Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 6.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6 Cánh diều

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 6

1. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1.1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Như vậy, ta đã xác định được a^m, ở đó a là số thực tùy ý khác 0 và m là một số nguyên.

Trong biểu thức a^m, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Chú ý

• 0⁰ và 0^-n (n nguyên dương) không có nghĩa.

• Lũy thừa với số mũ nguyên có tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

1.2. Căn bậc n

a) Định nghĩa

Cho số thực a và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số thực b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Nhận xét

• Với n và $a\in ℝ$: có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$.

• Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau:

+) a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a.

+) a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0.

+) a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$, còn giá trị âm là $-\sqrt[n]{a}$.

b) Tính chất

•

• $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};$

• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};$

• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m};$

• $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}.$

(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa).

1.3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N},n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r được xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$

Nhận xét

• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$\left(a>0,n\in \mathbb{N},n\ge 2\right).$

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

2. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

2.1. Định nghĩa

Ta đã định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực tùy ý. Ta cò phải định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho α là số thực dương, α là số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn tồn tại dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

Cho α là số thực dương, α là số vô tỉ, (r_n) là dãy số hữu tỉ và r_n = α. Giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ gọi là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu $a^{\alpha }$, $a^{\alpha }=\lim a^{r_n}.$

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: $1^{\alpha }=1$, $\forall \alpha \in ℝ.$

2.2. Tính chất

• Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };$

${\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }\cdot b^{\alpha };$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};$

$\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };$

${\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta }.$

• Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha >\beta .$

Nếu 0 < a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha <\beta .$

2.3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực. Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

3. Khái niệm lôgarit

3.1. Định nghĩa

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để $a^c=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log }_{a}b$, nghĩa là $c={\log }_{a}b\iff a^c=b.$

${\log }_{a}b$ xác định khi và chỉ khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.

3.2. Tính chất

Với số thực dương a khác 1, số thực dương b và số thực c, ta có:

${\log }_{a}1=0;$

${\log }_{a}a=1;$

${\log }_a{a}^c=c;$

$a^{{\log }_{a}b}=b.$

3.3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

• Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là log b hay lg b.

• Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là ln b.

4. Một số tính chất của phép tính lôgarit

4.1. Lôgarit của một tích, một thương

• ${\log }_a\left(mn\right)={\log }_{a}m+{\log }_{a}n;$

• ${\log }_a\left(\frac{m}{n}\right)={\log }_{a}m-{\log }_{a}n.$

Ta có: ${\log }_a\left(\frac{1}{b}\right)=-{\log }_{a}b$$\left(a>0,a\ne 1,b>0\right)\text{.}$

Chú ý: Với n số dương $b_1,b_2,\mathrm{...},b_n;$

${\log }_a\left(b_1{b}_2\mathrm{...}{b}_n\right)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$$+\mathrm{...}+{\log }_a{b}_n\left(a>0,a\ne 1\right)\text{.}$

4.2. Lôgarit của một lũy thừa

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số thực α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b.$

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b.$

4.3. Đổi cơ số của lôgarit

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có: ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}.$

Nhận xét: Với a > 0 và a ≠ 1, b > 0 và b ≠ 1, c > 0, α ≠ 0, ta có những công thức sau:

• ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c;$

• ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a};$

• ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b.$

5. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit (tính đúng hoặc tính gần đúng). Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

Chú ý: Với máy tính không có phím , ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.

6. Hàm số mũ

6.1. Định nghĩa

Cho số thực a (a > 0, a ≠ 1). Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ là $ℝ$.

6.2. Đồ thị và tính chất

Đồ thị hàm số $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi lên nếu a > 1, đi xuống nếu 0 < a < 1.

Nhận xét: Cho hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\ne 1)$

$y=a^x(a>1)$	$y=a^x(0<a<1)$
• Tập xác định: $ℝ$; tập giá trị: $\left(0;+\infty \right).$ • Tính liên tục Hàm số $y=a^x(a>1)$ là hàm số liên tục trên $ℝ$. • Giới hạn đặc biệt $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{a}^x=+\infty .$ • Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên $ℝ$. • Bảng biến thiên	• Tập xác định: $ℝ$; tập giá trị: $\left(0;+\infty \right).$ • Tính liên tục Hàm số $y=a^x(0<a<1)$ là hàm số liên tục trên $ℝ$. • Giới hạn đặc biệt $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{a}^x=0.$ • Sự biến thiên Hàm số nghịch biến trên $ℝ$. • Bảng biến thiên

Chú ý: Từ tính liên tục và sự biến thiên của hàm số mũ, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau:

Với mỗi N > 0, đường thẳng y = N cắt đồ thị hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ tại một và chỉ một điểm (hình dưới minh họa trong trường hợp a > 1). Nói cách khác, ta có: Với mỗi N > 0, tồn tại duy nhất số thực α sao cho $a^{\alpha }=N$.

7. Hàm số lôgarit

7.1. Định nghĩa

Cho số thực a (a > 0, a ≠ 1). Hàm số $y={\log }_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Tập xác định của hàm số lôgarit $y={\log }_{a}x\left(a>0,a\ne 1\right)$ là $\left(0;+\infty \right)$.

7.2. Đồ thị và tính chất

Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$$\left(a>0,a\ne 1\right)$ là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên nếu a > 1, đi xuống nếu 0 < a < 1.

Nhận xét: Cho hàm số lôgarit $y={\log }_{a}x$ với a > 0, a ≠ 1.

$y={\log }_{a}x$ với a > 1	$y={\log }_{a}x$ với 0 < a < 1
• Tập xác định: $(0;+\infty )$; tập giá trị: ℝ. • Tính liên tục Hàm số $y={\log }_{a}x$ (a > 1) là hàm số liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$. • Giới hạn đặc biệt: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty ,\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }\end{array}{\log }_{a}x=+\infty .$ • Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$. • Bảng biến thiên	• Tập xác định: $(0;+\infty )$; tập giá trị: ℝ. • Tính liên tục Hàm số $y={\log }_{a}x$ (0 < a < 1) là hàm số liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$. • Giới hạn đặc biệt: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=+\infty ,\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }\end{array}{\log }_{a}x=-\infty .$ • Sự biến thiên Hàm số nghịch biến $(0;+\infty )$. • Bảng biến thiên

8. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

8.1. Phương trình mũ

⮚ Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

⮚ Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng $a^x=b(a>0,a\ne 1).$

• Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\text{log}}_{a}b.$

Nhận xét: Với $a>0,a\ne 1,b>0$ thì $a^{f\left(x\right)}=b\iff f\left(x\right)={\text{log}}_{a}b.$

Chú ý: Với $a>0,a\ne 1$ thì $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right).$

Lưu ý: Cách giải phương trình mũ như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.

b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình $3^{x-1}=5$ ta được $x-1={\log }_{3}5$, hay $x=1+{\log }_{3}5.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1+{\log }_{3}5.$

8.2. Phương trình lôgarit

⮚ Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

⮚ Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x=b(a>0,a\ne 1).$

Phương trình đó có một nghiệm là $x=a^b.$

Nhận xét: Với $a>0,a\ne 1$ thì ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b.$

Chú ý: Cho $a>0,a\ne 1.$ Ta có: ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)$

Lưu ý: Cách giải phương trình lôgarit như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.

9. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

9.1. Bất phương trình mũ

• Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

• Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong những dạng sau:

$a^x>b;a^x<b;a^x\ge b;$$a^x\le b\left(a>0,a\ne 1\right).$

⮚ Cách giải bất phương trình mũ cơ bản:

Xét bất phương trình mũ: $a^x>b(a>0;a\ne 1).$

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ℝ$ (vì $a^x>0\ge b,\forall x\in ℝ$).

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}.$

+ Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là $x>{\log }_{a}b.$

+ Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là $x<{\log }_{a}b.$

Nhận xét: Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

Lưu ý:

• Với a > 1 thì $a^x>a^{\alpha }\iff x>\alpha .$

• Với 0 < a < 1 thì $a^x>a^{\alpha }\iff x<\alpha .$

9.2. Bất phương trình lôgarit

• Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

• Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phưng trình lôgarit có một trong những dạng sau:

${\log }_{a}x>b;{\log }_{a}x\ge b;{\log }_{a}x<b$$;{\log }_{a}x\le b\left(a>0;a\ne 1\right)\text{.}$

⮚ Cách giải bất phương trình lôgarit cơ bản:

Xét bất phương trình ${\log }_{a}x>b\left(a>0;a\ne 1\right)\text{.}$

Bất phương trình tương đương với ${\log }_{a}x>{\log }_a{a}^b.$

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là $x>a^b.$

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b.$

Nhận xét: Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

Chú ý:

Với a > 1 thì ${\log }_{a}x>{\log }_a\alpha \iff x>\alpha .$

Với 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}x>{\log }_a\alpha \iff x<\alpha .$

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 6

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\sqrt[3]{2021}\cdot \sqrt[5]{2021};$

b) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{2017}{\left(4\sqrt{3}-7\right)}^{2016};$

c) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1,25};$

d) $\frac{3^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(2^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}}{5^{-3}\cdot {25}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{2021}\cdot \sqrt[5]{2021}={2021}^{\frac{1}{3}}\cdot {2021}^{\frac{1}{5}}$$={2021}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}={2021}^{\frac{8}{15}};$

b) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{2017}{\left(4\sqrt{3}-7\right)}^{2016}$$=\left(7+4\sqrt{3}\right){\left[\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(4\sqrt{3}-7\right)\right]}^{2016}$

$=\left(7+4\sqrt{3}\right){\left(-1\right)}^{2016}=7+4\sqrt{3};$

c) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1,25}$$={27}^{\frac{2}{3}}+{16}^{\frac{5}{4}}=\sqrt[3]{{27}^2}+\sqrt[4]{{16}^5}$$=\sqrt[3]{3^6}+\sqrt[4]{2^{20}}=3^2+2^5=41;$

d) $\frac{3^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(2^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}}{5^{-3}\cdot {25}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1}}$$=\frac{3^2+2^2}{5+5^2}=\frac{13}{30}.$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x}}{\sqrt[4]{x}}$ (x > 0);

b) $a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}$ (a > 0);

c) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^2}}}$ (x ≥ 0);

d) $\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}$ (a, b > 0).

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x}}{\sqrt[4]{x}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{4}}}$$=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x};$

b) $a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}=a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\sqrt{2}-1}$$=a^{\sqrt{2}}\cdot a^{-\sqrt{2}+1}=a^{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}=a^1=a;$

c) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^2}}}=\sqrt{x\sqrt{x\cdot x}}=\sqrt{x\cdot x}=x;$

d) $\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{4}}{a}^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}}}$$=\frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}\left(b^{\frac{1}{12}}+a^{\frac{1}{12}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}}\right)}=a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}.$

Bài 3. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2018}$ và ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2019};$

b) $2^{\sqrt{2}+1}$ và $2^{\sqrt{3}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\Rightarrow {\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2018}>{\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2019}.$

b) Ta có ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=3+2\sqrt{2}>{\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$. Suy ra $\sqrt{2}+1>\sqrt{3}.$

Mà 2 > 1 nên $2^{\sqrt{2}+1}>2^{\sqrt{3}}.$

Bài 4. Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau đúng 2 năm số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra.

Hướng dẫn giải

Với 100 triệu đồng ban đầu số tiền cả lãi và gốc thu được sau hai năm là

$T_1=100\cdot {10}^6\cdot {\left(1+0,8\%\right)}^{24}$$\approx 121074524$ (đồng).

Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu đồng thì tổng số tiền cả lãi và gốc là

$T_2=\frac{2\cdot {10}^6}{0,008}\cdot [{\left(1+0,008\right)}^{23}-1]\cdot \left(1+0,008\right)$$\approx 50686310$ (đồng).

Vậy tổng số tiền ông An nhận được là $T=T_1+T_2\approx 171761000$ (đồng).

Bài 5. Tính:

a) ${\log }_2\frac{1}{64};$

b) $\log 1000;$

c) ${\log }_{5}1250-{\log }_{5}10;$

d) $4^{{\log }_{2}3}.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_2\frac{1}{64}={\log }_2{2}^{-6}=-6.$

b) $\log 1000=\log {10}^3=3.$

c) ${\log }_{5}1250-{\log }_{5}10={\log }_5\frac{1250}{10}$$={\log }_{5}125={\log }_5{5}^3=3.$

d) $4^{{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2=3^2=9.$

Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $T={\log }_{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}}\right);$

b) $P={\log }_{3}2\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{5}4\cdot \mathrm{...}\cdot {\log }_{16}15;$

c) $Q={\log }_{2}4\sqrt[3]{16}-2{\log }_{\frac{1}{3}}27\sqrt[3]{3}$$+\frac{4^{2+{\log }_{2}3}}{3^{{\log }_{9}2-{\log }_{\frac{1}{3}}5}};$

d) $M={\log }_{2}2+{\log }_{2}4+{\log }_{2}8+\mathrm{...}+{\log }_{2}256.$

Hướng dẫn giải

a) $T={\log }_{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}}\right)$$={\log }_{\sqrt{3}}\left(\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[3]{9}\right)-{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{3}$

$=2{\log }_3\left(3^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}\right)-1=2{\log }_3\left(3^{\frac{17}{12}}\right)-1$$=2\cdot \frac{17}{12}-1=\frac{11}{6}.$

b) $P={\log }_{16}15\cdot {\log }_{15}14\cdot \mathrm{...}\cdot {\log }_{5}4\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{3}2$$={\log }_{16}2=\frac{1}{4}.$

c) Ta có ${\log }_{2}4\sqrt[3]{16}={\log }_2\left(2^2\cdot 2^{\frac{4}{3}}\right)$$={\log }_2{2}^{\frac{10}{3}}=\frac{10}{3};$

${\log }_{\frac{1}{3}}27\sqrt[3]{3}={\log }_{\frac{1}{3}}[{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-\frac{1}{3}}]$$={\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-\frac{10}{3}}=-\frac{10}{3};$

$4^{2+{\log }_{2}3}=4^2\cdot 4^{{\log }_{2}3}=16\cdot 2^{2{\log }_{2}3}$$=16\cdot 2^{{\log }_{2}9}=16\cdot 9=144;$

$3^{{\log }_{9}2-{\log }_{\frac{1}{3}}5}=\frac{3^{{\log }_{9}2}}{3^{{\log }_{\frac{1}{3}}5}}=\frac{3^{\frac{1}{2}\log {}_{3}2}}{3^{-{\log }_{3}5}}$$=\frac{3^{\log {}_3\sqrt{2}}}{3^{{\log }_3\frac{1}{5}}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{5}}=5\sqrt{2}.$

Vậy $Q=\frac{10}{3}-2\cdot \left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{144}{5\sqrt{2}}$$=10+\frac{144}{5\sqrt{2}}.$

d) $M={\log }_{2}2+{\log }_{2}4+{\log }_{2}8+\mathrm{...}+{\log }_{2}256$$={\log }_2\left(2\cdot 4\cdot 8\cdot \mathrm{...}\cdot 256\right)$

$={\log }_2\left(2^1\cdot 2^2\cdot 2^3\cdot \mathrm{...}\cdot 2^8\right)$$={\log }_2\left(2^{1+2+3+\mathrm{...}+8}\right)$

$=\left(1+2+3+\mathrm{...}+8\right){\log }_{2}2$$=1+2+3+\mathrm{...}+8=36.$

Bài 7. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $P={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6$ (a, b > 0; a ≠ 1);

b) $S=\ln \frac{a}{b}+\ln \frac{b}{c}+\ln \frac{c}{d}+\ln \frac{d}{a}$ (a, b, c, d > 0);

c) $M=3{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{x}-6{\log }_9\left(3x\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{x}{9}$ (x > 0);

d) $N={\log }_{a^2}\left(a^{10}{b}^2\right)+{\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)+{\log }_{\sqrt[3]{b}}\left(b^{-2}\right)$ ($0<a\ne 1;0<b\ne 1$).

Hướng dẫn giải

a) $P={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6$$=3{\log }_{a}b+\frac{6}{2}{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b.$

b) $S=\ln \frac{a}{b}+\ln \frac{b}{c}+\ln \frac{c}{d}+\ln \frac{d}{a}$$=\ln \left(\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{d}{a}\right)=\ln 1=0.$

c) $M=3{\log }_{3}x-3\left(1+{\log }_{3}x\right)-{\log }_{3}x+2$$=-1-{\log }_{3}x=-\left(1+{\log }_{3}x\right)$$=-{\log }_3\left(3x\right).$

d) $N={\log }_{a^2}\left(a^{10}{b}^2\right)+{\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)+{\log }_{\sqrt[3]{b}}\left(b^{-2}\right)$$=5+{\log }_{a}b+2-{\log }_{a}b-6$$=1.$

Bài 8.

a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ${\log }_{3}a=x$, ${\log }_{3}b=y$. Tính $P={\log }_3\left(3a^4{b}^5\right).$

b) Đặt $a={\log }_{2}3;b={\log }_{3}5$. Biểu diễn ${\log }_{20}12$ theo a và b.

Hướng dẫn giải

a) $P={\log }_3\left(3a^4{b}^5\right)={\log }_{3}3+{\log }_3{a}^4+{\log }_3{b}^5$$=1+4{\log }_{3}a+5{\log }_{3}b$$=1+4x+5y.$

b) Ta có ${\log }_{20}12={\log }_{20}3+2{\log }_{20}2$$=\frac{1}{2{\log }_{3}2+{\log }_{3}5}+\frac{2}{{\log }_{2}5+2}$

$=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{a}+b}+\frac{2}{ab+2}=\frac{a+2}{ab+2}.$

Bài 9. Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ $H=H_0{e}^{-\lambda t}$(đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0); $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5730 (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Gọi t là độ tuổi của mẫu gỗ cổ.

Ta có: $H=H_0{e}^{-\lambda t}$ với $H=0,215;H_0=0,250;$$\lambda =\frac{\ln 2}{5730}.$

Từ đó, $\lambda t=\ln \frac{H_0}{H}=\ln \frac{0,250}{0,215}\approx 0,1508$. Vậy $t\approx \frac{0,1508}{\lambda }\approx 1247.$

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó xấp xỉ 1247 năm.

Bài 10. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x.$

Hướng dẫn giải

Vì hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ có cơ số$\frac{3}{2}>1$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$ và ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(-2;\frac{4}{9}\right)$, $\left(-1;\frac{2}{3}\right)$, (0; 1), $\left(1;\frac{3}{2}\right),\left(2;\frac{9}{4}\right)$ như hình dưới đây.

Bài 11. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x.$

Hướng dẫn giải

Vì hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$ có cơ số $\frac{2}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(\frac{9}{4};-2\right)$, $\left(\frac{3}{2};-1\right)$, (1; 0), $\left(\frac{2}{3};1\right)$, $\left(\frac{4}{9};2\right)$ như hình dưới đây.

Bài 12. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y={12}^x;$

b) $y={\log }_5\left(2x-3\right).$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số $y={12}^x$ là $ℝ$.

b) Hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ xác định khi $2x-3>0$ hay $x>\frac{3}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ là $D=\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Bài 13. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức $D\left(t\right)=D_0\cdot a^t\left(mg\right)$, trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?

Hướng dẫn giải

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, mà D₀ là hằng số dương, do đó 0 < a < 1.

b) Bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc nên D₀ = 100.

Vì sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg nên với t = 1, ta có:

D(1) = 100a¹ = 80, suy ra $a=\frac{80}{100}=0,8.$

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn $D\left(5\right)=100\cdot 0,8^5$. Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là $\frac{D_0-D\left(5\right)}{D_0}=\frac{100-100\cdot 0,8^5}{100}$$\approx 0,6723\approx 67,23\%.$

Bài 14. Giải các phương trình sau:

a) $5^{x+2}=\sqrt[3]{25};$

b) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{2x-1}={32}^{x+3};$

c) ${\log }_2\left(x^2-1\right)={\log }_2\left(3x+3\right);$

d) ${\log }_2{8}^x=-3.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $5^{x+2}=\sqrt[3]{25}\iff 5^{x+2}=5^{\frac{2}{3}}$$\iff x+2=\frac{2}{3}\iff x=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{4}{3}.$

b) Ta có: ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{2x-1}={32}^{x+3}\iff {\left(2^{-3}\right)}^{2x-1}$$={\left(2^5\right)}^{x+3}\iff 2^{-6x+3}=2^{5x+15}$

$\iff -6x+3=5x+15$$\iff 11x=-12\iff x=-\frac{12}{11}\text{.}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{12}{11}.$

c) Điều kiện: x > 1.

Khi đó: ${\log }_2\left(x^2-1\right)={\log }_2\left(3x+3\right)$$\iff x^2-1=3x+3$$\iff x^2-3x-4=0.$

Giải phương trình trên ta được x = – 1 (không thỏa mãn) và x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

d) ${\log }_2{8}^x=-3\iff 8^x=2^{-3}\iff 2^{3x}=2^{-3}$$\iff 3x=-3\iff x=-1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –1.

Bài 15. Giải các phương trình sau:

a) $2^{2x-1}+4^{x+1}=3;$

b) ${\log }_5\left(x+6\right)+{\log }_5\left(x+2\right)=1.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $2^{2x-1}+4^{x+1}=3\iff \frac{4^x}{2}+4\cdot 4^x=3$$\iff \frac{9}{2}\cdot 4^x=3$$\iff 4^x=\frac{2}{3}$$\iff x={\log }_4\frac{2}{3}.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x={\log }_4\frac{2}{3}.$

b) Điều kiện: x + 6 > 0 và x + 2 > 0, tức là x > –2. Ta có:

${\log }_5\left(x+6\right)+{\log }_5\left(x+2\right)=1$$\iff {\log }_5\left[\left(x+6\right)\left(x+2\right)\right]=1$

$\iff x^2+8x+12=5$$\iff x^2+8x+7=0.$

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm $x=-1,x=-7$. Chỉ có nghiệm $x=-1$ thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-1.$

Bài 16. Giải các bất phương trình sau:

a) $4^{x+3}\ge {32}^x;$

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6};$

c) $3^{x^2-x}\le 9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x;$

d) $\ln \left(x+3\right)\ge \ln \left(2x-8\right);$

e) ${\log }_{0,5}\left(x-3\right)+{\log }_{0,5}\left(x-2\right)\ge -1;$

g) ${\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $4^{x+3}\ge {32}^x\iff 2^{2\left(x+3\right)}\ge 2^{5x}$$\iff 2\left(x+3\right)\ge 5x\iff x\le 2.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;2].$

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6}\iff x^2\le 5x-6$$\iff \left(x-2\right)\left(x-3\right)\le 0\iff 2\le x\le 3.$

c) $3^{x^2-x}\le 9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x.$

Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng: $3^{x^2-x}\le 3^{2-x}.$

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành $x^2-x\le 2-x$, hay $x^2\le 2.$

Giải bất phương trình này, ta được $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

d) $\ln \left(x+3\right)\ge \ln \left(2x-8\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(4;11].$

e) ${\log }_{0,5}\left(x-3\right)+{\log }_{0,5}\left(x-2\right)\ge -1.$

Điều kiện: x > 3.

Khi đó, bất phương trình đã cho được viết lại thành ${\log }_{0,5}\left[\left(x-3\right)\left(x-2\right)\right]\ge {\log }_{0,5}2.$

Vì cơ số 0,5 < 1 nên bất phương trình trở thành (x – 3)(x – 2) ≤ 2, hay $x^2-5x+4\le 0.$

Giải bất phương trình bậc hai này, ta được 1 ≤ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình là 3 < x ≤ 4.

g) Điều kiện: $x>\frac{1}{2}$. Ta có ${\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2$

$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{{\log }_{2}4}$$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{2}$

$\iff {\log }_2{\left(2x-1\right)}^2\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$$\iff {\left(2x-1\right)}^2\le {\left(x+1\right)}^2$$\iff 3x\left(x-2\right)\le 0\iff 0\le x\le 2.$

Kết hợp với điều kiện, ta được: $\frac{1}{2}<x\le 2.$

Bài 17. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là 6%/ năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số năm người đó gửi tiền trong ngân hàng.

Số tiền cả gốc và lãi người đó có được sau x năm được tính bởi công thức:

$S=100\cdot 1,{06}^x.$

Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì

$100\cdot 1,{06}^x>130\iff 1,{06}^x>1,3$$\iff x>{\log }_{1,06}1,3.\text{Suy ra}x>4,503.$

Do kì hạn gửi là 12 tháng nên để rút được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất 5 năm.

Học tốt Toán 11 Chương 6

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 6

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---