Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Tính tỉ số thể tích hai khối chóp - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Thể tích khối đa diện

Tính tỉ số thể tích hai khối chóp

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hình chóp S.ABC có 3 điểm A’. B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC. Khi đó, ta có công thức về tỷ số thể tích như sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chú ý 1:

    + Công thức tỷ số thể tích trên ta chỉ áp dụng cho chóp có đáy là tam giác.

    + Công thức trên vẫn đúng trong trường hợp A’ trùng với A. Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chú ý 2: (Áp dụng cho khối chóp với mọi đáy)

    + Hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chính là tỉ số diện tích đáy tương ứng.

    + Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích chính là tỉ số đường cao tương ứng.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC

Hướng dẫn:

Do A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khi đó, tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD bằng?

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta thấy hai hình chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD có chung chiều cao kẻ từ đỉnh S xuống đáy. Vậy để tìm tỉ số thể tích hai khối chóp, ta chỉ cần tìm tỉ số diện tích 2 đáy.

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp SABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P, sao cho SA=2SM;SB=3SN;SC=2SP.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn SA = 2SM; SB = 3SN; SC = 4 SP; SD = 5 SQ. Tính thể tích của khối chóp S.MNPQ

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vì công thức thể tích chỉ dùng cho tam giác có chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh

Nên ta chia khối chóp thành 2 khối chóp nhỏ có đáy là tam giác

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do ABCD là hình thoi nên SABC = SADC và hai hình chóp S.ABC; S.ADC có cùng chiều cao hạ từ S nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, AC=a√2;SA=a,SA⊥(ABC). Gọi G là trọng tâm của ∆SBC, một mặt phẳng (α) đi qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt taị M, N. Tính thể tích khối chóp S.AMN.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác ABC vuông tại B có AC=a√2⇒AB=BC=a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác SBC

⇒SG/SI=2/3

Mà MN // BC nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho khối chóp S.ABC. Lấy A’, B’ lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2SA’ = 3A’A, 3SB’ = B’B. Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.A’B’C và S.ABC là:

A.3/20        B.2/15        C.1/6        D.3/10

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy SA vuông góc với đáy, SA=A, AC=a√2, AB = 3a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

A.1/√30        B.1/3        C.1/30        D.1/2

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆SAC vuông tại A, có AN ⊥ SC tại N nên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tương tự, ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M, B lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM.

A.8a3        B.(2a3)/3        C.a3        D.(3a3)/2

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SBc. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối chóp M.ABC và G.ABD. Tính tỉ số V/V’

A.3/2        B.4/3        C.5/3        D.2

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, G lên mặt phẳng (ABCD).

Ta có MI // GJ

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do các tam giác ABC và ADB có cùng diện tích nên tỉ số thể tích giữa các khối chóp M.ABC và G.ABD là tỉ số đường cao của chúng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); AB = 2a, AD = CD = a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60º. Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M và N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét hình thang ABCD vuông tại A, D có AD = DC = a, AB = 2a

Gọi E là trung điểm của AB ⇒ CE=EB=a; CE ⊥ AB

⇒ ∆ACB vuông tại C ⇒ AC ⊥ CB

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do các khối chóp S.CDA; S.ABC và S.ABCD có cùng chiều cao hạ từ đỉnh S;

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB, cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó MN // AB và:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SA, SB.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

A.1/2        B.3/8        C.5/8        D.1/4

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SC. Thể tích khối chóp A.MNP là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC, BC nên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do ∆ABC đều nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh lần lượt là SA = a, SB = b, SC = c. Trên SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P sao cho SM = 1, SN = 2, SP=1/2. Tỷ số thể tích giữa khối chóp S.ABC và S.MNP là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích, ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

A.1/6        B.1/9        C.1/12        D.1/3

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Áp dụng công thức thể tích, ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB=a√3;AC=2a,AD=2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC. Tính thể tích của tứ diện AHKD

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác DAC vuông tại A, AK ⊥ DC có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tương tự, ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


the-tich-khoi-da-dien.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác