Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

1.1. Phương trình mũ

⮚ Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mũ?

a) $3^{x+1}=9;$

b) $4^x=5^{2x^2-1};$

c) $4x^2=25.$

Hướng dẫn giải

Ta thấy hai phương trình $3^{x+1}=9$ và $4^x=5^{2x^2-1}$ là những phương trình mũ.

⮚ Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng $a^x=b(a>0,a\ne 1).$

• Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\text{log}}_{a}b.$

Nhận xét: Với $a>0,a\ne 1,b>0$ thì $a^{f\left(x\right)}=b\iff f\left(x\right)={\text{log}}_{a}b.$

Chú ý: Với $a>0,a\ne 1$ thì $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right).$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) $9^{x-2}={243}^{x+1};$

b) $3^{x-1}=5.$

Hướng dẫn giải

a) $9^{x-2}={243}^{x+1}\iff 3^{2\left(x-2\right)}=3^{5\left(x+1\right)}$$\iff 2\left(x-2\right)=5\left(x+1\right)\iff x=-3.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = -3.

Lưu ý: Cách giải phương trình mũ như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.

b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình $3^{x-1}=5$ ta được $x-1={\log }_{3}5$, hay $x=1+{\log }_{3}5.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1+{\log }_{3}5.$

1.2. Phương trình lôgarit

⮚ Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Ví dụ 3. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình lôgarit?

a) ${\log }_3\left(x+2\right)=5;$

b) ${\log }_5\left(x^2-2x+3\right)=2;$

c) ${\log }_{x}7=3.$

Hướng dẫn giải

Hai phương trình ${\log }_3\left(x+2\right)=5$ và ${\log }_5\left(x^2-2x+3\right)=2$ là những phương trình lôgarit.

⮚ Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x=b(a>0,a\ne 1).$

Phương trình đó có một nghiệm là $x=a^b.$

Nhận xét: Với $a>0,a\ne 1$ thì ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b.$

Chú ý: Cho $a>0,a\ne 1.$ Ta có: ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)$

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) ${\log }_5\left(3x-5\right)={\log }_5\left(2x+1\right);$

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=-3.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện 3x – 5 > 0 và 2x + 1 > 0, tức là $x>\frac{5}{3}.$

Phương trình đã cho trở thành $3x-5=2x+1$, suy ra x = 6 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 6.

b) Điều kiện x + 1 > 0, tức là x > –1.

Khi đó, ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)=-3$$\iff x+1={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$$\iff x+1=8\iff x=7.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.

Ví dụ 5.Giải phương trình: ${\log }_8\left(3x-6\right)=-{\log }_{\frac{1}{8}}\left(2x-2\right).$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định là: tức là x > 2.

Ta có

${\log }_8\left(3x-6\right)=-{\log }_{\frac{1}{8}}\left(2x-2\right)$

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

Lưu ý: Cách giải phương trình lôgarit như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số.

2. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

2.1. Bất phương trình mũ

• Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

• Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong những dạng sau:

$a^x>b;a^x<b;a^x\ge b;$$a^x\le b\left(a>0,a\ne 1\right).$

Ví dụ 6. Bất phương trình nào là bất phương trình mũ cơ bản trong các bất phương trình sau?

a) $2^x<16;$

b) $3^{x+3}>5^{1-2x};$

c) $9^x\ge 11.$

Hướng dẫn giải

Ta thấy hai phương trình $2^x<16$ và $9^x\ge 11$ là những bất phương trình mũ cơ bản.

⮚ Cách giải bất phương trình mũ cơ bản:

Xét bất phương trình mũ: $a^x>b(a>0;a\ne 1).$

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $ℝ$ (vì $a^x>0\ge b,\forall x\in ℝ$).

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}.$

+ Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là $x>{\log }_{a}b.$

+ Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là $x<{\log }_{a}b.$

Nhận xét: Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

Lưu ý:

• Với a > 1 thì $a^x>a^{\alpha }\iff x>\alpha .$

• Với 0 < a < 1 thì $a^x>a^{\alpha }\iff x<\alpha .$

Ví dụ 7. Giải các bất phương trình sau:

a) $3^x>\frac{1}{243};$

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le \frac{3}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) $3^x>\frac{1}{243}\iff 3^x>3^{-5}$$\iff x>-5.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-5;+\infty \right).$

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le \frac{3}{2}\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$$\iff 3x-7\ge -1\iff x\ge 2.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[2;+\infty )$

2.2. Bất phương trình lôgarit

• Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

• Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phưng trình lôgarit có một trong những dạng sau:

${\log }_{a}x>b;{\log }_{a}x\ge b;{\log }_{a}x<b$$;{\log }_{a}x\le b\left(a>0;a\ne 1\right)\text{.}$

Ví dụ 8. Bất phương trình nào là bất phương trình lôgarit cơ bản trong các bất phương trình sau?

a) ${\log }_{3}x<5;$

b) ${\log }_{7}x<{\log }_2\left(x^2+1\right);$

c) ${\log }_{4}x\ge 6.$

Hướng dẫn giải

Ta thấy hai phương trình ${\log }_{3}x<5$ và ${\log }_{4}x\ge 6$ là những bất phương trình lôgarit cơ bản.

⮚ Cách giải bất phương trình lôgarit cơ bản:

Xét bất phương trình ${\log }_{a}x>b\left(a>0;a\ne 1\right)\text{.}$

Bất phương trình tương đương với ${\log }_{a}x>{\log }_a{a}^b.$

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là $x>a^b.$

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b.$

Nhận xét: Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

Chú ý:

Với a > 1 thì ${\log }_{a}x>{\log }_a\alpha \iff x>\alpha .$

Với 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}x>{\log }_a\alpha \iff x<\alpha .$

Ví dụ 9. Giải các bất phương trình sau:

a) $\log \left(x-1\right)<0;$

b) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+3\right).$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 1.

Vì cơ số 10 > 1 nên bất phương trình trở thành x – 1 < 10⁰, tức là x < 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 < x < 2.

b) Điều kiện: $x>\frac{1}{2}.$

Vì cơ số $0<\frac{1}{5}<1$ nên bất phương trình trở thành 2x – 1 ≤ x + 3, từ đó tìm được x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là $\frac{1}{2}<x\le 4.$

Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $5^{x+2}=\sqrt[3]{25};$

b) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{2x-1}={32}^{x+3};$

c) ${\log }_2\left(x^2-1\right)={\log }_2\left(3x+3\right);$

d) ${\log }_2{8}^x=-3.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $5^{x+2}=\sqrt[3]{25}\iff 5^{x+2}=5^{\frac{2}{3}}$$\iff x+2=\frac{2}{3}\iff x=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{4}{3}.$

b) Ta có: ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{2x-1}={32}^{x+3}\iff {\left(2^{-3}\right)}^{2x-1}$$={\left(2^5\right)}^{x+3}\iff 2^{-6x+3}=2^{5x+15}$

$\iff -6x+3=5x+15$$\iff 11x=-12\iff x=-\frac{12}{11}\text{.}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{12}{11}.$

c) Điều kiện: x > 1.

Khi đó: ${\log }_2\left(x^2-1\right)={\log }_2\left(3x+3\right)$$\iff x^2-1=3x+3$$\iff x^2-3x-4=0.$

Giải phương trình trên ta được x = – 1 (không thỏa mãn) và x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

d) ${\log }_2{8}^x=-3\iff 8^x=2^{-3}\iff 2^{3x}=2^{-3}$$\iff 3x=-3\iff x=-1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –1.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $2^{2x-1}+4^{x+1}=3;$

b) ${\log }_5\left(x+6\right)+{\log }_5\left(x+2\right)=1.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $2^{2x-1}+4^{x+1}=3\iff \frac{4^x}{2}+4\cdot 4^x$$=3$$\iff \frac{9}{2}\cdot 4^x=3\iff 4^x=\frac{2}{3}$$\iff x={\log }_4\frac{2}{3}.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x={\log }_4\frac{2}{3}.$

b) Điều kiện: x + 6 > 0 và x + 2 > 0, tức là x > –2. Ta có:

${\log }_5\left(x+6\right)+{\log }_5\left(x+2\right)=1$$\iff {\log }_5\left[\left(x+6\right)\left(x+2\right)\right]=1$

$\iff x^2+8x+12=5$$\iff x^2+8x+7=0.$

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm $x=-1,x=-7$. Chỉ có nghiệm $x=-1$ thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-1.$

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) $4^{x+3}\ge {32}^x;$

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6};$

c) $3^{x^2-x}\le 9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x;$

d) $\ln \left(x+3\right)\ge \ln \left(2x-8\right);$

e) ${\log }_{0,5}\left(x-3\right)+{\log }_{0,5}\left(x-2\right)\ge -1;$

g) ${\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $4^{x+3}\ge {32}^x\iff 2^{2\left(x+3\right)}\ge 2^{5x}$$\iff 2\left(x+3\right)\ge 5x\iff x\le 2.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;2].$

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6}\iff x^2\le 5x-6$$\iff \left(x-2\right)\left(x-3\right)\le 0\iff 2\le x\le 3.$

c) $3^{x^2-x}\le 9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x.$

Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng: $3^{x^2-x}\le 3^{2-x}.$

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành $x^2-x\le 2-x$, hay $x^2\le 2.$

Giải bất phương trình này, ta được $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

d) $\ln \left(x+3\right)\ge \ln \left(2x-8\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(4;11].$

e) ${\log }_{0,5}\left(x-3\right)+{\log }_{0,5}\left(x-2\right)\ge -1.$

Điều kiện: x > 3.

Khi đó, bất phương trình đã cho được viết lại thành ${\log }_{0,5}\left[\left(x-3\right)\left(x-2\right)\right]\ge {\log }_{0,5}2.$

Vì cơ số 0,5 < 1 nên bất phương trình trở thành (x – 3)(x – 2) ≤ 2, hay $x^2-5x+4\le 0.$

Giải bất phương trình bậc hai này, ta được 1 ≤ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình là 3 < x ≤ 4.

g) Điều kiện: $x>\frac{1}{2}$. Ta có ${\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2$

$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{{\log }_{2}4}$$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{2}$

$\iff {\log }_2{\left(2x-1\right)}^2\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$$\iff {\left(2x-1\right)}^2\le {\left(x+1\right)}^2$$\iff 3x\left(x-2\right)\le 0\iff 0\le x\le 2.$

Kết hợp với điều kiện, ta được: $\frac{1}{2}<x\le 2.$

Bài 4. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là 6%/ năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số năm người đó gửi tiền trong ngân hàng.

Số tiền cả gốc và lãi người đó có được sau x năm được tính bởi công thức:

$S=100\cdot 1,{06}^x.$

Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì

$100\cdot 1,{06}^x>130\iff 1,{06}^x>1,3$$\iff x>{\log }_{1,06}1,3.\text{Suy ra}x>4,503.$

Do kì hạn gửi là 12 tháng nên để rút được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất 5 năm.

Học tốt Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Các bài học để học tốt Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---