Tập hợp các số thực (Lý thuyết Toán lớp 7) - Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực hay nhất, chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tập hợp các số thực (Lý thuyết Toán lớp 7) - Kết nối tri thức

Lý thuyết Tập hợp các số thực

1. Khái niệm số thực và trục số thực

• Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp số thực được kí hiệu là $ℝ$.

• Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Ví dụ:

+ Số $0,6=\frac{3}{5}$ là một số hữu tỉ nên cũng là một số thực.

+ Số $-2=\frac{-2}{1}$ là một số hữu tỉ nên cũng là một số thực.

+ Số $\sqrt{2}=1,\mathrm{4142...}$ là một số vô tỉ nên cũng là một số thực.

Chú ý:

• Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực a đều có một số đối kí hiệu là – a.

Ví dụ: Số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$; số đối của $-\frac{3}{5}$ là $\frac{3}{5}$.

• Trong tập hợp số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $-\sqrt{2}+\frac{9}{4}+\sqrt{2}-\frac{5}{4}$ta làm như sau:

$-\sqrt{2}+\frac{9}{4}+\sqrt{2}-\frac{5}{4}$

$=-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{9}{4}-\frac{5}{4}$(Tính chất giao hoán)

$=\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)+\left(\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\right)$(Tính chất kết hợp)

$=0+\frac{4}{4}$(Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0)

$=0+1=1$ (Cộng với số 0)

• Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

2. Thứ tự trong tập hợp các số thực

• Các số thực đều được viết dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thế có thể so sánh hai số thực bằng cách viết dưới dạng số thập phân.

• Cũng như các số hữu tỉ, ta có

Với hai số thực a và b bất kì ta luôn có a = b hoặc a < b hoặc a > b.

Cho ba số thực a, b, c. Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).

• Trên trục số thực, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b. Các điểm nằm trước gốc O biểu diễn các số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương.

• x là số âm, ta viết: x < 0; x là số dương, ta viết: x > 0.

Ví dụ:

+ So sánh $-\sqrt{2}$ và ­– 1,5 ta làm như sau: $\sqrt{2}=1,\mathrm{4...}<1,5$ nên $-\sqrt{2}>-1,5$.

+ So sánh $\sqrt{3}$ và $-\sqrt{5}$ ta làm như sau: Vì $\sqrt{3}>0$và $-\sqrt{5}<0$ nên $\sqrt{3}>-\sqrt{5}$.

+ Ta có $1<\sqrt{3}<2$ nên điểm biểu diễn của $\sqrt{3}$ trên trục số nằm giữa hai điểm A và B.

Chú ý:

• Nếu 0 < a < b thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Ví dụ: 0 < 3 < 5 thì $\sqrt{3}<\sqrt{5}$

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

• Với số thực a tùy ý, ta có khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là |a |

• Giá trị tuyệt đối của 0 là 0.

• Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.

• Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó.

Ví dụ:

+ Số 1 và –1 là hai số đối nhau và có cùng giá trị tuyệt đối là 1.

$\left|1\right|=|-1|=1$

+ Số $\frac{3}{4}>0$ nên $\left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$

+ Số $-\sqrt{3}<0$ nên $|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$.

Bài tập Tập hợp các số thực

Bài 1. Cho tập hợp A = {1,9; –2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9}$; π; $\sqrt{5}$; $-\sqrt{36}$}. Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết:

a) Tập hợp B gồm các số hữu tỉ thuộc tập hợp A;

b) Tập hợp C gồm các số vô tỉ thuộc tập hợp A;

c) Tập hợp D gồm các số thực thuộc tập hợp A;

d) Tập hợp A’ gồm các số đối của các số thuộc tập hợp A.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $-\sqrt{36}=-\sqrt{6^2}=-6$

Vì 1,9; -2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9};-\sqrt{36}$ là số hữu tỉ nên

B = {1,9; –2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9}$; $-\sqrt{36}$}.

b) Vì $\pi ;\sqrt{5}$ là số vô tỉ nên

C = {π; $\sqrt{5}$}.

c) Vì các số hữu tỉ và các số vô tỉ đều là số thực nên

D = {1,9; –2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9}$; π; $\sqrt{5}$; $-\sqrt{36}$}.

d) Số đối của 1,9 là -1,9

Số đối của -2,(6) là 2,(6)

Số đối của 10 là -10

Số đối của $1\frac{2}{5}$ là $-1\frac{2}{5}$

Số đối của $\frac{-8}{9}$ là $\frac{8}{9}$

Số đối của $\pi$ là -$\pi$

Số đối của $\sqrt{5}$ là $-\sqrt{5}$

Số đối của $-\sqrt{36}$ là $\sqrt{36}$

Vậy A’ = {–1,9; 2,(6); –10; –$1\frac{2}{5}$; $\frac{8}{9}$; –π; $-\sqrt{5}$; $\sqrt{36}$}.

Bài 2. So sánh:

a) 28,03 và 28,0(23)

b) $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$

c) 4 và $\sqrt{10}$

d) –19,11 và –19,(1)

e) –2 và $-\sqrt{3}$

f) $\sqrt{2+3+4}$ và 3

g) |5| và |3|

Hướng dẫn giải

a) Vì 3 > 2 nên 28,03 > 28,02323… nên 28,03 > 28,0(23)

b) Vì $5<7$ nên $\sqrt{5}$ < $\sqrt{7}$

c) Vì 4 > 0 nên $4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}$

Mà 16 > 10 nên $\sqrt{16}>\sqrt{10}$.

Do đó: $4>\sqrt{10}$

d) Vì 0 < 1 nên 19,110 < 19,111 nên –19,11 > –19,(1)

e) Vì 2 > 0 nên $2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$. Mà 4 > 3 nên $\sqrt{4}>\sqrt{3}$.

Do đó $2>\sqrt{3}$. Vậy –2 < $-\sqrt{3}$.

f) $\sqrt{2+3+4}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$ nên $\sqrt{2+3+4}=3$.

g) $\left|5\right|=5$ (vì $-5<0$) và $\left|3\right|=3$ (vì 3 > 0). Mà 5 > 3 nên $|-5|$ > $\left|3\right|$

Bài 3. Tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

a) $-\frac{1}{7}$

b) $\frac{5}{4}$

c) $-3\frac{1}{5}$

d) $\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) Vì $-\frac{1}{7}$ < 0 nên $|-\frac{1}{7}|=\frac{1}{7}$

b) Vì $\frac{5}{4}$ > 0 nên $\left|\frac{5}{4}\right|=\frac{5}{4}$

c) Vì $-3\frac{1}{5}$ < 0 nên $|-3\frac{1}{5}|=3\frac{1}{5}$

d) Vì $\sqrt{2}$ > 0 nên $\left|\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$.

Bài 4. Tìm x, biết:

a) $\left|x\right|=0$

b) $\left|x\right|=\frac{1}{5}$

c) $\left|x\right|=0,37$

d) $|x-1|=2$

e) $\left|x\right|<3$ ($x\in \mathbb{Z}$)

Hướng dẫn giải

a) $\left|x\right|=0$ thì $x=0$

b) $\left|x\right|=\frac{1}{5}$ thì $x=\frac{1}{5}$ hoặc $x=-\frac{1}{5}$

c) $\left|x\right|=0,37$ thì x = 0,37 hoặc x = – 0,37

d) $|x-1|=2$

Trường hợp 1:

$x-1=2$

x = 2 + 1

x = 3

Trường hợp 2:

$x-1=-2$

$x=-2+1$

$x=-1$

Vậy $x=3$ hoặc $x=-1$

e) $\left|x\right|<3$ ($x\in \mathbb{Z}$)

$-3<x<3$

$x\in \left(-2;-1;0;1;2\right)$

Học tốt Tập hợp các số thực

Các bài học để học tốt Tập hợp các số thực Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

• Giải sbt Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 2

• Lý thuyết Toán 7 Bài 8: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc

• Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

• Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

• Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)

---