Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

---

---

Bài viết Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.

Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Để xác định đường cao hình chóp, ta vận dụng định lí sau:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Kẻ SH vuông góc với BC

Xét tam giác SHB vuông tại H có:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Gọi H là trung điểm của AB

∆SAB đều nên SH ⊥ AB

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60º, AD = a. Tính thể tích của tứ diện ABCD

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC

Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng (BCD)

Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng (BCD) là góc giữa AD và DH

⇒ ∠(ADH) =60º

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên

BC=2DH=a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD=2a√5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm của AB nên SM ⊥ AB

MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và MC

⇒ ∠(SCM) = 60º

Trong tam giác vuông SMC và SMD có:

Do ABCD là hình vuông nên MC = MD

Lại có:

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Gọi H là hình chiếu của S lên BC; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

Khi đó, ta có: góc giữa (SAB) và (SAC) với mặt đáy (ABC) lần lượt là các góc ∠(SEH ) và ∠(SFH )

⇒∠(SEH)=∠(SFH) = 60º

Xét các tam giác vuông SHE và SHF có:

Do HE = HF nên AH là phân giác của góc BAC.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC vuông cân tại S nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Tam giác SBC vuông cân tại S, BC = a, SH là trung tuyến

⇒ SH=a/2

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Bài 2: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Lại có: ABC và BCD là hai tam giác đều, chung cạnh BC nên chúng bằng nhau

⇒ AH=DH

Do đó, tam giác ADH vuông cân tại H, có AD = a

⇒ AH=a/√2

Mà ABC là tam giác đều nên:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º. SBC là tam giác đều cạnh a là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC đều nên SH ⊥ BC.

Ta có:

Xét tam giác ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º; BC = a nên:

SH là đường cao của tam giác đều cạnh a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60º, cạnh AC = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SM ⊥ AB.

Ta có:

ABCD là hình thoi cạnh a có AC = a nên ta có:

Ta có: MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa MC và SC

⇒ ∠(SCM)=60º

Xét tam giác vuông SMC có:

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB.

Ta có:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ OA=AC/2=a;OB=BD/2=2a

Xét tam giác OAB vuông tại O có:

Tam giác SAB đều cạnh a√5 có SH là đường cao

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB=a√3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đát. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

⇒ SH ⊥ (ABCD)

Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có: SA²+SB²=a²+3a²=4a²=AB²

⇒ ∆SAB vuông tại S

⇒ SM=AB/2=a

∆ SAM có SA = AM = SM = a nên ∆ SAM đều

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, ∠(SBC)=60º, mặt phẳng (SAC) vuông góc với (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của AC, tam giác SAC cân tại S nên SH ⊥ AC

⇒ SH ⊥ (ABC). Đặt SH = h.

Ta có:

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)

HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) nên góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa HC và SC

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AB=a,BC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Do (ABC) ⊥ (SAB) nên SH ⊥ (ABC)

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên

Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD) bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

+) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Vì tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy nên H là trung điểm AD. Gọi K là giao điểm HC và BM.

+) ∆CHD=∆BMC (c.g.c)

Mặt phẳng (SHK) vuông góc với BM là giao tuyến của (SBM) và (ABCD), đồng thời cắt 2 mặt phẳng này tại các giao tuyến SK và HK, suy ra góc giữa (SBM) và (ABCD) là góc giữa SK và HK.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Lý thuyết Công thức tính diện tích tam giác và tứ giác
• Lý thuyết Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Lý thuyết Công thức tính thể tích đa diện
• Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
• Dạng 2: Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy
• Dạng 4: Tính tỉ số thể tích hai khối chóp
• Lý thuyết Thể tích khối lăng trụ
• Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều
• Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ xiên

---

---

---