Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

1. Phép toán trên các biến cố

1.1. Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Đặt C = A $\cup$ B, ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là A $\cup$ B.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi α cho biến cố C, tức là $\alpha \in C$. Vì C = A $\cup$ B nên $\alpha \in A$ hoặc $\alpha \in B$. Nói cách khác, α là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B. Điều đó có nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 12. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi A là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ”; B là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”. Nêu nội dung của biến cố hợp C = A $\cup$ B, C là tập hợp con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải

C = A $\cup$ B là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ hoặc số nguyên tố”.

Ta có A = {1; 3; 5; 7; 9; 11} và B = {2; 3; 5; 7; 11}.

Vậy C = A $\cup$ B= {1; 2; 3; 5; 7; 9; 11}.

1.2. Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Đặt D = A $\cap$ B, ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là A $\cap$ B hay AB.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi β cho biến cố D, tức là $\beta \in D$. Vì D = A $\cap$ B nên $\beta \in A$ và $\beta \in B$. Nói cách khác, β là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B. Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.

Ví dụ 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5”, B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6” và C là biến cố “Có ít nhất một conxúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm”. Hãy viết tập hợp mô tả các biến cố giao AC và BC.

Hướng dẫn giải

Ta có A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}, B = {(1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1)},

C = {(1; 6); (6; 1); (1; 5); (5; 1); (1; 4); (4; 1); (1; 3); (3; 1); (1; 2); (2; 1); (1; 1)}.

Vậy biến cố AC = A $\cap$ C= {(1; 4); (4; 1)}; biến cố BC = B $\cap$ C= {(1; 6); (6; 1)}.

1.3. Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Nếu A $\cap$ B = $\varnothing$ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi γ cho biến cố A, tức là $\gamma \in A$. Vì A $\cap$ B = $\varnothing$ nên $\gamma \notin B$, tức là γ không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Ví dụ 3. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp (S) ở lần gieo thứ nhất”;

B: “Đồng xu xuất hiện mặt ngữa (N) ở lần gieo thứ nhất”.

Hai biến cố trên có xung khắc hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy: A = {SS; SN} và B = {NS; NN}.

Suy ra A $\cap$ B = $\varnothing$. Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc.

2. Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý: Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

Ví dụ 4. Có hai lọ hoa. Lọ I cắm 5 bông hoa hồng và 3 bông hoa cúc. Lọ II cắm 4 bông hoa hồng và 5 bông hoa thược dược. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ mỗi lọ một bông hoa. Xét hai biến cố sau:

A: “Lấy được bông hoa hồng từ lọ I”, B: “Lấy bông hoa hồng từ lọ II”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố độc lập.

Hướng dẫn giải

Dù A có xảy ra (lấy được bông hoa hồng) hay A không xảy ra (lấy được bông hoa cúc) ta đều có $P\left(B\right)=\frac{4}{9}.$

Dù B có xảy ra (lấy được được bông hoa hồng) hay B không xảy ra (lấy được bông hoa thược dược) ta đều có $P\left(A\right)=\frac{5}{8}.$

Việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Vậy A và Blà hai biến cố độc lập.

3. Các quy tắc tính xác suất

3.1. Công thức cộng xác suất

Cho hai biến cố A và B. Khi đó$\text{P}(A\cup B)=\text{P}\left(A\right)+\text{P}\left(B\right)-\text{P}(A\cap B).$

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì $A\cap B=\varnothing$, suy ra $\text{P}(A\cap B)=0$. Vì thế, ta có hệ quả sau:

Hệ quả: Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì $\text{P}(A\cup B)=\text{P}\left(A\right)+\text{P}\left(B\right).$

Ví dụ 5. Trong một thùng phiếu bốc thăm trúng thưởng có 30 lá phiếu được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Người ta rút ra từ thùng phiếu một lá thăm bất kì. Tính xác suất của biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4”.

Từ 1 đến 30 có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố A, nên $P\left(A\right)=\frac{7}{30}.$

Gọi B là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 30 có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B, nên $P\left(B\right)=\frac{6}{30}.$

Một số chia hết cho cả 4 và 5 thì nó chia hết cho 20, từ 1 đến 30 có 1 kết quả, nên $P\left(AB\right)=\frac{1}{30}.$

Vậy $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$$=\frac{7}{30}+\frac{6}{30}-\frac{1}{30}=\frac{2}{5}.$

Ví dụ 6. Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”. Tính $P(A\cup B)$.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử, tức là: $n\left(\Omega \right)=12.$

Số các kết quả thuận lợi cho các biến cố A, B lần lượt là n(A) = 4, n(B) = 2.

Suy ra $\text{P}\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},$$\text{P}\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$

Trong các số 1, 2, 3, …, 12, không có số nào chia hết cho cả 3 và 5. Vì thế A, B là hai biến cố xung khắc.

Vậy $\text{P}(A\cup B)=\text{P}\left(A\right)+\text{P}\left(B\right)$$=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.$

3.2. Công thức nhân xác suất

Cho hai biến cố A và B.

Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì $\text{P}(A\cap B)=\text{P}\left(A\right)\cdot \text{P}\left(B\right).$

Chú ý: Nếu $\text{P}(A\cap B)\ne \text{P}\left(A\right)\cdot \text{P}\left(B\right)$ thì hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ 7. Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng vào rổ của từng người tương ứng là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$. Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”. Tính xác suất của biến cố A.

Hướng dẫn giải

Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném vào rổ” $\Rightarrow P\left(X\right)=\frac{1}{5}.$

Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném vào rổ” $\Rightarrow P\left(Y\right)=\frac{2}{7}.$

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left(A\right)=P\left(X\cap Y\right)=P\left(X\right)\cdot P\left(Y\right)$$=\frac{1}{5}\cdot \frac{2}{7}=\frac{2}{35}.$

Ví dụ 8. Cho hai biến cố A và B của phép thử T, biết rằng $P\left(A\right)=\frac{2}{5},$ $P\left(B\right)=\frac{1}{3},$ $P(A\cup B)=\frac{1}{2}$. Hỏi hai biến cố A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải

Theo công thức cộng xác suất, ta có: $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B).$

Suy ra $P(A\cap B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cup B)$$=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{7}{30}.$

Lại có $P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}$$=\frac{2}{15}=\frac{4}{30}.$

Do đó, $P(A\cap B)\ne P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$. Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

4. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản

4.1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp

Ví dụ 9. Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.

a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca như vậy?

b) Tính xác suất của biến cố H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

H: "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”;

A: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”;

B: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

Khi đó $H=A\cup B$ và $A\cap B=\varnothing .$

Do hai biến cố A và B là xung khắc nên$n\left(H\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)$

a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:$n\left(A\right)={\text{C}}_4^2\cdot {\text{C}}_5^1=6\cdot 5=30.$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:$n\left(B\right)=C_4^1\cdot C_5^2=4\cdot 10=40.$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là:$n\left(H\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)=30+40=70.$

Vậygiáo viên phụ trách có 70 cách chọn một đội tốp ca như dự định.

b) Đội văn nghệ có 9 học sinh. Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 9 học sinh đó là một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và $n\left(\Omega \right)={\text{C}}_9^3=84.$

Vậy xác suất của biến cố H là: $\text{P}\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{70}{84}=\frac{5}{6}.$

4.2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

Ví dụ 10. Một hộp chứa 9 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 4 quả cầu màu xanh đánh số từ 1 đến 4, có 3 quả cầu màu vàng đánh số từ 1 đến 3, có 2 quả cầu màu đỏ đánh số 1 và 2. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 2 quả cầu được lấy vừa khác màu vừa khác số.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ một hộp có 9 quả cầu cho ta một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử. Do đó không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 2 của 9 phần tử và $n\left(\Omega \right)={\text{C}}_9^2=36.$

Xét biến cố A: “Lấy được 2 quả cầu vừa khác màu vừa khác số”.

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A.

Suy ra n(A) = 2 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 3 = 19. Vậy $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{19}{36}.$

Bài tập Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài 1. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Gọi A là biến cố “chọn phương tiện ô tô hoặc tàu hỏa”, B là biến cố “Chọn phương tiện tàu thủy hoặc máy bay”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố $A\cup B$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A\cup B$.

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 10 + 5 = 15.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 + 2 = 5.

b) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Chọn một phương tiện để di chuyển từ A đến B”. Số kết quả thuận lợi của biến cố $A\cup B$ là: 15 + 5 = 20.

Bài 2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, $A\cap B$.

Hướng dẫn giải

Ta có A = {3; 6; 9; 12; 15; …; 48; 51} và B = {4; 8; 12; 16; 20; …; 48; 52}.

Vậy $A\cap B$ = {12; 24; 36; 48}.

Bài 3. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp (S) ở lần tung thứ nhất”;

B: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N) ở lần tung thứ nhất”.

Hai biến cố trên có xung khắc hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có: A = {SSS; SSN; SNS; SNN} và B = {NSS; NSN; NNS; NNN}.

Suy ra $A\cap B=\varnothing$. Do đó A và B là hai biến cố xung khắc.

Bài 4. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

E: “Cả hai đồng xu bạn Sơn gieo đều ra mặt sấp”.

F: “Hai đồng xu bạn Tùng gieo có một sấp, một ngửa”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F độc lập.

Hướng dẫn giải

Nếu F xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}$; nếu F không xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}.$

Nếu E xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}$; nếu E không xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy hai biến cố E và F độc lập.

Bài 5. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn”;

B: “Cả hai người được chọn đều họ Trần”;

C: “Cả hai người được chọn có cùng họ”.

C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B xung khắc nên $P\left(C\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right).$

Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_{36}^2=630;$ $n\left(A\right)=C_{25}^2=300;$ $n\left(B\right)=C_{11}^2=55.$

Suy ra $P\left(A\right)=\frac{300}{630};$ $P\left(B\right)=\frac{55}{630}.$

Vậy $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$=\frac{300}{630}+\frac{55}{630}=\frac{355}{630}=\frac{71}{126}.$

Bài 6. Người ta tiến thành lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số: 0; 1; 2;3;4; 5. Gọi A là biến cố “Số được lập là số chẵn”, B là biến cố “Số được lập là số chia hết cho 5”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số có 3 chữ số là: $\overline{abc}.$

+ Xét TH số được chọn là số chẵn.

TH1: c = 0, nên 1 có một cách chọn.

Số cách chọn a và a là $A_5^2=20.$

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 20 = 20.

TH2: $c\in \{2;4\}$, nên c có 2 cách chọn.

$a\ne 0;$ c nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a,c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 20 + 32 = 52.

+ Xét TH số được chọn chia hết cho 5.

TH1: c = 0, nên c có 1 cách chọn.

Số cách chọn a và b là $A_5^2=20.$

Áp dụng quy tắc nhân: 1 ∙ 20 = 20.

TH2: c = 5, nên c có 1 cách chọn.

$a\ne 0;c$ nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a,c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 20 + 16 = 36.

b) Gọi C là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Vậy $C=A\cup B.$

Không gian mẫu: n(Ω) = $5\cdot A_5^2=100$. Khi đó P(A) = $\frac{52}{100}$, P(B) = $\frac{36}{100}$.

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) = $\frac{20}{100}.$

Do đó: $P\left(C\right)=P\left(A\cup B\right)$$=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$$=\frac{52+36-20}{100}=\frac{17}{25}.$

Bài 7. Xét phép thử T. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố $A\cap B,\overline{A}\cap B$ và $\overline{A}\cap \overline{B}.$

b) Biết P(A) = 0,8 và $P(A\cap B)=0,4$. Hãy tính xác suất của các biến cố $B,\overline{A}\cap B$ và $\overline{A}\cap \overline{B}.$

Hướng dẫn giải

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $A\cap B$ là

$P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$$=0,3\cdot 0,7=0,21.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,7.$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap B$ là

$P(\overline{A}\cap B)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)$$=0,7\cdot 0,7=0,49.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,3.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap \overline{B}$ là

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$$=0,7\cdot 0,3=0,21.$

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên $P\left(B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4}{0,8}=0,5.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,2.$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap B$ là

$P(\overline{A}\cap B)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)$$=0,2\cdot 0,5=0,1.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,5.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\cap \overline{B}$ là

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$$=0,2\cdot 0,5=0,1.$

Bài 8. Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau”.

B: “Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Chứng minh rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh $P(A\cap B)\ne P\left(A\right)\cdot P\left(B\right).$

+ Tính P(A): Ta có $\Omega =\left\{\right(a,b,c);1\le a,b,c$$\le 6;a,b,c\in \mathbb{N}\},$$n\left(\Omega \right)=6\cdot 6\cdot 6=216.$

Ta có $A=\left\{\right(a,b,c);1\le a,b,c\le 6;$$a,b,c\in \mathbb{N};a\ne b\ne c\}.$

Mỗi bộ (a, b, c) là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có $n\left(A\right)=A_6^3=120.$

Vậy $P\left(A\right)=\frac{120}{216}.$

+ Tính P(B):

Xét biến cố đối $\overline{B}$: “Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6”. Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1\le a,b,c\le 6.$

Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Vậy $P\left(\overline{B}\right)=\frac{125}{216}$. Suy ra $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=\frac{91}{216}.$

+ Tính $P(A\cap B)$:

Mỗi kết quả thuận lợi cho $A\cap B$ là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1\le a,b,c\le 6$ và a, b, c là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $A_5^2=20$ cách chọn hai số còn lại trong 5 số {1; 2; 3; 4; 5}. Theo quy tắc nhân, ta có 3 ∙ 20 = 60 kết quả thuận lợi.

Do đó $P(A\cap B)=\frac{60}{216}\ne$$P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{120}{216}\cdot \frac{91}{216}.$

Vậy hai biến cố A, B không độc lập.

Bài 9. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Tính xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.

B là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.

C là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.

$\overline{B}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.

$\overline{C}$ là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.

P(A) = 0,95; P(B) = 0,85; P($\overline{A}$) = 0,05; P($\overline{B}$) = 0,15.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập.

Mà $\overline{C}=\overline{A}\cap \overline{B}$. Khi đó, $P\left(\overline{C}\right)=P(\overline{A}\cap \overline{B})=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$ = 0,0075.

$\Rightarrow P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=0,9925.$

Học tốt Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Các bài học để học tốt Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---