Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 5.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Cánh diều

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 5

1. Mẫu số liệu ghép nhóm

1.1. Bảng tần số ghép nhóm

• Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.

• mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm là b – a.

• Tần số của một nhóm là số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là n₁, n₂, ..., n_m.

• Bảng tần số ghép nhóm được lập ở Bảng dưới đây, trong đó mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng [a₁; a₂); [a₂; a₃);… ; [a_m; a_m+1), ở đó a₁ < a₂ < ... < a_m < a_m+1 và n = n₁ + n₂ + ... + n_m.

Nhóm	Tần số
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	n1 n2 … nm
	n

1.2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

⮚ Ghép nhóm mẫu số liệu

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:

• Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước;

• Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [a_m; a_m+1].

⮚ Tần số tích lũy

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Cho mẫu số liệu gồm n số liệu được ghép nhóm như ở Bảng dưới đây.

Nhóm	Tần số
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	n1 n2 … nm
	n

• Tần số tích luỹ của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó. Tần số tích luỹ của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là cf₁, cf₂, ..., cf_m.

• Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ được lập như ở bảng dưới đây.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	n1 n2 … nm	cf1 = n1 cf2 = n1 + n2 … cfm = n1 + n2 + .. + nm
	n

2. Số trung bình cộng (số trung bình)

2.1. Định nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng dưới đây.

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	x1 x2 … xm	n1 n2 … nm
		n = n1 + n2 + .. + nm

• Trung điểm x_i của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

• Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline{x}$, được tính theo công thức:

$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_m{x}_m}{n}.$

2.2. Ý nghĩa

Như ta đã biết, số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu đó, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch vối số trung bình cộng.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.

3. Trung vị

3.1. Định nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở bảng sau.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	n1 n2 … nm	cf1 = n1 cf2 = n1 + n2 … cfm = n1 + n2 + .. + nm
	n

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$, tức là $c_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $c{f}_k\ge \frac{n}{2}$. Ta gọi r, d, n_k lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k; cf_k-1 là tần số tích luỹ của nhóm k – 1.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_e, được tính theo công thức sau:

$M_e=r+\left(\frac{\frac{n}{2}-c{f}_{k-1}}{n_k}\right)\cdot d.$

3.2. Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

4. Tứ phân vị

4.1. Định nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở bảng dưới đây.

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	n1 n2 … nm	cf1 = n1 cf2 = n1 + n2 … cfm = n1 + n2 + .. + nm
	n

• Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:

Tứ phân vị thứ hai Q₂ bằng trung vị M_e.

• Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$, tức là $c{f}_{p-1}<\frac{n}{4}$ nhưng $c{f}_p\ge \frac{n}{4}$. Ta gọi s, h, n_p lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p; cf_p-1 là tần số tích luỹ của nhóm p – 1.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ được tính theo công thức sau:

$Q_1=s+\left(\frac{\frac{n}{4}-c{f}_{p-1}}{n_p}\right)\cdot h.$

• Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}$, tức là $c{f}_{q-1}<\frac{3n}{4}$ nhưng $c{f}_q\ge \frac{3n}{4}$. Ta gọi t, l, n_q lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q; cf_q-1 là tần số tích luỹ của nhóm q – 1.

Tứ phân vị thứ ba Q₃ được tính theo công thức sau:

$Q_3=t+\left(\frac{\frac{3n}{4}-c{f}_{q-1}}{n_q}\right)\cdot l.$

4.2. Ý nghĩa

Như ta đã biết, đối với mẫu số liệu không ghép nhóm đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, các điểm Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được ba giá trị mới cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

Lưu ý rằng bộ ba giá trị Q₁, Q₂, Q₃ trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với bộ ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.

5. Mốt

5.1. Định nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng dưới đây.

Nhóm	Tần số
[a1; a2) [a2; a3) … [am; am+1)	n1 n2 … nm
	n

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, n_i lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; n_i-1, n_i+1 lần lượt là tần số của nhóm i – 1, nhóm i + 1.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_o, được tính theo công thức sau:

$M_o=u+\left(\frac{n_i-n_{i-1}}{2n_i-n_{i-1}-n_{i+1}}\right)\cdot g.$

Quy ước: n₀ = 0; n_m+1 = 0.

5.2. Ý nghĩa

Như ta đã biết, mốt của một mẫu số liệu không ghép nhóm đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một giá trị của mẫu số liệu đó. Vì thế, có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được giá trị mới cũng có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.

Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt.

6. Phép toán trên các biến cố

6.1. Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Đặt C = A $\cup$ B, ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là A $\cup$ B.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi α cho biến cố C, tức là $\alpha \in C$. Vì C = A $\cup$ B nên $\alpha \in A$ hoặc $\alpha \in B$. Nói cách khác, α là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B. Điều đó có nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.

6.2. Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Đặt D = A $\cap$ B, ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là A $\cap$ B hay AB.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi β cho biến cố D, tức là $\beta \in D$. Vì D = A $\cap$ B nên $\beta \in A$ và $\beta \in B$. Nói cách khác, β là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B. Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.

6.3. Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Nếu A $\cap$ B = $\varnothing$ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi γ cho biến cố A, tức là $\gamma \in A$. Vì A $\cap$ B = $\varnothing$ nên $\gamma \notin B$, tức là γ không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

7. Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý: Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

8. Các quy tắc tính xác suất

8.1. Công thức cộng xác suất

Cho hai biến cố A và B. Khi đó $\text{P}(A\cup B)=\text{P}\left(A\right)+\text{P}\left(B\right)-\text{P}(A\cap B).$

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì $A\cap B=\varnothing$, suy ra $\text{P}(A\cap B)=0$. Vì thế, ta có hệ quả sau:

Hệ quả: Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì $\text{P}(A\cup B)=\text{P}\left(A\right)+\text{P}\left(B\right).$

8.2. Công thức nhân xác suất

Cho hai biến cố A và B.

Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì $\text{P}(A\cap B)=\text{P}\left(A\right)\cdot \text{P}\left(B\right).$

Chú ý: Nếu $\text{P}(A\cap B)\ne \text{P}\left(A\right)\cdot \text{P}\left(B\right)$ thì hai biến cố A và B không độc lập.

9. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản

Bài toán 1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp

Bài toán 2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 5

Bài 1. Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:

Nhóm	Tần số
[3; 5) [5; 7) [7; 9) [9; 11) [11; 13)	4 20 26 42 8
	n = 100

a) Mẫu số liệu đã cho có bao nhiêu số liệu, bao nhiêu nhóm?

b) Có bao nhiêu bóng đèn có tuổi thọ từ 9 nghìn giờ trở lên?

c) Tính tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này.

Hướng dẫn giải

a) Mẫu số liệu đã cho có 100 số liệu và 5 nhóm.

b) Số bóng đèn có tuổi thọ từ 9 nghìn giờ trở lên là 42 + 8 = 50 (chiếc).

c) Ta có bảng sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[3; 5) [5; 7) [7; 9) [9; 11) [11; 13)	4 6 8 10 12	4 20 26 42 8
		n = 100

Tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn trên là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 4+20\cdot 6+26\cdot 8+42\cdot 10+8\cdot 12}{100}=8,6$ (nghìn giờ) = 8600 (giờ).

Bài 2. Cho mẫu số liệu về chiều cao của 33 học sinh lớp 11B (đơn vị: cm).

156	159	160	161	162	162	163	163	164	164	164
165	165	165	165	165	166	166	166	167	167	168
168	168	169	169	169	170	170	170	171	172	173

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:

[156; 159,5), [159,5; 163), [163; 166,5), [166,5; 170), [170; 173,5).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[156; 159,5) [159,5; 163) [163; 166,5) [166,5; 170) [170; 173,5)	157,75 161,25 164,75 168,25 171,75	2 4 13 8 6
		n = 33

b)

• Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{2\cdot 157,75+4\cdot 161,25+13\cdot 164,75+8\cdot 168,25+6\cdot 171,75}{33}\approx 166,023$ (cm).

• Trung vị:

Ta có bảng tần số tích lũy của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm	Tần số	Tần số tích lũy
[156; 159,5) [159,5; 163) [163; 166,5) [166,5; 170) [170; 173,5)	2 4 13 8 6	2 6 19 27 33
	n = 33

Số phần tử của mẫu là n = 33. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{33}{2}=16,5.$

Mà cf₂ = 6 < 16,5 < cf₃ = 19. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 16,5.

Xét nhóm 3 là nhóm [163; 166,5) có r = 163; d = 3,5; n₃ = 13 và nhóm 2 là nhóm [159,5; 163) có cf₂ = 6.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

$M_e=163+\left(\frac{16,5-6}{13}\right)\cdot 3,5\approx 165,827$ (cm).

• Tứ phân vị:

Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e ≈ 165,827 (cm).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{33}{4}=8,25$. Mà 6 < 8,25 < 19. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 8,25.

Xét nhóm 3 là nhóm [163; 166,5) có s = 163; h = 3,5; n₃ = 13và nhóm 2 là nhóm [159,5; 163) có cf₂ = 6.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

$Q_1=163+\left(\frac{8,25-6}{13}\right)\cdot 3,5\approx 163,606$ (cm).

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 33}{4}=24,75$ mà 19 < 24,75 < 27. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 24,75.

Xét nhóm 4 là nhóm [166,5; 170) có t = 166,5; l = 3,5; n₄ = 8và nhóm 3 là nhóm [163; 166,5) có cf₃ = 19.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=166,5+\left(\frac{24,75-19}{8}\right)\cdot 3,5\approx 169,016$ (cm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q₁ ≈ 163,606 (cm); Q₂ ≈ 165,827 (cm); Q₃ ≈ 169,016 (cm).

c) Nhóm 3 ứng với nửa khoảng [163; 166,5) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 163; g = 3,5; n₃ = 13. Nhóm 2 có tần số n₂ = 4, nhóm 4 có tần số n₄ = 8.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

$M_o=163+\left(\frac{13-4}{2\cdot 13-4-8}\right)\cdot 3,5=165,25.$

Bài 3. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Gọi A là biến cố “chọn phương tiện ô tô hoặc tàu hỏa”, B là biến cố “Chọn phương tiện tàu thủy hoặc máy bay”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố $A\cup B$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A\cup B$.

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 10 + 5 = 15.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 + 2 = 5.

b) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Chọn một phương tiện để di chuyển từ A đến B”. Số kết quả thuận lợi của biến cố $A\cup B$ là: 15 + 5 = 20.

Bài 4. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, $A\cap B$.

Hướng dẫn giải

Ta có A = {3; 6; 9; 12; 15; …; 48; 51} và B = {4; 8; 12; 16; 20; …; 48; 52}.

Vậy $A\cap B$ = {12; 24; 36; 48}.

Bài 5. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp (S) ở lần tung thứ nhất”;

B: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N) ở lần tung thứ nhất”.

Hai biến cố trên có xung khắc hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có: A = {SSS; SSN; SNS; SNN} và B = {NSS; NSN; NNS; NNN}.

Suy ra $A\cap B=\varnothing$. Do đó A và B là hai biến cố xung khắc.

Bài 6. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

E: “Cả hai đồng xu bạn Sơn gieo đều ra mặt sấp”.

F: “Hai đồng xu bạn Tùng gieo có một sấp, một ngửa”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F độc lập.

Hướng dẫn giải

Nếu F xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}$; nếu F không xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}.$

Nếu E xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}$; nếu E không xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy hai biến cố E và F độc lập.

Bài 7. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn”;

B: “Cả hai người được chọn đều họ Trần”;

C: “Cả hai người được chọn có cùng họ”.

C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B xung khắc nên $P\left(C\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right).$

Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_{36}^2=630;$ $n\left(A\right)=C_{25}^2=300;$ $n\left(B\right)=C_{11}^2=55.$

Suy ra $P\left(A\right)=\frac{300}{630};$ $P\left(B\right)=\frac{55}{630}.$

Vậy $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$=\frac{300}{630}+\frac{55}{630}=\frac{355}{630}=\frac{71}{126}.$

Bài 8. Người ta tiến thành lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số: 0; 1; 2;3;4; 5. Gọi A là biến cố “Số được lập là số chẵn”, B là biến cố “Số được lập là số chia hết cho 5”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số có 3 chữ số là: $\overline{abc}.$

+ Xét TH số được chọn là số chẵn.

TH1:c = 0, nên 1 có một cách chọn.

Số cách chọn a và a là $A_5^2=20.$

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 20 = 20.

TH2: $c\in \{2;4\}$, nên c có 2 cách chọn.

$a\ne 0;$ c nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a,c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 20 + 32 = 52.

+ Xét TH số được chọn chia hết cho 5.

TH1: c = 0, nên c có 1 cách chọn.

Số cách chọn a và b là $A_5^2=20.$

Áp dụng quy tắc nhân: 1 ∙ 20 = 20.

TH2: c = 5, nên c có 1 cách chọn.

$a\ne 0;c$ nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a,c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 20 + 16 = 36.

b) Gọi C là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Vậy $C=A\cup B.$

Không gian mẫu: n(Ω) = $5\cdot A_5^2=100$. Khi đó P(A) = $\frac{52}{100}$, P(B) = $\frac{36}{100}$.

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) = $\frac{20}{100}.$

Do đó: $P\left(C\right)=P\left(A\cup B\right)$$=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$$=\frac{52+36-20}{100}=\frac{17}{25}.$

Bài 9. Xét phép thử T. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố $A\cap B,\overline{A}\cap B$ và $\overline{A}\cap \overline{B}.$

b) Biết P(A) = 0,8 và $P(A\cap B)=0,4$. Hãy tính xác suất của các biến cố $B,\overline{A}\cap B$ và $\overline{A}\cap \overline{B}.$

Hướng dẫn giải

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $A\cap B$ là

$P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$$=0,3\cdot 0,7=0,21.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,7.$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap B$ là

$P(\overline{A}\cap B)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)$$=0,7\cdot 0,7=0,49.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,3.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap \overline{B}$ là

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$$=0,7\cdot 0,3=0,21.$

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên $P\left(B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4}{0,8}=0,5.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,2.$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap B$ là

$P(\overline{A}\cap B)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)$$=0,2\cdot 0,5=0,1.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,5.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap \overline{B}$ là

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$$=0,2\cdot 0,5=0,1.$

Bài 10. Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau”.

B: “Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Chứng minh rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh $P(A\cap B)\ne P\left(A\right)\cdot P\left(B\right).$

+ Tính P(A): Ta có $\Omega =\left\{\right(a,b,c);1\le a,b,c$$\le 6;a,b,c\in \mathbb{N}\},$$n\left(\Omega \right)=6\cdot 6\cdot 6=216.$

Ta có $A=\left\{\right(a,b,c);1\le a,b,c\le 6;$$a,b,c\in \mathbb{N};a\ne b\ne c\}.$

Mỗi bộ (a, b, c) là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có $n\left(A\right)=A_6^3=120.$

Vậy $P\left(A\right)=\frac{120}{216}.$

+ Tính P(B):

Xét biến cố đối $\overline{B}$: “Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6”. Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1\le a,b,c\le 6.$

Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Vậy $P\left(\overline{B}\right)=\frac{125}{216}$. Suy ra $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=\frac{91}{216}.$

+ Tính $P(A\cap B)$:

Mỗi kết quả thuận lợi cho $A\cap B$ là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1\le a,b,c\le 6$ và a, b, c là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $A_5^2=20$ cách chọn hai số còn lại trong 5 số {1; 2; 3; 4; 5}. Theo quy tắc nhân, ta có 3 ∙ 20 = 60 kết quả thuận lợi.

Do đó $P(A\cap B)=\frac{60}{216}\ne$$P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{120}{216}\cdot \frac{91}{216}.$

Vậy hai biến cố A, B không độc lập.

Bài 11. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Tính xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.

B là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.

C là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.

$\overline{B}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.

$\overline{C}$ là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.

P(A) = 0,95; P(B) = 0,85; P($\overline{A}$) = 0,05; P($\overline{B}$) = 0,15.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập.

Mà $\overline{C}=\overline{A}\cap \overline{B}$. Khi đó, $P\left(\overline{C}\right)=P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$ = 0,0075.

$\Rightarrow P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=0,9925.$

Học tốt Toán 11 Chương 5

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 5

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---