x+2}.$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}={\left(\sin x+2\cos x\right)}^{\text{'}}\left(\sin x-2\cos x+1\right)$$+\left(\sin x+2\cos x\right){\left(\sin x-2\cos x+1\right)}^{\text{'}}$

$=\left(\cos x-2\sin x\right)\left(\sin x-2\cos x+1\right)$$+\left(\sin x+2\cos x\right)\left(\cos x+2\sin x\right)$

$=\cos x\sin x-2{\cos }^{2}x+\cos x-2{\sin }^{2}x$$+4\sin x\cos x-2\sin x+\sin x\cos x$$+2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x+4\cos x\sin x$

$=10\sin x\cos x+\cos x-2\sin x$

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(\tan x-1\right)}^{\text{'}}\left(\cot x+2\right)-\left(\tan x-1\right){\left(\cot x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(\cot x+2\right)}^2}$

$=\frac{\left(1+{\tan }^{2}x\right)\left(\cot x+2\right)+\left(\tan x-1\right)\left(1+{\cot }^{2}x\right)}{{\left(\cot x+2\right)}^2}$

$=\frac{2\cot x+2\tan x+2{\tan }^{2}x-{\cot }^{2}x+1}{{\left(\cot x+2\right)}^2}.$

Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2^x+1}{2^x-1};$

b) $y=\left(3\ln x+2\right)\left(2{\log }_{3}x-5\right).$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2^x+1\right)}^{\text{'}}\left(2^x-1\right)-\left(2^x+1\right){\left(2^x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(2^x-1\right)}^2}$$=\frac{2^x\ln 2\cdot \left(2^x-1\right)-2^x\ln 2\cdot \left(2^x+1\right)}{{\left(2^x-1\right)}^2}$

$=\frac{2^x\ln 2[\left(2^x-1\right)-\left(2^x+1\right)]}{{\left(2^x-1\right)}^2}=\frac{-2^{x+1}\ln 2}{{\left(2^x-1\right)}^2}.$

b) $y^{\text{'}}={\left(3\ln x+2\right)}^{\text{'}}\left(2{\log }_{3}x-5\right)$$+\left(3\ln x+2\right){\left(2{\log }_{3}x-5\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{3}{x}\left(2{\log }_{3}x-5\right)+\frac{2}{x\ln 3}\left(3\ln x+2\right)$

$=\frac{1}{x}\left(6{\log }_{3}x+\frac{6}{\ln 3}\ln x-15+\frac{4}{\ln 3}\right).$

Bài 8. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}.$

a) $f\left(x\right)=2\sin x;$

b) $g\left(x\right)=\cot \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=2(\sin x{)}^{\text{'}}=2\cos x.$

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}$ là: $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}.$

b) Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}$$=\frac{-1}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}.$

Đạo hàm của hàm số g(x) tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}$ là: $g^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-1}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)}=-1.$

Bài 9. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x-1.$

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm $x_0=0,x_0=1.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2$ và $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=(2x+2{)}^{\text{'}}=2.$

b) Vì $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=2$ nên $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=f^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=2.$

Bài 10. Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Tính $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right).$

Hướng dẫn giải

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$$=\frac{1+\frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=$$\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}};$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2}$$=-\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}=-\frac{x}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}.$

Thay x = 0 vào biểu thức $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$ ta được $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0.$

Bài 11. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5};$

b) $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$

Hướng dẫn giải

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{(3x+5{)}^{\text{'}}}{{(3x+5)}^2}=\frac{-3}{{(3x+5)}^2};$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{(-3{)}^{\text{'}}{(3x+5)}^2-{\left[{(3x+5)}^2\right]}^{\text{'}}(-3)}{{(3x+5)}^4}$$=\frac{3\cdot 2(3x+5)\cdot (3x+5{)}^{\text{'}}}{{(3x+5)}^4}=\frac{18}{{(3x+5)}^3}.$

b) $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+3x^2\right)}^{\text{'}}\ln 2\cdot 2^{x+3x^2}$$=(6x+1)\ln 2\cdot 2^{x+3x^2};$

$g^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\ln 2\left[\right(6x+1{)}^{\text{'}}\cdot 2^{x+3x^2}+(6x+1)\cdot {\left(2^{x+3x^2}\right)}^{\text{'}}]$

$=6\ln 2\cdot 2^{x+3x^2}+{\left[\right(6x+1\left)\ln 2\right]}^2\cdot 2^{x+3x}$².

Bài 12.Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình $s\left(t\right)=196t-4,9t^2$ trong đó t > 0,t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Ta tính được $s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t.$

Vận tốc của viên đạn $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t\Rightarrow v\left(t\right)=0$$\iff 196-9,8t=0\iff t=20.$

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng $h=s\left(20\right)=196\cdot 20-4,9\cdot {20}^2$$=1960(\text{m)}.$

Bài 13. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=6\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{6}\left(s\right).$

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là: $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right).$

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{6}\left(s\right)$ là:

$v\left(\frac{\pi }{6}\right)=18\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)$$=-9\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s)}.$

Bài 14. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $s=100+2t-t^2$ trong đó thời gian t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s.

Hướng dẫn giải

a) $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=2-2t$.Ta có $v\left(t\right)=0\iff 2-2t=0\iff t=1.$

Vận tốc của chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3 s, ta có $v\left(3\right)=2-2\cdot 3=-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s).}$

Ta có $a\left(t\right)={s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=(2-2t{)}^{\text{'}}=-2$ nên $a\left(3\right)=-2{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s}}^{\text{2}}\text{).}$

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của vật là –4 m/s. Gia tốc của vật là –2 m/s².

Bài 15. Một chất điểm có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right).$

Hướng dẫn giải

Ta có  $s^{\text{'}}\left(t\right)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right);$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{s}^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right).$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$ (s) là:

${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)$$=\frac{-3}{2}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s}}^{\text{2}}\text{)}.$

Học tốt Toán 11 Chương 7

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 7

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---