Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Thể tích khối đa diện

Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Khối lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất:

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

    + Chiều cao là cạnh bên

2. Khối lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tính chất:

    + Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

    + Chiều cao là cạnh bên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là:

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựng A'M ⊥ BC, ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do AM ⊥ BC nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác AAM vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là:

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:AC ⊥ BD tại tâm O của hình vuông ABCD.

Mặt khác CC' ⊥ BD do đó BD ⊥ (COC')

Suy ra ((C'BD),(ABCD)) = ∠(C'OD) = 60º

Lại có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết BA = BC = 2a, và (A’BC) hợp với đáy một góc 30°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC'=a√3

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do đó, thể tích của khối lập phương là V=a^3.

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°, cạnh AB = a. Thể tích khối đa diện ABCC’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ ⇒ AA' ⊥ (ABC) và ∆ABC đều.

Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ABC đều cạnh a nên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a và đường chéo B’D của lăng trụ hợp với đáy (ABCD) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BB' ⊥ (ABCD) nên BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD)

Do B’D hợp với đáy ABCD một góc 30º nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác B’BD vuông tại B có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A'A ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2, A’C tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2

⇒ AB=AC=BC/√2=a

AA' ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC)

⇒ (A' C;(ABC))= ∠(A'CA)=60°

Xét tam giác A’AC vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30° và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích lăng trụ.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên A'A ⊥ (ABC),

Giả sử ∆ABC đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC;AM=(a√3)/2

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Đáy A’B’C’ là tam giác đều cạnh a nên S(A' BC) = (a2 √3)/4

Khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a nên chiều cao

AA’ = a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ∠(ACB)=120º và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kẻ CP ⊥ AB (P ∈ (AB).

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ Hình chiếu vuông góc của CA’ trên mặt phẳng (ABB’A’) là CP

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AA’. Tìm mệnh đề đúng.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


the-tich-khoi-da-dien.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác