Phép tính lũy thừa với số mũ thực lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Phép tính lũy thừa với số mũ thực lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Phép tính lũy thừa với số mũ thực

1. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1.1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Như vậy, ta đã xác định được a^m, ở đó a là số thực tùy ý khác 0 và m là một số nguyên.

Trong biểu thức a^m, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Chú ý

• 0⁰ và 0^-n (n nguyên dương) không có nghĩa.

• Lũy thừa với số mũ nguyên có tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 3^-3;

b) $4^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-10};$

c) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}:{\left(\sqrt{7}\right)}^0.$

Hướng dẫn giải

a) $3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27};$

b) $4^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-10}=\frac{1}{4^2}\cdot \frac{1}{2^{-10}}=\frac{1}{{\left(2^2\right)}^2}\cdot 2^{10}$$=\frac{2^{10}}{2^4}=2^{10-4}=2^6=64;$

c) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}:{\left(\sqrt{7}\right)}^0=\frac{1}{{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}:1$$=\frac{1}{\frac{9}{16}}=\frac{16}{9}.$

1.2. Căn bậc n

a) Định nghĩa

Cho số thực a và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số thực b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Ví dụ 2.

a) Số $-\frac{1}{3}$ có phải là căn bậc ba của $-\frac{1}{27}$ hay không?

b) Các số 3 và –3 có phải là căn bậc bốn của 81 hay không?

Hướng dẫn giải

a) Do ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=-\frac{1}{27}$ nên số $-\frac{1}{3}$ là căn bậc ba của $-\frac{1}{27}$.

b) Ta thấy: (-3)⁴ = 3⁴ = 81. Dó đó các số 3 và -3 là căn bậc bốn của 81.

Nhận xét

• Với n và $a\in ℝ$: có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$.

• Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau:

+) a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a.

+) a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0.

+) a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$, còn giá trị âm là $-\sqrt[n]{a}$.

b) Tính chất

•

• $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};$

• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};$

• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m};$

• $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}.$

(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\sqrt[5]{-16}\cdot \sqrt[5]{2};$

b) $\sqrt[3]{7\sqrt{7}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[5]{-16}\cdot \sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{\left(-16\right)\cdot 2}$$=\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{{\left(-2\right)}^5}=-2;$

b) $\sqrt[3]{7\sqrt{7}}=\sqrt[3]{{\left(\sqrt{7}\right)}^3}=\sqrt{7}.$

1.3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N},n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r được xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$

Nhận xét

• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$\left(a>0,n\in \mathbb{N},n\ge 2\right).$

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${36}^{\frac{1}{2}};$

b) ${\left(\frac{25}{81}\right)}^{-\frac{1}{2}};$

c) ${64}^{1,5}.$

Hướng dẫn giải

a) ${36}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{36}=6;$

b) ${\left(\frac{25}{81}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{{\left(\frac{25}{81}\right)}^{\frac{1}{2}}}$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{81}}}=\frac{1}{\frac{5}{9}}=\frac{9}{5}.$

c) ${64}^{1,5}={64}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{64}^3}=512.$

2. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

2.1. Định nghĩa

Ta đã định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực tùy ý. Ta cò phải định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho α là số thực dương, α là số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn tồn tại dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

Cho α là số thực dương, α là số vô tỉ, (r_n) là dãy số hữu tỉ và r_n = α. Giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ gọi là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu $a^{\alpha }$, $a^{\alpha }=\lim a^{r_n}.$

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: $1^{\alpha }=1$, $\forall \alpha \in ℝ.$

2.2. Tính chất

• Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };$

${\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }\cdot b^{\alpha };$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};$

$\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };$

${\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta }.$

• Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha >\beta .$

Nếu 0 < a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha <\beta .$

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot \sqrt[7]{a^{-2}}}$ với a > 0;

b) $B=\frac{a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot \sqrt[7]{a^{-2}}}=\frac{a^{\frac{5}{3}}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot a^{\frac{-2}{7}}}$$=\frac{a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}}{a^{4-\frac{2}{7}}}=\frac{a^4}{a^{\frac{26}{7}}}=a^{4-\frac{26}{7}}=a^{\frac{2}{7}}.$

b) $B=\frac{a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$$=\frac{a^{\sqrt{3}+1+2-\sqrt{3}}}{a^{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}}=\frac{a^3}{a^{-2}}=a^5.$

Ví dụ 6. Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: $3^{2\sqrt{3}}$ và $3^{3\sqrt{2}}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}$ và $3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}.$

Do 12 < 18 nên $\sqrt{12}<\sqrt{18}.$

Vì cơ số 3 > 1 nên $3^{\sqrt{12}}<3^{\sqrt{18}}$. Vậy $3^{2\sqrt{3}}<3^{3\sqrt{2}}.$

2.3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực. Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

Bài tập Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\sqrt[3]{2021}\cdot \sqrt[5]{2021};$

b) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{2017}{\left(4\sqrt{3}-7\right)}^{2016};$

c) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1,25};$

d) $\frac{3^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(2^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}}{5^{-3}\cdot {25}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{2021}\cdot \sqrt[5]{2021}={2021}^{\frac{1}{3}}\cdot {2021}^{\frac{1}{5}}$$={2021}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}={2021}^{\frac{8}{15}};$

b) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{2017}{\left(4\sqrt{3}-7\right)}^{2016}$$=\left(7+4\sqrt{3}\right){\left[\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(4\sqrt{3}-7\right)\right]}^{2016}$

$=\left(7+4\sqrt{3}\right){\left(-1\right)}^{2016}=7+4\sqrt{3};$

c) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1,25}$$={27}^{\frac{2}{3}}+{16}^{\frac{5}{4}}=\sqrt[3]{{27}^2}+\sqrt[4]{{16}^5}$$=\sqrt[3]{3^6}+\sqrt[4]{2^{20}}$$=3^2+2^5$$=41;$

d) $\frac{3^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(2^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}}{5^{-3}\cdot {25}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1}}$$=\frac{3^2+2^2}{5+5^2}=\frac{13}{30}.$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x}}{\sqrt[4]{x}}$ (x > 0);

b) $a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}$ (a > 0);

c) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^2}}}$ (x ≥ 0);

d) $\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}$ (a, b > 0).

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x}}{\sqrt[4]{x}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{4}}}$$=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x};$

b) $a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}=a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\sqrt{2}-1}$$=a^{\sqrt{2}}\cdot a^{-\sqrt{2}+1}=a^{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}=a^1=a;$

c) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^2}}}=\sqrt{x\sqrt{x\cdot x}}=\sqrt{x\cdot x}=x;$

d) $\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{4}}{a}^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}}}$$=\frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}\left(b^{\frac{1}{12}}+a^{\frac{1}{12}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}}\right)}=a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}.$

Bài 3. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2018}$ và ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2019};$

b) $2^{\sqrt{2}+1}$ và $2^{\sqrt{3}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\Rightarrow {\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2018}>{\left(\sqrt{5}-2\right)}^{2019}.$

b) Ta có ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=3+2\sqrt{2}>{\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$. Suy ra $\sqrt{2}+1>\sqrt{3}.$

Mà 2 > 1 nên $2^{\sqrt{2}+1}>2^{\sqrt{3}}.$

Bài 4. Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau đúng 2 năm số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra.

Hướng dẫn giải

Với 100 triệu đồng ban đầu số tiền cả lãi và gốc thu được sau hai năm là

$T_1=100\cdot {10}^6\cdot {\left(1+0,8\%\right)}^{24}$$\approx 121074524$ (đồng).

Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu đồng thì tổng số tiền cả lãi và gốc là

$T_2=\frac{2\cdot {10}^6}{0,008}\cdot [{\left(1+0,008\right)}^{23}-1]\cdot \left(1+0,008\right)$$\approx 50686310$ (đồng).

Vậy tổng số tiền ông An nhận được là $T=T_1+T_2\approx 171761000$ (đồng).

Học tốt Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Các bài học để học tốt Phép tính lũy thừa với số mũ thực Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---