Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Thể tích khối đa diện

Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

2. Kết quả: Trong hình chóp đều:

    + Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.

    + Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

    + Cắt mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a. Gọi H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SA=a√5

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH = 2HB. Biết SC hợp với (ABC) một góc bằng 60º . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

AH = 2HB; AB = 3a ⇒ HB = a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Có: SH⊥(ABCD) nên góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và HC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC=a√3, H là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với đáy một góc 60º . Tính thể tích của khối chóp theo a

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

HD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SD và đáy là góc giữa HD và SD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 4: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO⊥(ABCD)

suy ra góc SDO =(SD,(ABCD))=60º .

Lại có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√3

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45º , đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB = 2a, góc ABC =60º và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 2a, góc ABC = 60º

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD), do đó, góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa HC và SC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm AB, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết tam giác SAB đều.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH=a√3

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 2: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết cạnh bên bằng 2a.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ⊥ (ABC)

Gọi M là trung điểm của BC ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆ABC đều cạnh a nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45º.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ⊥ (ABC)

Gọi M là trung điểm của BC ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

HA là hình chiếu vuông góc của SH lên mặt đáy (ABC)

Do đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc giữa AH và SA

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi H là trung điểm AB, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 60º

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD), do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và HC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác SCH vuông có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABCD là hình vuông cạnh 2a n ên SABC = 4a2

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 5: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hợp với đáy một góc 60º Tính thể tích khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO ⊥ (ABCD)

Ta có: OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng (ABCD)

Khi đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SA và OA

⇒ ∠(SAO) = 60º

Lại có: ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là giao điểm của hai đường chéo

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H thuộc đoạn AO. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên CD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(SCD) ∩ (ABCD) = CD

Và mặt phẳng (SHM) cắt hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) lần lượt tại các giao tuyến SM và HM.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa SM và HM

⇒ ∠(SMH) = 60º

HM // AD nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a;CD=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60º. Gọi I là trung điểm của AD. Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lấy E là điểm đối xứng với D qua C, suy ra tứ giác ABED là hình vuông. Gọi K là giao điểm của IE và BC.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt phẳng (SIK) vuông góc với BC là giao tuyến của (SBC) và (ABCD), đồng thời cắt 2 mặt phẳng này tại các giao tuyến SK và IK, suy ra

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a;CD=a nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết AD = 2BC = 2a và BD=a√5. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng góc giữa SB và (ABCD) bằng 30º

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy; (SAB) ∩ (SAD) = SA

⇒ SA ⊥ (ABCD)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SB và mặt đáy (ABCD) là góc giữa AB và SB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết mặt bên là tam giác vuông cân.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH ⊥ (ABC)

Gọi M là trung điểm của BC ta có AM = 3a/2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆ABC đều cạnh a√3 nên SABC = (3a2)/4

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết mặt bên là tam giác đều.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO ⊥ (ABCD)

∆SBC đều cạnh a√3 nên SC = a√3

Lại có: ABCD là hình vuông cạnh a√3, O là giao điểm của hai đường chéo

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


the-tich-khoi-da-dien.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12