Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Phép tính lôgarit

1. Khái niệm lôgarit

1.1. Định nghĩa

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để $a^c=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log }_{a}b$, nghĩa là $c={\log }_{a}b\iff a^c=b.$

${\log }_{a}b$ xác định khi và chỉ khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.

Ví dụ 1. Tính:

a) ${\log }_{2}16;$

b) ${\log }_5\frac{1}{25}.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_{2}16=4$ vì 2⁴ = 16.

b) ${\log }_5\frac{1}{25}=-2$ vì $5^{-2}=\frac{1}{25}.$

1.2. Tính chất

Với số thực dương a khác 1, số thực dương b và số thực c, ta có:

${\log }_{a}1=0;$

${\log }_{a}a=1;$

${\log }_a{a}^c=c;$

$a^{{\log }_{a}b}=b.$

Ví dụ 2. Tính:

a) ${\log }_2\frac{1}{16};$

b) ${\log }_5\sqrt[4]{5};$

c) $9^{{\log }_{3}5}.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_2\frac{1}{16}={\log }_2{2}^{-4}=-4.$

b) ${\log }_5\sqrt[4]{5}={\log }_5{5}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}.$

c) $9^{{\log }_{3}5}={\left(3^2\right)}^{{\log }_{3}5}={\left(3^{{\log }_{3}5}\right)}^2=5^2=25.$

1.3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

• Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là log b hay lg b.

• Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là ln b.

Ví dụ 3. Tính:

a) $\ln e^7;$

b) $\log 10000$

Hướng dẫn giải

a) $\ln e^7=7.$

b) $\log 10000=\log {10}^4=4.$

2. Một số tính chất của phép tính lôgarit

2.1. Lôgarit của một tích, một thương

Với ba số thực dương a, m, n và a ≠ 1, ta có:

• ${\log }_a\left(mn\right)={\log }_{a}m+{\log }_{a}n;$

• ${\log }_a\left(\frac{m}{n}\right)={\log }_{a}m-{\log }_{a}n.$

Ta có: ${\log }_a\left(\frac{1}{b}\right)=-{\log }_{a}b$$\left(a>0,a\ne 1,b>0\right)\text{.}$

Ví dụ 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_{\pi }\frac{1}{2}+{\log }_{\pi }2;$

b) ${\log }_3\frac{5}{9}-{\log }_3\frac{5}{27}.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_{\pi }\frac{1}{2}+{\log }_{\pi }2={\log }_{\pi }\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)$$={\log }_{\pi }1=0;$

b) ${\log }_3\frac{5}{9}-{\log }_3\frac{5}{27}$$={\log }_3\left(\frac{\frac{5}{9}}{\frac{5}{27}}\right)={\log }_{3}3=1.$

Chú ý: Với n số dương $b_1,b_2,\mathrm{...},b_n;$

${\log }_a\left(b_1{b}_2\mathrm{...}{b}_n\right)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$$+\mathrm{...}+{\log }_a{b}_n\left(a>0,a\ne 1\right)\text{.}$

2.2. Lôgarit của một lũy thừa

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số thực α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b.$

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b.$

Ví dụ 5. Tính:

a) ${\log }_2\sqrt[4]{8};$

b) ${\log }_3\frac{5}{9}-2{\log }_3\sqrt{5}.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_2\sqrt[4]{8}=\frac{1}{4}{\log }_{2}8=\frac{1}{4}{\log }_2{2}^3$$=\frac{1}{4}\cdot 3\cdot {\log }_{2}2=\frac{3}{4}.$

b) ${\log }_3\frac{5}{9}-2{\log }_3\sqrt{5}={\log }_3\frac{5}{9}-{\log }_3{\left(\sqrt{5}\right)}^2$$={\log }_3\frac{5}{9}-{\log }_{3}5$

$={\log }_3\left(\frac{5}{9}:5\right)={\log }_3\frac{1}{9}$$={\log }_3{3}^{-2}=-2.$

2.3. Đổi cơ số của lôgarit

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có: ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}.$

Nhận xét: Với a > 0 và a ≠ 1, b > 0 và b ≠ 1, c > 0, α ≠ 0, ta có những công thức sau:

• ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c;$

• ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a};$

• ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b.$

Ví dụ 6. Tính:

a) ${\log }_{8}16;$

b) ${\log }_{27}25\cdot {\log }_{5}81.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_{8}16=\frac{{\log }_{2}16}{{\log }_{2}8}=\frac{{\log }_2{2}^4}{{\log }_2{2}^3}=\frac{4}{3};$

b) ${\log }_{27}25\cdot {\log }_{5}81=\frac{{\log }_{3}25}{{\log }_{3}27}\cdot \frac{{\log }_{3}81}{{\log }_{3}5}$$=\frac{{\log }_3{5}^2}{{\log }_3{3}^3}\cdot \frac{{\log }_3{3}^4}{{\log }_{3}5}$$=\frac{2{\log }_{3}5}{3}\cdot \frac{4}{{\log }_{3}5}=\frac{8}{3}.$

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit (tính đúng hoặc tính gần đúng). Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

Chú ý: Với máy tính không có phím thì để tính ${\log }_{5}3$, ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.

Bài tập Phép tính lôgarit

Bài 1. Tính:

a) ${\log }_2\frac{1}{64};$

b) $\log 1000;$

c) ${\log }_{5}1250-{\log }_{5}10;$

d) $4^{{\log }_{2}3}.$

Hướng dẫn giải

a) ${\log }_2\frac{1}{64}={\log }_2{2}^{-6}=-6.$

b) $\log 1000=\log {10}^3=3.$

c) ${\log }_{5}1250-{\log }_{5}10={\log }_5\frac{1250}{10}$$={\log }_{5}125={\log }_5{5}^3=3.$

d) $4^{{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2=3^2=9.$

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $T={\log }_{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}}\right);$

b) $P={\log }_{3}2\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{5}4\cdot \mathrm{...}\cdot {\log }_{16}15;$

c) $Q={\log }_{2}4\sqrt[3]{16}-2{\log }_{\frac{1}{3}}27\sqrt[3]{3}$$+\frac{4^{2+{\log }_{2}3}}{3^{{\log }_{9}2-{\log }_{\frac{1}{3}}5}};$

d) $M={\log }_{2}2+{\log }_{2}4+{\log }_{2}8+\mathrm{...}+{\log }_{2}256.$

Hướng dẫn giải

a) $T={\log }_{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}}\right)$$={\log }_{\sqrt{3}}\left(\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[3]{9}\right)-{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{3}$

$=2{\log }_3\left(3^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}\right)-1=2{\log }_3\left(3^{\frac{17}{12}}\right)-1$$=2\cdot \frac{17}{12}-1=\frac{11}{6}.$

b) $P={\log }_{16}15\cdot {\log }_{15}14\cdot \mathrm{...}\cdot {\log }_{5}4\cdot {\log }_{4}3\cdot {\log }_{3}2$$={\log }_{16}2=\frac{1}{4}.$

c) Ta có ${\log }_{2}4\sqrt[3]{16}={\log }_2\left(2^2\cdot 2^{\frac{4}{3}}\right)$$={\log }_2{2}^{\frac{10}{3}}=\frac{10}{3};$

${\log }_{\frac{1}{3}}27\sqrt[3]{3}={\log }_{\frac{1}{3}}[{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-\frac{1}{3}}]$$={\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-\frac{10}{3}}=-\frac{10}{3};$

$4^{2+{\log }_{2}3}=4^2\cdot 4^{{\log }_{2}3}=16\cdot 2^{2{\log }_{2}3}$$=16\cdot 2^{{\log }_{2}9}=16\cdot 9=144;$

$3^{{\log }_{9}2-{\log }_{\frac{1}{3}}5}=\frac{3^{{\log }_{9}2}}{3^{{\log }_{\frac{1}{3}}5}}=\frac{3^{\frac{1}{2}\log {}_{3}2}}{3^{-{\log }_{3}5}}$$=\frac{3^{\log {}_3\sqrt{2}}}{3^{{\log }_3\frac{1}{5}}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{5}}=5\sqrt{2}.$

Vậy $Q=\frac{10}{3}-2\cdot \left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{144}{5\sqrt{2}}$$=10+\frac{144}{5\sqrt{2}}.$

d)

$M={\log }_{2}2+{\log }_{2}4+{\log }_{2}8+\mathrm{...}+{\log }_{2}256$$={\log }_2\left(2\cdot 4\cdot 8\cdot \mathrm{...}\cdot 256\right)$

$={\log }_2\left(2^1\cdot 2^2\cdot 2^3\cdot \mathrm{...}\cdot 2^8\right)$$={\log }_2\left(2^{1+2+3+\mathrm{...}+8}\right)$

$=\left(1+2+3+\mathrm{...}+8\right){\log }_{2}2$$=1+2+3+\mathrm{...}+8=36.$

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $P={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6$ (a, b > 0; a ≠ 1);

b) $S=\ln \frac{a}{b}+\ln \frac{b}{c}+\ln \frac{c}{d}+\ln \frac{d}{a}$ (a, b, c, d > 0);

c) $M=3{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{x}-6{\log }_9\left(3x\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{x}{9}$ (x > 0);

d) $N={\log }_{a^2}\left(a^{10}{b}^2\right)+{\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)+{\log }_{\sqrt[3]{b}}\left(b^{-2}\right)$ ($0<a\ne 1;0<b\ne 1$).

Hướng dẫn giải

a) $P={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6$$=3{\log }_{a}b+\frac{6}{2}{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b.$

b) $S=\ln \frac{a}{b}+\ln \frac{b}{c}+\ln \frac{c}{d}+\ln \frac{d}{a}$$=\ln \left(\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{d}{a}\right)=\ln 1=0.$

c) $M=3{\log }_{3}x-3\left(1+{\log }_{3}x\right)-{\log }_{3}x+2$$=-1-{\log }_{3}x=-\left(1+{\log }_{3}x\right)$$=-{\log }_3\left(3x\right).$

d) $N={\log }_{a^2}\left(a^{10}{b}^2\right)+{\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)+{\log }_{\sqrt[3]{b}}\left(b^{-2}\right)$$=5+{\log }_{a}b+2-{\log }_{a}b-6$$=1.$

Bài 4.

a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ${\log }_{3}a=x$, ${\log }_{3}b=y$. Tính $P={\log }_3\left(3a^4{b}^5\right).$

b) Đặt $a={\log }_{2}3;b={\log }_{3}5$. Biểu diễn ${\log }_{20}12$ theo a và b.

Hướng dẫn giải

a) $P={\log }_3\left(3a^4{b}^5\right)={\log }_{3}3+{\log }_3{a}^4+{\log }_3{b}^5$$=1+4{\log }_{3}a+5{\log }_{3}b$$=1+4x+5y.$

b) Ta có ${\log }_{20}12={\log }_{20}3+2{\log }_{20}2$$=\frac{1}{2{\log }_{3}2+{\log }_{3}5}+\frac{2}{{\log }_{2}5+2}$

$=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{a}+b}+\frac{2}{ab+2}=\frac{a+2}{ab+2}.$

Bài 5. Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ $H=H_0{e}^{-\lambda t}$ (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0); $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5730 (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Gọi t là độ tuổi của mẫu gỗ cổ.

Ta có: $H=H_0{e}^{-\lambda t}$ với $H=0,215;H_0=0,250;$$\lambda =\frac{\ln 2}{5730}.$

Từ đó, $\lambda t=\ln \frac{H_0}{H}=\ln \frac{0,250}{0,215}\approx 0,1508$. Vậy $t\approx \frac{0,1508}{\lambda }\approx 1247.$

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó xấp xỉ 1247 năm.

Học tốt Phép tính lôgarit

Các bài học để học tốt Phép tính lôgarit Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---