Các quy tắc tính đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Các quy tắc tính đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

1.1. Đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ, n > 1)

Hàm số $y=x^n(n\in \mathbb{N},n>1)$ có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và ${\left(x^n\right)}^{\text{'}}=n{x}^{n-1}.$

Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:

• Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)' = 0 với c là hằng số;

• Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)' = 1.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x⁷.

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{1}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^7\right)}^{\text{'}}=7x^6.$

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0=-\frac{1}{3}$ là $f^{\text{'}}\left(-\frac{1}{3}\right)=7\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^6=\frac{7}{729}.$

1.2. Đạo hàm của hàm số y = $\sqrt{x}$

Hàm số y = $\sqrt{x}$ có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ,x>0$ và ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ tại điểm x₀ = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là $f^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$

1.3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

• Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và $(\sin x{)}^{\text{'}}=\cos x.$

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin x tại $x_0=\frac{\pi }{6}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sin x\right)}^{\text{'}}=\cos x.$

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại $x_0=\frac{\pi }{6}$ là $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

• Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và $(\cos x{)}^{\text{'}}=-\sin x.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos x tại $x_0=\frac{\pi }{3}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\cos x\right)}^{\text{'}}=-\sin x.$

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại $x_0=\frac{\pi }{3}$ là $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

• Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $(\tan x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tan x tại $x_0=\frac{\pi }{3}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\tan x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại $x_0=\frac{\pi }{3}$ là$f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=4.$

• Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $(\cot x{)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cot x tại $x_0=\frac{\pi }{3}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\cot x\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ với $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại $x_0=\frac{\pi }{3}$ là$f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{3}}=-\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=-\frac{4}{3}.$

1.4. Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và ${\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x.$

Tổng quát: Hàm số y = a^x (a > 0, a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi $x\in ℝ$ và ${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=a^x\ln a.$

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = e^x tại x₀ = 3ln5;

b) f(x) = 2^x tại x₀ = 4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x$. Vậy $f^{\text{'}}\left(3\ln 5\right)=e^{3\ln 5}={\left(e^{\ln 5}\right)}^3=5^3=125.$

b) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(2^x\right)}^{\text{'}}=2^x\ln 2$. Vậy $f^{\text{'}}\left(4\right)=2^4\ln 2=16\ln 2.$

1.5. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hàm số y = ln x có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}.$

Tổng quát: Hàm số $y={\log }_{a}x\left(a>0,a\ne 1\right)$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}.$

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = ln x tại $x_0=\frac{1}{2};$

b) $f\left(x\right)={\log }_{3}x$ tại x₀ = 7.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$ với x > 0. Vậy $f^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$

b) Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left({\log }_{3}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln 3}$ với x > 0. Vậy $f^{\text{'}}\left(7\right)=\frac{1}{7\ln 3}.$

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp

2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

${\left(f+g\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}+g^{\text{'}};$

${\left(f-g\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}-g^{\text{'}};$

${\left(fg\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}g+f{g}^{\text{'}};$

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f^{\text{'}}g-f{g}^{\text{'}}}{g^2}\left(g=g\left(x\right)\ne 0\right);$

Hệ quả: Cho f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

• Nếu c là một hằng số thì ${\left(cf\right)}^{\text{'}}=c{f}^{\text{'}}.$

• ${\left(\frac{1}{f}\right)}^{\text{'}}=-\frac{f^{\text{'}}}{f^2}\left(f=f\left(x\right)\ne 0\right).$

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=-x^4+\frac{3}{2}{x}^2+2020x;$

b) $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+2}{x+1};$

c) $f\left(x\right)=x\left(2x-1\right)\left(3x+2\right).$

Hướng dẫn giải

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-x^4\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{3}{2}{x}^2\right)}^{\text{'}}+{\left(2020x\right)}^{\text{'}}$$=-4x^3+3x+2020.$

b) $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(\sqrt{x}+2\right)}^{\text{'}}\cdot \left(x+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \left(x+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$$=\frac{x+1-2x-4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}{\left(x+1\right)}^2}=\frac{1-x-4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}{\left(x+1\right)}^2}.$

c) Ta có $f\left(x\right)=x\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)$$=\left(2x^2-x\right)\left(3x+2\right)$. Khi đó

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\left(2x^2-x\right)\left(3x+2\right)\right]}^{\text{'}}$

$={\left(2x^2-x\right)}^{\text{'}}\cdot \left(3x+2\right)$$+{\left(3x+2\right)}^{\text{'}}\cdot \left(2x^2-x\right)$

$=\left(4x-1\right)\left(3x+2\right)+3\left(2x^2-x\right)$

$=18x^2+2x-2.$

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=x^3{4}^x;$

b) $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{\cos x}$ (x > 0).

Hướng dẫn giải

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^3{4}^x\right)}^{\text{'}}$$={\left(x^3\right)}^{\text{'}}\cdot 4^x+x^3\cdot {\left(4^x\right)}^{\text{'}}$

$=3x^2\cdot 4^x+x^3\cdot 4^x\ln 4$$=x^2{4}^x\left(3+x\ln 4\right).$

b) Với x > 0, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{\ln x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}\cdot \cos x-\ln x\cdot {\left(\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{\frac{1}{x}\cos x-\ln x\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{2}x}$$=\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x{\cos }^{2}x}.$

2.2. Đạo hàm của hàm hợp

• Hàm số $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ được gọi là hàm hợp của hai hàm số $y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)$.

Ví dụ 11. Mỗi hàm số sau đây là hàm hợp của hai hàm số nào?

a) y = sin(3x + 5);

b) y = 2 cosx + 7.

Hướng dẫn giải

a) Đặt u = 3x + 5, ta có: y = sin u.

Vậy y = sin(3x + 5) là hàm hợp của hai hàm số y = sin u, u = 3x + 5.

b) Đặt u = cos x, ta có: y = 2u + 7.

Vậy y = 2 cos x + 7 là hàm hợp của hai hàm số y = 2u + 7, u = cos x.

• Cho hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x₀ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại $u_0=g\left(x_0\right)$. Xét hàm hợp $y=f\left(g\right(x\left)\right).$

Ta có quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp như sau:

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là ${u^{\text{'}}}_x^{}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là ${y^{\text{'}}}_u^{}$ thì hàm hợp $y=f\left(g\right(x\left)\right)$ có đạo hàm tại x là ${y^{\text{'}}}_x^{}={y^{\text{'}}}_u^{}\cdot {u^{\text{'}}}_x^{}.$

Nhận xét: Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp:

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản thường gặp	Đạo hàm của hàm hợp (ở đây u = u(x))
${\left(x^n\right)}^{\text{'}}=n\cdot x^{n-1}$	${\left(u^n\right)}^{\text{'}}=n\cdot x^{n-1}\cdot u^{\text{'}}$
${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2}$	${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{u^2}$
${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	${\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{2\sqrt{u}}$
${\left(\sin x\right)}^{\text{'}}=\cos x$	${\left(\sin u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot \cos u$
${\left(\cos x\right)}^{\text{'}}=-\sin x$	${\left(\cos u\right)}^{\text{'}}=-u^{\text{'}}\cdot \sin u$
${\left(\tan x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	${\left(\tan u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{{\cos }^{2}u}$
${\left(\cot x\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	${\left(\cot u\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{{\sin }^{2}u}$
${\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x$	${\left(e^u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot e^u$
${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=a^x\cdot \ln a$	${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot a^u\cdot \ln u$
${\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$	${\left(\ln u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u}$
${\left({\log }_a^{}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$	${\left({\log }_a^{}u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$

Ví dụ 12. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3;$

b) $y=\sqrt{3x^2-2x+1};$

c) $y=\sin 2x+\cos 5x;$

d) $y=\cot \left(3x^2-5\right);$

e) $y={\ln }^2(3x+2);$

g) $y=\frac{1}{e^{3x}-1}.$

Hướng dẫn giải

a) Đặt $u=\frac{2x+1}{x-1}$ thì $y=u^3.$

Ta có ${u^{\text{'}}}_x={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{2\left(x-1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$ và ${y^{\text{'}}}_u={\left(u^3\right)}^{\text{'}}=3u^2.$

Suy ra ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x=3u^2\cdot \frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$$=3\cdot {\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\cdot \frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{9{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}.$

Vậy $y^{\text{'}}=-\frac{9{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}.$

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

$y^{\text{'}}=3\cdot {\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\cdot {\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}$$=3\cdot {\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\cdot \frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{9{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}.$

Tương tự như vậy, ta thực hiện các ý còn lại:

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(3x^2-2x+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}$$=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}.$

c) $y^{\text{'}}={\left(\sin 2x\right)}^{\text{'}}+{\left(\cos 5x\right)}^{\text{'}}$$=2\cos 2x-5\sin 5x.$

d) $y^{\text{'}}={\left[\cot \left(3x^2-5\right)\right]}^{\text{'}}$$=-\frac{\left(3x^2-5\right)}{{\sin }^2\left(3x^2-5\right)}=-\frac{6x}{{\sin }^2\left(3x^2-5\right)}.$

e) $y^{\text{'}}=2\ln (3x+2)\left[\ln \right(3x+2){]}^{\text{'}}$$=2\ln (3x+2)\cdot \frac{(3x+2{)}^{\text{'}}}{3x+2}$$=\frac{6}{3x+2}\ln (3x+2).$

g) $y^{\text{'}}=-\frac{{\left(e^{3x}-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(e^{3x}-1\right)}^2}$$=-\frac{e^{3x}\cdot (3x{)}^{\text{'}}}{{\left(e^{3x}-1\right)}^2}=-\frac{3e^{3x}}{{\left(e^{3x}-1\right)}^2}.$

Bài tập Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y={\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^2;$

b) $y={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right){\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\frac{-2}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$$=-\frac{2}{\sqrt{x}}\frac{1-\sqrt{x}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^3}.$

b) $y^{\text{'}}={\left[{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2\right]}^{\text{'}}$$=2\cdot \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\cdot {\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$

$=2\cdot \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right)$

$=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)$

$=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)$

$=1-\frac{1}{x^2}.$

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$ với x > 0;

b) $y=\left(1+x-2x^2\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-\sqrt[3]{x}\right)}^{\text{'}}\left(1+\sqrt[3]{x}\right)-\left(1-\sqrt[3]{x}\right){\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$=\frac{-\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}\left(1+\sqrt[3]{x}\right)-\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}}{{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}$$=-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}\frac{2}{{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}$$=-\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}^2}.$

b) $y^{\text{'}}={\left(1+x-2x^2\right)}^{\text{'}}\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$$+\left(1+x-2x^2\right){\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)}^{\text{'}}$

$=\left(1-2\cdot 2x\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$$+\left(1+x-2x^2\right)\left(-2x+3\cdot \frac{x^2}{3}\right)$

$=\left(1-4x\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$$+\left(1+x-2x^2\right)\left(-2x+x^2\right)$

$=2-10x-2x^2+\frac{28}{3}{x}^3-\frac{10}{3}{x}^4.$

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\left(\sin x+2\cos x\right)\left(\sin x-2\cos x+1\right);$

b) $y=\frac{\tan x-1}{\cot x+2}.$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}={\left(\sin x+2\cos x\right)}^{\text{'}}\left(\sin x-2\cos x+1\right)$$+\left(\sin x+2\cos x\right){\left(\sin x-2\cos x+1\right)}^{\text{'}}$

$=\left(\cos x-2\sin x\right)\left(\sin x-2\cos x+1\right)$$+\left(\sin x+2\cos x\right)\left(\cos x+2\sin x\right)$

$=\cos x\sin x-2{\cos }^{2}x+\cos x-2{\sin }^{2}x$$+4\sin x\cos x-2\sin x+\sin x\cos x$$+2{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x+4\cos x\sin x$

$=10\sin x\cos x+\cos x-2\sin x$

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(\tan x-1\right)}^{\text{'}}\left(\cot x+2\right)-\left(\tan x-1\right){\left(\cot x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(\cot x+2\right)}^2}$

$=\frac{\left(1+{\tan }^{2}x\right)\left(\cot x+2\right)+\left(\tan x-1\right)\left(1+{\cot }^{2}x\right)}{{\left(\cot x+2\right)}^2}$

$=\frac{2\cot x+2\tan x+2{\tan }^{2}x-{\cot }^{2}x+1}{{\left(\cot x+2\right)}^2}.$

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2^x+1}{2^x-1};$

b) $y=\left(3\ln x+2\right)\left(2{\log }_{3}x-5\right).$

Hướng dẫn giải

a) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2^x+1\right)}^{\text{'}}\left(2^x-1\right)-\left(2^x+1\right){\left(2^x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(2^x-1\right)}^2}$$=\frac{2^x\ln 2\cdot \left(2^x-1\right)-2^x\ln 2\cdot \left(2^x+1\right)}{{\left(2^x-1\right)}^2}$

$=\frac{2^x\ln 2[\left(2^x-1\right)-\left(2^x+1\right)]}{{\left(2^x-1\right)}^2}=\frac{-2^{x+1}\ln 2}{{\left(2^x-1\right)}^2}.$

b) $y^{\text{'}}={\left(3\ln x+2\right)}^{\text{'}}\left(2{\log }_{3}x-5\right)$$+\left(3\ln x+2\right){\left(2{\log }_{3}x-5\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{3}{x}\left(2{\log }_{3}x-5\right)+\frac{2}{x\ln 3}\left(3\ln x+2\right)$

$=\frac{1}{x}\left(6{\log }_{3}x+\frac{6}{\ln 3}\ln x-15+\frac{4}{\ln 3}\right).$

Bài 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}.$

a) $f\left(x\right)=2\sin x;$

b) $g\left(x\right)=\cot \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=2(\sin x{)}^{\text{'}}=2\cos x.$

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}$ là: $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}.$

b) Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}$$=\frac{-1}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}.$

Đạo hàm của hàm số g(x) tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}$ là: $g^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-1}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)}=-1.$

Bài 6. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=6\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{6}\left(s\right).$

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là: $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right).$

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{6}\left(s\right)$ là:

$v\left(\frac{\pi }{6}\right)=18\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)$$=-9\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s)}.$

Học tốt Các quy tắc tính đạo hàm

Các bài học để học tốt Các quy tắc tính đạo hàm Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---