Bài toán thực tế lớp 10 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài toán thực tế lớp 10 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 10.

Bài toán thực tế lớp 10 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 10 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Số trung bình

- Giả sử ta có một mẫu số liệu là $x_1,x_2,\dots ,x_n$ .

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là $\overline{x}$ , được tính bởi công thức $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$ .

- Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Khi đó, công thức tính số trung bình trở thành $\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_k{x}_k}{n}$ , trong đó $n=n_1+n_2+\dots +n_k$ . Ta gọi n là cố mấu.

Chú ý: Kí hiệu $f_k=\frac{n_k}{n}$ là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của $x_k$ trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn là $\overline{x}=f_1{x}_1+f_2{x}_2+\dots +f_k{x}_k$ .

-Ý nghĩa của số trung bình: Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

2. Trung vị và tứ phân vị

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được $x_1\le x_2\le \dots \le x_n$ .

- Trung vị của mẫu, kí hiệu là $M_e$ , là giá trị ở chính giữa dãy $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ . Cụ thể:

Nếu $n=2k+1,k\in \mathbb{N}$ thì trung vị mẫu là $M_e=x_{k+1}$ .

 Nếu $n=2k,k\in \mathbb{N}$  thì trung vị mẫu là $M_e=\frac{1}{2}\left(x_k+x_{k+1}\right)$ .

- Ý nghĩa của trung vị: Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.

- Tứ phân vị của một mẫu ngẫu nhiên gồm 3 giá trị, đó là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là  $Q_1,Q_2,Q_3$). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai, $Q_2$ , chính là trung vị của mẫu.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất, $Q_1$ , là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n  lẻ).

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba $,Q_3$, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ).

- Ý nghĩa của tứ phân vị: Các điểm tứ phân vị $Q_1,Q_2,Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng 25% tổng số số liệu đã thu thập được. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị  thứ ba $Q_3$ còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.

3. Mốt

- Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu, kí hiệu là $M_o$ .

- Ý nghĩa của mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

4. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được $x_1\le x_2\le \dots \le x_n$ .

-Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là: $R=x_n-x_1$ .

-Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ${\Delta }_Q$ , là hiệu giữa $Q_3$ và $Q_1$ , tức là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ .

- Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

+ Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

+ Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ $Q_1$  đến $Q_3$ trong mẫu.

+ Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

- Giá trị ngoại lệ

+ Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x  trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5{\Delta }_Q$  hoặc $x<Q_1-1,5{\Delta }_Q$ .

+ Khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu.

5. Phương sai và độ lệch chuẩn

Giả sử ta có một mẫu số liệu là $x_1,x_2,\dots ,x_n$ .

- Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là $S^2$ , được tính bởi công thức

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

- Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S .

Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

- Khi đó, công thức tính phương sai trở thành 

trong đó $n=n_1+n_2+\dots +n_k$ .

- Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành $S^2=\frac{1}{n}\left(n_1{x}_1^2+n_2{x}_2^2+\dots +n_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$

- Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

+ Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

+ Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của các bạn tổ lở lớp 10A lần lượt là:

$165 155 171 167 159$$155 165 160 158$

Đối với mẫu số liệu trên, hãy tìm:

a. Số trung bình cộng;

b. Trung vi:

c. Mốt;

d. Tứ phân vi.

Lời giải

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm là:

$155 155 158 159 160$$165 165 167 171$

a. 

$\overline{x}=\frac{155+155+158+159+160+165+165+167+171}{9}$$\approx 161,67$

b. Mẫu số liệu trên có 9 số, vậy $M_e=160$

c. Trung vị của mẫu số liệu là: $Q_2=160$

Trung vị của dãy 155155158159 là $Q_1=\frac{155+158}{2}=156,5$

Trung vị của dãy 165165167171 là $Q_3=\frac{165+167}{2}=166$

d. $M_o=155$ và $M_o=165$

Câu 2: Số đôi giày bán ra trong Quý IV năm 2020 của một cửa hàng được thống kê trong bảng tần số sau:

Cỡ giày	37	38	39	40	41	42	43	44
Tẩn số	40	48	52	70	54	47	28	3
(Số đôi giày bán được)

a. Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

b. Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày nào để bán trong tháng tiếp theo?

Lời giải

a. $M_o=40$

b. Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày 40 để bán trong tháng tiếp theo.

Câu 3: Bảng 2 cho biết nhiệt độ trung bình các tháng trong năm ở Hà Nội.

a. Nhiệt độ trung bình trong năm ở Hà Nội là bao nhiêu?

b. Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị thấp nhất là bao nhiêu độ C? Cao nhất là bao nhiêu độ C?

Câu 4: Bảng 3 cho biết tổng diện tích rừng từ năm 2008 đến năm 2019 ở nước ta.

a. Diện tích rừng trung bình của nước ta từ năm 2008 đến năm 2019 là bao nhiêu?

b. Từ năm 2008 đến năm 2019, diện tích rừng của năm có giá trị thấp nhất là bao nhiêu triệu héc-ta? Cao nhất là bao nhiêu triệu héc-ta?

c. So với năm 2008, tỉ lệ tổng diện tích rừng của nước ta năm 2019 tăng lên được bao nhiêu phần trăm? Theo em, tỉ lệ tăng đó là cao hay thấp?

d. Hãy tìm hiểu số liệu về tổng diện tích rừng của tỉnh em đang sống trong một số năm gần đây.

Câu 5: Bốn bạn Bình, Cường, Hoa, Kiên cùng thi vào trường phổ thông chất lượng cao Bình Minh. Kết quả thi được cho bởi bảng thống kê sau:

Học sinh	Điểm Toán	Điểm Ngũ Văn	Điểm Tiếng Anh
Bình	10	8	9
Cường	6	7	5
Hoa	10	10	4
Kiên	9	5	10

Tính điểm trung bình kết quả thi 3 môn Toán, Ngũ̃ Văn, Tiếng Anh của mỗi bạn và cho biết bạn nào trúng tuyển. Biết rằng, nếu muốn trúng tuyển, điểm trung bình các môn thi ở trên phải lớn hơn hoặc bằng 8 và không môn nào dưới 5 điểm.

Câu 6: Đầu năm học, nhà trường cho học sinh khám sức khỏe. Mẫu số liệu thống kê kết quả đo cân nặng (đơn vị: ki-lô-gam) của 7 bạn nam đầu tiên như sau:

Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

Câu 7: Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của 10 bạn tổ I lớp 10A như sau:

$\begin{array}{lllll}164& 156& 170& 168& 158\end{array}$$\begin{array}{lllll}173& 167& 161& 157& 174\end{array}$

Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 10 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 10 Hai phương trình quy về phương trình bậc hai

• Bài toán thực tế lớp 10 Đường thẳng

• Bài toán thực tế lớp 10 Phương trình đường tròn

• Bài toán thực tế lớp 10 Ba đường Conic

• Bài toán thực tế lớp 10 Đại số tổ hợp

• Bài toán thực tế lớp 10 Xác suất

---