Tính thể tích khối lăng trụ xiên - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Thể tích khối đa diện

Tính thể tích khối lăng trụ xiên

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hình lăng trụ xiên là hình lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ∆ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M là trung điểm của AB, O là tâm của tam giác đều ABC.

Do A’ cách đều các điểm A, B, C nên A'O ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét ∆A’AO vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ∠(ACB) =300; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

A'H ⊥ (ABC) nên A’H là đường cao của lăng trụ

AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên mặt (ABC) nên góc giữa AA’ và (ABC) là góc (A'AH)=600

∆ABC vuông tại B có AB = a, ∠(ACB)=300

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

BM là trung tuyến

⇒BM=AM=AC/2=a

⇒BM=AM=AB=a

Do đó ∆ABM đều cạnh a có AH ⊥ BM

⇒AH=(a√3)/2

Xét tam giác AA’H có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a√3, BC = 3a, ∠(ACB)=300. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABCD)

Khi đó góc giữa AA’ và (ABCD) là góc (A'AH) =600

Ta có: BC = 3a, HC = 3BH ⇒ HC=9a/4

Xét tam giác ACH có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác AA’H có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Chân đường vuông góc kẻ từ A’ lên (ABCD) trùng với giao điểm của 2 đường chéo đáy, mặt (AA’B’B) hợp với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kẻ OM ⊥ AB⇒ OM là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ OM=AB/2=a/2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác A’MO có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành ABB’A’. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’.

Ta có CO ⊥ (ABB' A')

Vì CA = CB nên , suy ra hình thoi ABB’A’ là hình vuông

Do đó:

OA=AB/√2=a/√2

Xét tam giác COA vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có AB = 2a, AC = a, AA'=(a√10)/2; ∠(BAC) =120º . Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C'H ⊥ (ABC).

Trong ∆ABC ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc α với tan⁡α=2/√5 . Thể tích khối chóp A’.ICD là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Từ giả thiết ta có A' I ⊥ (ABCD)

Theo bài ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa đường thẳng A’C và (ABCD) là góc giữa A’C và IC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác vuông A’IC có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có BB’ = a góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60º, tam giác ABC vuông tại C và ∠(BAC) =60º. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện A’ABC là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC

⇒ B'G ⊥ (ABC)

Ta có BG là hình chiếu vuông góc của BB’ trên (ABC)

⇒ Góc giữa BB’ và (ABC) là góc giữa BB’ và BG

⇒ ∠(B'BG)=60º

Xét tam giác B’BG vuông tại G có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong tam giác ABC có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác BCD vuông tại C có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối tứ diện A’ABC là :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho ∠(BAA' ) =45º .Thể tích khối lăng trụ đã cho là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi E là trung điểm của AB, ta có :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác vuông A’EA có A = 45º nên là tam giác vuông cân tại E.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác ABC đều cạnh a có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác vuông A’OE ( vuông tại O) có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=√3; AD=√7. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45º và 60º. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

A. 3        B. 2        C. 4        D. 8

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kẻ A' H ⊥ (ABCD); HM ⊥ AB; HN ⊥ AD

Ta có: A' H ⊥ AB; HM ⊥ AB ⇒ (A' MH) ⊥ AB

⇒ A'M ⊥ AB

Khi đó, góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và (ABCD) là góc giữa A’M và MH

⇒ ∠(A'MH)=45º

Tương tự, ta có: góc giữa mặt phẳng (ABD’A’) và (ABCD) là góc giữa A’N và NH

⇒ ∠(A'NH)=60º

Đặt A’H = x .Khi đó :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác ANA’vuông tại N có :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác A’HM vuông tại H có : HM=A' H.tan⁡∠(A'MH) =x.tan⁡45º =x

Mà AN = HM (ANHM là hình chữ nhật)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ A' I ⊥ (ABC)

Kẻ IM ⊥ AC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác AMI vuông tại M có :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác A’IM vuông tại I có :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a√3 và hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC).

Ta có: AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC)

⇒ Góc giữa AA’ và (ABC) là góc giữa AH và AA’

⇒ ∠(A'AH)=60º

Xét tam giác AA’H vuông tại H có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh AA’ và BB’. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC’ bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi K là trung điểm của CC’ .

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, O là giao điểm của AC và BD. Tỷ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Cho lăng trụ A BC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ là (a3√3)/8, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H trung điểm của BC ⇒ A'H ⊥ (ABC)

Ta có: VABC.A'B'C' = A' H.SABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có AH là đường trung tuyến của tam giác đều cạnh a

⇒ AH=(a√3)/2

Xét tam giác A’AH vuông tại H có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy cạnh bên bằng a.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


the-tich-khoi-da-dien.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác