Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Thể tích khối đa diện

Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Để xác định đường cao hình chóp, ta vận dụng định lí sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kẻ SH vuông góc với BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác SHB vuông tại H có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB

∆SAB đều nên SH ⊥ AB

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60º, AD = a. Tính thể tích của tứ diện ABCD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng (BCD)

Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng (BCD) là góc giữa AD và DH

⇒ ∠(ADH) =60º

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên

BC=2DH=a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD=2a√5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm của AB nên SM ⊥ AB

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và MC

⇒ ∠(SCM) = 60º

Trong tam giác vuông SMC và SMD có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do ABCD là hình vuông nên MC = MD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là hình chiếu của S lên BC; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó, ta có: góc giữa (SAB) và (SAC) với mặt đáy (ABC) lần lượt là các góc ∠(SEH ) và ∠(SFH )

⇒∠(SEH)=∠(SFH) = 60º

Xét các tam giác vuông SHE và SHF có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do HE = HF nên AH là phân giác của góc BAC.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC vuông cân tại S nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác SBC vuông cân tại S, BC = a, SH là trung tuyến

⇒ SH=a/2

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 2: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có: ABC và BCD là hai tam giác đều, chung cạnh BC nên chúng bằng nhau

⇒ AH=DH

Do đó, tam giác ADH vuông cân tại H, có AD = a

⇒ AH=a/√2

Mà ABC là tam giác đều nên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º. SBC là tam giác đều cạnh a là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC đều nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º; BC = a nên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

SH là đường cao của tam giác đều cạnh a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60º, cạnh AC = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SM ⊥ AB.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABCD là hình thoi cạnh a có AC = a nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa MC và SC

⇒ ∠(SCM)=60º

Xét tam giác vuông SMC có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ OA=AC/2=a;OB=BD/2=2a

Xét tam giác OAB vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác SAB đều cạnh a√5 có SH là đường cao

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB=a√3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đát. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

⇒ SH ⊥ (ABCD)

Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2

⇒ ∆SAB vuông tại S

⇒ SM=AB/2=a

∆ SAM có SA = AM = SM = a nên ∆ SAM đều

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, ∠(SBC)=60º, mặt phẳng (SAC) vuông góc với (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AC, tam giác SAC cân tại S nên SH ⊥ AC

⇒ SH ⊥ (ABC). Đặt SH = h.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)

HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) nên góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa HC và SC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AB=a,BC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Do (ABC) ⊥ (SAB) nên SH ⊥ (ABC)

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD) bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Vì tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy nên H là trung điểm AD. Gọi K là giao điểm HC và BM.

+) ∆CHD=∆BMC (c.g.c)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt phẳng (SHK) vuông góc với BM là giao tuyến của (SBM) và (ABCD), đồng thời cắt 2 mặt phẳng này tại các giao tuyến SK và HK, suy ra góc giữa (SBM) và (ABCD) là góc giữa SK và HK.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


the-tich-khoi-da-dien.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12