Hàm số mũ. Hàm số lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hàm số mũ. Hàm số lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

1. Hàm số mũ

1.1. Định nghĩa

Cho số thực a (a > 0, a ≠ 1). Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ là $ℝ$.

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ? Chỉ ra cơ số của nó.

a) $y=2^{\frac{x}{3}};$

b) $y=x^{-5};$

c) $y=5^{-2x}.$

Hướng dẫn giải

a) $y=2^{\frac{x}{3}}={\left(2^{\frac{1}{3}}\right)}^x={\left(\sqrt[3]{2}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\sqrt[3]{2}.$

b) $y=x^{-5}$ không phải là hàm số mũ.

c) $y=5^{-2x}={\left(5^{-2}\right)}^x$$={\left(\frac{1}{5^2}\right)}^x={\left(\frac{1}{25}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{25}.$

1.2. Đồ thị và tính chất

Đồ thị hàm số $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi lên nếu a > 1, đi xuống nếu 0 < a < 1.

Nhận xét: Cho hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\ne 1).$

$y=a^x(a>1)$	$y=a^x(0<a<1)$
• Tập xác định: $ℝ$; tập giá trị: $\left(0;+\infty \right).$ • Tính liên tục Hàm số $y=a^x(a>1)$ là hàm số liên tục trên $ℝ$. • Giới hạn đặc biệt $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{a}^x=+\infty .$ • Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên $ℝ$. • Bảng biến thiên	• Tập xác định: $ℝ$; tập giá trị: $\left(0;+\infty \right).$ • Tính liên tục Hàm số $y=a^x(0<a<1)$ là hàm số liên tục trên $ℝ$. • Giới hạn đặc biệt $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{a}^x=0.$ • Sự biến thiên Hàm số nghịch biến trên $ℝ$. • Bảng biến thiên

Chú ý: Từ tính liên tục và sự biến thiên của hàm số mũ, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau:

Với mỗi N > 0, đường thẳng y = N cắt đồ thị hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ tại một và chỉ một điểm (hình dưới minh họa trong trường hợp a > 1). Nói cách khác, ta có: Với mỗi N > 0, tồn tại duy nhất số thực α sao cho $a^{\alpha }=N$.

Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x.$

Hướng dẫn giải

Vì hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ có cơ số $\sqrt{2}>1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(-4;\frac{1}{4}\right)$, $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$, (0; 1), (2; 2) và (4; 4) như hình sau:

2. Hàm số lôgarit

2.1. Định nghĩa

Cho số thực a (a > 0, a ≠ 1). Hàm số $y={\log }_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Tập xác định của hàm số lôgarit $y={\log }_{a}x\left(a>0,a\ne 1\right)$ là $\left(0;+\infty \right)$.

Ví dụ 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôrarit? Chỉ ra cơ số của nó.

a) $y={\log }_{\sqrt{5}}x;$

b) $y=-{\log }_{7}x;$

c) $y=-x{\log }_{3}4.$

Hướng dẫn giải

a) $y={\log }_{\sqrt{5}}x$ là hàm số lôgarit với cơ số $\sqrt{5}$.

b) $y=-{\log }_{7}x={\log }_{7^{-1}}x={\log }_{\frac{1}{7}}x$ là hàm số lôgarit với cơ số $\frac{1}{7}.$

c) $y=-x{\log }_{3}4$ không phải là hàm số lôgarit (đây là hàm bậc nhất với hệ số góc $-{\log }_{3}4$).

2.2. Đồ thị và tính chất

Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$$\left(a>0,a\ne 1\right)$ là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên nếu a > 1, đi xuống nếu 0 < a < 1.

Nhận xét: Cho hàm số lôgarit $y={\log }_{a}x$ với a > 0, a ≠ 1.

$y={\log }_{a}x$ với a > 1	$y={\log }_{a}x$ với 0 < a < 1
• Tập xác định: $(0;+\infty )$; tập giá trị: ℝ. • Tính liên tục Hàm số $y={\log }_{a}x$ (a > 1) là hàm số liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$. • Giới hạn đặc biệt: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty ,\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }\end{array}{\log }_{a}x=+\infty .$ • Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$. • Bảng biến thiên	• Tập xác định: $(0;+\infty )$; tập giá trị: ℝ. • Tính liên tục Hàm số $y={\log }_{a}x$ (0 < a < 1) là hàm số liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$. • Giới hạn đặc biệt: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=+\infty ,\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }\end{array}{\log }_{a}x=-\infty .$ • Sự biến thiên Hàm số nghịch biến $(0;+\infty )$. • Bảng biến thiên

Ví dụ 4. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$.

Hướng dẫn giải

Vì hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ có cơ số $\sqrt{3}>1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(\frac{1}{9};-4\right)$, $\left(\frac{1}{3};-2\right)$, (1; 0), (3; 2), (9; 4) như hình sau:

Bài tập Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x.$

Hướng dẫn giải

Vì hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ có cơ số$\frac{3}{2}>1$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$ và ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(-2;\frac{4}{9}\right)$, $\left(-1;\frac{2}{3}\right)$, (0; 1), $\left(1;\frac{3}{2}\right),\left(2;\frac{9}{4}\right)$ như hình dưới đây.

Bài 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x.$

Hướng dẫn giải

Vì hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$ có cơ số $\frac{2}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(\frac{9}{4};-2\right)$, $\left(\frac{3}{2};-1\right)$, (1; 0), $\left(\frac{2}{3};1\right)$, $\left(\frac{4}{9};2\right)$ như hình dưới đây.

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y={12}^x;$

b) $y={\log }_5\left(2x-3\right).$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số $y={12}^x$ là $ℝ$.

b) Hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ xác định khi $2x-3>0$ hay $x>\frac{3}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ là $D=\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Bài 4. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức $D\left(t\right)=D_0\cdot a^t\left(mg\right)$, trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?

Hướng dẫn giải

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, mà D₀ là hằng số dương, do đó 0 < a < 1.

b) Bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc nên D₀ = 100.

Vì sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg nên với t = 1, ta có:

D(1) = 100a¹ = 80, suy ra $a=\frac{80}{100}=0,8.$

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn $D\left(5\right)=100\cdot 0,8^5$. Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là $\frac{D_0-D\left(5\right)}{D_0}=\frac{100-100\cdot 0,8^5}{100}$$\approx 0,6723\approx 67,23\%.$

Học tốt Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Các bài học để học tốt Hàm số mũ. Hàm số lôgarit Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---