Đạo hàm cấp hai lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Đạo hàm cấp hai lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ tại mọi điểm $x\in \left(a;b\right)$. Nếu hàm số $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y" hoặc $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right).$

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=2x^4-3x+2;$

b) $y=\sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}={\left(2x^4-3x+2\right)}^{\text{'}}$$=2\cdot 4x^3-3=8x^3-3;$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left(8x^3-3\right)}^{\text{'}}=8\cdot 3x^2-0=24x^2.$

b) $y^{\text{'}}=-\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)\cdot {\left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$$=-4\pi \sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

$y^{\text{'}\text{'}}=-4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)\cdot {\left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$$=-16{\pi }^2\sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right).$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s\left(t\right)=2t^2+15t+3$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=2\cdot 2t+15=4t+15$, suy ra $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=4.$

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là: $s^{\text{'}\text{'}}\left(2\right)=4{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s}}^{\text{2}}\text{).}$

Bài tập Đạo hàm cấp hai

Bài 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x-1.$

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm $x_0=0,x_0=1.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2$ và $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=(2x+2{)}^{\text{'}}=2.$

b) Vì $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=2$ nên $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=f^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=2.$

Bài 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Tính $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right).$

Hướng dẫn giải

$f^{\text{'}}(x)=\frac{{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$$=\frac{1+\frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=$$\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}};$

$f^{\text{'}\text{'}}(x)=-\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2}$$=-\frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+x^2}}=-\frac{x}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}.$

Thay x = 0 vào biểu thức $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$ ta được $f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0.$

Bài 3. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5};$

b) $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$

Hướng dẫn giải

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{(3x+5{)}^{\text{'}}}{{(3x+5)}^2}=\frac{-3}{{(3x+5)}^2};$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{(-3{)}^{\text{'}}{(3x+5)}^2-{\left[{(3x+5)}^2\right]}^{\text{'}}(-3)}{{(3x+5)}^4}$$=\frac{3\cdot 2(3x+5)\cdot (3x+5{)}^{\text{'}}}{{(3x+5)}^4}=\frac{18}{{(3x+5)}^3}.$

b) $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+3x^2\right)}^{\text{'}}\ln 2\cdot 2^{x+3x^2}$$=(6x+1)\ln 2\cdot 2^{x+3x^2};$

$g^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\ln 2\left[\right(6x+1{)}^{\text{'}}\cdot 2^{x+3x^2}+(6x+1)\cdot {\left(2^{x+3x^2}\right)}^{\text{'}}]$

$=6\ln 2\cdot 2^{x+3x^2}+{\left[\right(6x+1\left)\ln 2\right]}^2\cdot 2^{x+3x}$².

Bài 4. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $s=100+2t-t^2$ trong đó thời gian t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s.

Hướng dẫn giải

a) $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=2-2t$.Ta có $v\left(t\right)=0\iff 2-2t=0\iff t=1.$

Vận tốc của chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3 s, ta có $v\left(3\right)=2-2\cdot 3=-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s).}$

Ta có $a\left(t\right)=s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=(2-2t{)}^{\text{'}}=-2$ nên $a\left(3\right)=-2{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s}}^{\text{2}}\text{).}$

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của vật là –4 m/s. Gia tốc của vật là –2 m/s².

Bài 5. Một chất điểm có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right).$

Hướng dẫn giải

Ta có  $s^{\text{'}}\left(t\right)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right);$$s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right).$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$ (s) là:

$s^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)$$=\frac{-3}{2}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s}}^{\text{2}}\text{)}.$

Học tốt Đạo hàm cấp hai

Các bài học để học tốt Đạo hàm cấp hai Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---