Phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn

1. Mở đầu về phương trình một ẩn

• Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Ví dụ 1.

5x – 1 = 2x là phương trình bậc nhất với ẩn x;

3(y – 1) + 4 = y – 6 là phương trình bậc nhất với ẩn y.

• Nếu hai vế của phương trình (ẩn x) nhận cùng một giác trị khi x = a thì số a gọi là một nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ 2. Cho phương trình 3x – 7 = 3 – 2x. Kiểm tra xem x = –1 và x = 2 có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Hướng dẫn giải

• Với x = –1, thay vào hai vế của phương trình ta có: 3 . (–1) – 7 ≠ 3 – 2. (–1).

Do đó, x = –1 không là nghiệm của phương trình đã cho.

• Với x = 2, thay vào hai vế của phương trình ta có: 3 . 2 – 7 ≠ 3 – 2 . 2 (đều bằng –1).

Do đó, x = –1 không là nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý: Khi bài toán yêu cầu giải một phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

2. Phương trình một ẩn một ẩn

2.1. Định nghĩa

Phương trình dạng ax + b = 0,với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 3. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất và hệ số trong các phương trình sau:

1 + x = 0;

x + x² = 0;

1 – 2x = 0;

3x = 0;

0x – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

− Phương trình 1 + x = 0 là phương trình bậc nhất với a = 1; b = 1.

− Phương trình x + x² không phải phương trình bậc nhất vì có chứa x² bậc hai.

− Phương trình 1 – 2x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn t với a = –2 và b = 1.

− Phương trình 3x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn y với a = 3 và b = 0.

− Phương trình 0x – 3 = 0 không phải phương trình bậc nhất vì hệ số bậc nhất a = 0.

2.1. Cách giải

Để giải phương trình, ta thường sử dụng các quy tắc biến đổi sau:

• Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.

• Quy tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ngoài ra quy tắc nhân còn được phát biểu như sau: Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác 0.

Một cách tổng quát, ta có:

Phương trình ax + b = 0 (với a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b = 0

ax = −b

$x=\frac{-b}{a}.$

Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0)luôn có nghiệm duy nhất $x=\frac{-b}{a}.$

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) 5x – 1 = 0;

b) $\frac{1}{2}x+5=0.$

Hướng dẫn giải:

a) 5x – 1 = 0

5x = 1

x = 1 : 5

$x=\frac{1}{5}.$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{5}.$

b) $\frac{1}{2}x+5=0$

$\frac{1}{2}x=-5$

$x=\left(-5\right):\frac{1}{2}$

x = –10.

Vậy nghiệm phương trình là x = –10.

Nhận xét: Từ các quy tắc biến đổi trên, ta cũng có thể giải được phương trình dạng:

ax + b = cx + d (a ≠ c).

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x)

b) 4(x – 4) = –7x + 17

Hướng dẫn giải:

a) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 6 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 5 + 6

9x = 13

$x=\frac{13}{9}.$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{13}{9}.$

b) 4(x – 4) = –7x + 17

4x – 16 = –7x + 17

4x + 7x = 17 + 16

11x = 33

x = 3

Vậy nghiệm phương trình là x = 3.

Bài tập Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x);

b) $\frac{x}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{15x}{12}=\frac{x}{4}-5;$

c) $\frac{2\left(x+5\right)}{3}+\frac{x-12}{2}$$-\frac{5\left(x-2\right)}{6}=\frac{x}{3}+11.$

Hướng dẫn giải

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 2 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 3

9x = 9

x = 1.

Vậy nghiệm phương trình là x = 1.

b) $\frac{x}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{15x}{12}=\frac{x}{4}-5$

$\frac{4x}{12}-\frac{10x}{12}-\frac{15x}{12}$$=\frac{3x}{12}-\frac{60}{12}$

4x – 10x – 15x = 3x – 60

3x – 4x + 10x + 15x = 60

24x = 60

$x=\frac{5}{2}.$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{5}{2}.$

c) $\frac{2\left(x+5\right)}{3}+\frac{x-12}{2}$$-\frac{5\left(x-2\right)}{6}=\frac{x}{3}+11$

$\frac{4\left(x+5\right)}{6}+\frac{3\left(x-12\right)}{6}$$-\frac{5\left(x-2\right)}{6}=\frac{2x}{6}+\frac{66}{6}$

4(x + 5) + 3(x + 12) – 5(x – 2) = 2x + 66

4x + 20 + 3x + 36 – 5x + 10 = 2x + 66

2x + 66 = 2x + 66

0x = 0 (thỏa mãn mọi giá trị của x)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 2. Cho $A=\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}$ và $B=\frac{5x+4}{3}+3$. Tính giá trị của x để A = B.

Hướng dẫn giải:

Để A = B thì $\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}$$=\frac{5x+4}{3}+3$

$\frac{21\left(4x+3\right)-15\left(6x-2\right)}{105}$$=\frac{35\left(5x+4\right)+3\cdot 105}{105}$

21(4x + 3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 3 . 105

84x + 63 – 90x + 30 = 175x + 455

84x – 90x – 175x = 455 – 30 – 63

–181x = 362

x = –2.

Vậy để A = B thì x = –2.

Bài 3. An và Minh gặp nhau tại một hội sách. An mua 3 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 120 nghìn đồng, Minh mua 5 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 80 nghìn đồng. Biết số tiền phải trả của 2 bạn bằng nhau.

a) Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền của mỗi cuốn truyện Conan. Viết phương trình biểu thịtổng số tiền hai bạn An và Minh phải trả là bằng nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm giá tiền mỗi cuốn truyện Conan.

Hướng dẫn giải:

a) Số tiền An phải trả là 3x + 120 (nghìn đồng).

Số tiền Minh phải trả là 5x + 80 (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có phương trình biểu diễn tương ứng số tiền của 2 bạn là

3x + 120 = 5x + 80.

b) Ta có phương trình:

3x + 120 = 5x + 80

5x – 3x = 120 – 80

2x = 40

x = 20

Vậy giá 1 cuốn Conan là 20 nghìn đồng.

Bài 4. Theo số liệu thống kê, dân số của một đất nước sau mỗi năm được biểu diễn qua phương trình

M = N(1 + 0,032).

Trong đó, M là số dân của đất nước đó năm nay (triệu người);

N là số dân nước đó vào năm trước (triệu người).

Biết số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người. Tính số dân đất nước đó năm trước.

Hướng dẫn giải

Số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người nên M = 103,2 (triệu người).

Theo đề bài ta có 103,2 = N(1 + 0,032)

N = $\frac{103,2}{1+0,032}$

N = 100 (triệu người).

Vậy dân số của đất nước đó vào năm trước là 100 triệu người.

Bài 5. Hiện nay tuổi của bố Dũng gấp 5 lần tuổi của Dũng. Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng gấp 3 lần tuổi của Dũng.

a) Viết phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố Dũng sau 6 năm.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tính số tuổi hiện tại tuổi của Dũng.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi số tuổi hiện nay của Dũng là x (tuổi).

Số tuổi hiện nay của bố Dũng là 5x (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của Dũng là x + 6 (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng là 5x + 6 (tuổi).

Theo đề bài, ta có phương trình: 5x + 6 = 3(x + 6).

Vậy phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố sau 6 năm là 5x + 6 = 3(x + 6).

b) Ta có 5x + 6 = 3(x + 6)

5x + 6 = 3x + 18

5x – 3x = 18 – 6

2x = 12

x = 12 : 2

x = 6.

Vậy tuổi của Dũng hiện tại là 6 tuổi .

Bài 6. Công thức Lozentz tính cân nặng lý tưởng theo chiều cao dành cho nam là $F=T-100-\frac{T-150}{4}$, trong đó F là cân nặng lý tưởng (kg) và T là chiều cao (cm) (T > 0). Anh Minh có cân nặng 65kg thì phải đạt chiều cao bao nhiêu để cân nặng của anh là cân nặng lý tưởng?

Hướng dẫn giải

Thay F = 65 vào công thức ta có: $65=T-100-\frac{T-150}{4}$

$T-\frac{T-150}{4}=65+100$

$T-\frac{T}{4}+\frac{75}{2}=165$

$\frac{3}{4}T=\frac{255}{2}$

$T=\frac{255}{2}:\frac{3}{4}$

T = 170 (TMĐK).

Vậy anh Minh phải cao 170cm thì cân nặng của anh là lý tưởng.

Học tốt Phương trình bậc nhất một ẩn

Các bài học để học tốt Phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

• Giải sbt Toán 8 Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 7

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---