Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 7 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 7: Phương trình bậc nhất một ẩn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 7 Cánh diều

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Lý thuyết Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 7

1. Mở đầu về phương trình một ẩn

• Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

• Nếu hai vế của phương trình (ẩn x) nhận cùng một giác trị khi x = a thì số a gọi là một nghiệm của phương trình đó.

Chú ý: Khi bài toán yêu cầu giải một phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

2. Phương trình một ẩn một ẩn

2.1. Định nghĩa

Phương trình dạng ax + b = 0,với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2.1. Cách giải

Để giải phương trình, ta thường sử dụng các quy tắc biến đổi sau:

• Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.

• Quy tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ngoài ra quy tắc nhân còn được phát biểu như sau: Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác 0.

Một cách tổng quát, ta có:

Phương trình ax + b = 0 (với a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b = 0

ax = −b

$x=\frac{-b}{a}.$

Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) luôn có nghiệm duy nhất $x=\frac{-b}{a}.$

Nhận xét: Từ các quy tắc biến đổi trên, ta cũng có thể giải được phương trình dạng:

ax + b = cx + d (a ≠ c).

3. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Nhận xét: Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một trong đó là x thì các đại lượng khác có thể biểu diễn dưới dạng một biểu thức của biến x.

4. Ứng dụng phương trình bậc nhất một ẩn

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình như sau:

Bước 1. Lập phương trình.

– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Kết luận.

– Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

– Đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Bài tập Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 7

Bài 1. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất và hệ số trong các phương trình sau:

1 + x = 0;

x + x² = 0;

1 – 2x = 0;

3x = 0;

0x – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

• Phương trình 1 + x = 0 là phương trình bậc nhất với a = 1; b = 1.

• Phương trình x + x² không phải phương trình bậc nhất vì có chứa x² bậc hai.

• Phương trình 1 – 2x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn t với a = –2 và b = 1.

• Phương trình 3x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn y với a = 3 và b = 0.

• Phương trình 0x – 3 = 0 không phải phương trình bậc nhất vì hệ số bậc nhất a = 0.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 5x – 1 = 0;

b) $\frac{1}{2}x+5=0.$

c) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x);

d) 4(x – 4) = –7x + 17

Hướng dẫn giải

a) 5x – 1 = 0

5x = 1

x = 1 : 5

$x=\frac{1}{5}.$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{5}.$

b) $\frac{1}{2}x+5=0$

$\frac{1}{2}x=-5$

$x=\left(-5\right):\frac{1}{2}$

x = –10.

Vậy nghiệm phương trình là x = –10.

c) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 6 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 5 + 6

9x = 13

$x=\frac{13}{9}.$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{13}{9}.$

d) 4(x – 4) = –7x + 17

4x – 16 = –7x + 17

4x + 7x = 17 + 16

11x = 33

x = 3

Vậy nghiệm phương trình là x = 3.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x);

b) $\frac{x}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{15x}{12}=\frac{x}{4}-5;$

c) $\frac{2\left(x+5\right)}{3}+\frac{x-12}{2}$$-\frac{5\left(x-2\right)}{6}=\frac{x}{3}+11.$

Hướng dẫn giải

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 2 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 3

9x = 9

x = 1.

Vậy nghiệm phương trình là x = 1.

b) $\frac{x}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{15x}{12}=\frac{x}{4}-5$

$\frac{4x}{12}-\frac{10x}{12}-\frac{15x}{12}$$=\frac{3x}{12}-\frac{60}{12}$

4x – 10x – 15x = 3x – 60

3x – 4x + 10x + 15x = 60

24x = 60

$x=\frac{5}{2}.$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{5}{2}.$

c) $\frac{2\left(x+5\right)}{3}+\frac{x-12}{2}$$-\frac{5\left(x-2\right)}{6}=\frac{x}{3}+11$

$\frac{4\left(x+5\right)}{6}+\frac{3\left(x-12\right)}{6}$$-\frac{5\left(x-2\right)}{6}=\frac{2x}{6}+\frac{66}{6}$

4(x + 5) + 3(x + 12) – 5(x – 2) = 2x + 66

4x + 20 + 3x + 36 – 5x + 10 = 2x + 66

2x + 66 = 2x + 66

0x = 0 (thỏa mãn mọi giá trị của x)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 4. Cho $A=\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}$ và $B=\frac{5x+4}{3}+3$. Tính giá trị của x để A = B.

Hướng dẫn giải:

Để A = B thì $\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}$$=\frac{5x+4}{3}+3$

$\frac{21\left(4x+3\right)-15\left(6x-2\right)}{105}$$=\frac{35\left(5x+4\right)+3\cdot 105}{105}$

21(4x + 3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 3 . 105

84x + 63 – 90x + 30 = 175x + 455

84x – 90x – 175x = 455 – 30 – 63

–181x = 362

x = –2.

Vậy để A = B thì x = –2.

Bài 5. Theo số liệu thống kê, dân số của một đất nước sau mỗi năm được biểu diễn qua phương trình

M = N(1 + 0,032).

Trong đó, M là số dân của đất nước đó năm nay (triệu người);

N là số dân nước đó vào năm trước (triệu người).

Biết số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người. Tính số dân đất nước đó năm trước.

Hướng dẫn giải:

Số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người nên M = 103,2 (triệu người).

Theo đề bài ta có 103,2 = N(1 + 0,032)

N = $\frac{103,2}{1+0,032}$

N = 100 (triệu người).

Vậy dân số của đất nước đó vào năm trước là 100 triệu người.

Bài 6. An và Minh gặp nhau tại một hội sách. An mua 3 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 120 nghìn đồng, Minh mua 5 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 80 nghìn đồng. Biết số tiền phải trả của 2 bạn bằng nhau.

a) Gọi x (nghìn đồng)là giá tiền của mỗi cuốn truyện Conan. Viết phương trình biểu thịtổng số tiền hai bạn An và Minh phải trả là bằng nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm giá tiền mỗi cuốn truyện Conan.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền An phải trả là 3x + 120 (nghìn đồng).

Số tiền Minh phải trả là 5x + 80 (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có phương trình biểu diễn tương ứng số tiền của 2 bạn là

3x + 120 = 5x + 80.

b) Ta có phương trình:

3x + 120 = 5x + 80

5x – 3x = 120 – 80

2x = 40

x = 20

Vậy giá 1 cuốn Conan là 20 nghìn đồng.

Bài 7. Hiện nay tuổi của bố Dũng gấp 5 lần tuổi của Dũng. Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng gấp 3 lần tuổi của Dũng.

a) Viết phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố Dũng sau 6 năm.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tính số tuổi hiện tại tuổi của Dũng.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số tuổi hiện nay của Dũng là x (tuổi).

Số tuổi hiện nay của bố Dũng là 5x (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của Dũng là  x + 6 (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng là 5x + 6 (tuổi).

Theo đề bài, ta có phương trình: 5x + 6 = 3(x + 6).

Vậy phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố sau 6 năm là 5x + 6 = 3(x + 6).

b) Ta có 5x + 6 = 3(x + 6)

5x + 6 = 3x + 18

5x – 3x = 18 – 6

2x = 12

x = 12 : 2

x = 6.

Vậy tuổi của Dũng hiện tại là 6 tuổi.

Bài 8. Công thức Lozentz tính cân nặng lý tưởng theo chiều cao dành cho nam là $F=T-100-\frac{T-150}{4}$, trong đó F là cân nặng lý tưởng (kg) và T là chiều cao (cm) (T > 0). Anh Minh có cân nặng 65kg thì phải đạt chiều cao bao nhiêu để cân nặng của anh là cân nặng lý tưởng?

Hướng dẫn giải

Thay F = 65 vào công thức ta có: $65=T-100-\frac{T-150}{4}$

$T-\frac{T-150}{4}=65+100$

$T-\frac{T}{4}+\frac{75}{2}=165$

$\frac{3}{4}T=\frac{255}{2}$

$T=\frac{255}{2}:\frac{3}{4}$

T = 170 (TMĐK).

Vậy anh Minh phải cao 170cm thì cân nặng của anh là lý tưởng.

Bài 9. Nhân ngày "Quốc tế phụ nữ 8/3", một cửa hàng thời trang giảm giá 20% cho tất cả các sản phẩm và ai có thẻ "Khách hàng thân thiết" sẽ được giảm tiếp 10% trên giá niêm yết. Mẹ bạn Nhung có thẻ "Khách hàng thân thiết", mua 1 túi xách có giá niêm yết là 750 000 đồng và thêm 1 chiếc ví da thì phải trả tất cả 875 000 đồng. Tính giá niêm yết của chiếc ví da.

Hướng dẫn giải

Gọi x (đồng) là giá niêm yết của chiếc ví da (x ∈ ℕ) .

Tổng số tiền mua 1 túi xách và 1 chiếc ví da khi chưa giảm giá là: 750 000 + x (đồng).

Số tiền mẹ bạn Nhung phải trả theo x là: 70% ∙ (750 000 + x) (đồng)

Phương trình biểu thị tổng số tiền phải trả là 875000 đồng là

70% ∙ (750 000 + x) = 875000

750 000 + x = 875000 : 70%

750 000 + x = 1 250 000

x = 1 250 000 – 750 000

x = 500 000 (TMĐK).

Vậy giá niêm yết của chiếc ví da là 500 000 đồng.

Bài 10. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Hướng dẫn giải

Gọi x (km) là quãng đường AB dài (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{25}$ (h)

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{30}$ (h)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút = $\frac{1}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{30}+\frac{1}{3}=\frac{x}{25}$

$\frac{5x+50}{150}=\frac{6x}{25}$

5x + 50 = 6x

x = 50 (TMĐK)

Vậy quãng đường AB dài 50 km.

Bài 11. Hai rổ cam có tất cả 96 quả. Nếu chuyển 4 quả từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số quả cam trong rổ thứ nhất bằng $\frac{3}{5}$ số quả cam trong rổ thứ 2. Tính số cam rổ thứ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi x (quả) là số cam trong rổ thứ nhất là (x ∈ ℕ*, 3 < x < 96).

Vì tổng số cam hai rổ là 96 quả cam nên số cam rổ thứ hai là 96 – x (quả).

Khi chuyển 4 quả cam từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số cam rổ thứ nhất là x – 4 (quả), số cam trong rổ thứ hai là (96 – x + 4) (quả).

Sau khi chuyển số cam trong rổ thứ nhất bằng $\frac{3}{5}$ số cam trong rổ thứ hai nên ta có phương trình:

$(x-4)=\frac{3}{5}(96-x+4)$

$x-4=\frac{3}{5}(100-x)$

$x-4=60-\frac{3}{5}x$

$\left(1+\frac{3}{5}x\right)=64$

$\frac{8}{5}x=64$

x = 40 (TMĐK).

Vậy số cam rổ thứ nhất là 40 quả.

Bài 12. Một công ty vận chuyển nhận hai đơn vận chuyển tại hai kho hàng. Tại kho A, công ty điều động 18 xe loại I và 24 xe loại II. Tại kho B, công ty điều động 12 xe loại I và 34 xe loại II. Biết xe loại II có tải trọng 3 tấn, khối lượng hàng vận chuyển ở hai kho là như nhau và tất cả các chuyến xe đều chở tối đa theo tải trọng của xe.

a) Gọi x (tấn) (x < 0) là tải trọng của xe loại I. Viết phương trình biểu thị khối lượng hàng vận chuyển ở hai kho là như nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm tải trọng của xe loại I.

Hướng dẫn giải

a) Khối lượng hàng vận chuyển ở kho A là: 18x + 24 ∙ 3 (tấn).

Khối lượng hàng vận chuyển ở kho B là: 12x + 34 ∙ 3 (tấn).

Phương trình biểu thị khối lượng hàng vận chuyển ở hai kho là như nhau:

18x + 24 ∙ 3 = 12x + 34 ∙ 3.

b) Giải phương trình: 18x + 24 ∙ 3 = 12x + 34 ∙ 3

18x – 12x = 3 ∙ (34 – 24)

18x – 12x = 3 ∙ 10

6x = 30

x = 5 (TMĐK)

Vậy tải trọng của xe loại I là 5 tấn.

Bài 13. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 152 m. Nếu tăng chiều rộng lên ba lần và tăng chiều dài lên hai lần thì chu vi của khu vườn là 368 m. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là: 152 : 2 = 76 (m)

Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật ban đầu (x > 0).

Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là: 76 – x (m)

Nếu tăng chiều rộng lên 3 lần thì chiều rộng khi đó là: 3x (m)

Nếu tăng chiều dài lên 2 lần thì chiều dài khi đó là: 2(76 − x) = 152 − 2x (m)

Chu vi khu vườn lúc sau là 368 m nên ta có phương trình:

(3x + 152 − 2x) . 2 = 368

x + 152 = 184

x = 32 (TMĐK)

Do đó, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 32 m.

Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là: 76 – 32 = 44 (m)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 44 . 32 = 1408 (m²).

Bài 14. Cô Hương đầu tư 500 triệu đồng vào hai khoản: mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất 8% một năm và mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 5% một năm. Cuối năm cô Hương nhận được 35,5 triệu đồng tiền lãi. Hỏi cô Hương đã đầu tư vào mỗi khoản bao nhiêu tiền

Hướng dẫn giải

Gọi x (triệu đồng) là số tiền cô Hương dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp (0 ≤ x ≤ 500).

Khi đó số tiền cô Hương dùng để mua trái phiếu chính phủ là 500 – x (triệu đồng)

Số tiền lãi cô Hương thu được từ trái phiếu doanh nghiệm là 0,08x (triệu đồng) và số

tiền lãi thu được từ trái phiếu chính phủ là 0,05 ∙ (500 – x) (triệu đồng)

Theo đề bài ta có phương trình:

0,08x + 0,05 ∙ (500 – x) = 35,5

0,08x + 25 – 0,05x = 35,5

0,03x = 10,5

x = 350 (TMĐK).

Vậy cô Hương đã dùng 350 triệu đồng để mua trái phiếu doanh nghiệm, còn 150 triệu đồng để mua trái phiếu chính phủ.

Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là 1408 m².

Bài 15. Học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A chiếm $\frac{1}{8}$ học sinh cả lớp. Sang học kì II, lớp 8A có thêm 3 học sinh giỏi nữa và lúc này số học sinh giỏi chiếm $\frac{1}{5}$ học sinh cả lớp. Tính số học sinh lớp 8A.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số học sinh cả lớp (x ∈ ℕ*).

Vì học kì I số học sinh giỏi chiếm $\frac{1}{8}$ học sinh cả lớp nên số học sinh giỏi kì I là $\frac{1}{8}$x (học sinh).

Vì học kì II có thêm 3 học sinh giỏi nữa nên số học sinh giỏi kì II là $\frac{1}{8}x+3$ (học sinh).

Mặt khác, số học sinh giỏi kì II bằng $\frac{1}{5}$ số học sinh cả lớp nên số học sinh giỏi kì II là $\frac{1}{5}$x (học sinh).

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{1}{5}x=\frac{1}{8}x+3$

$\frac{1}{5}x-\frac{1}{8}x=3$

$\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)x=3$

$\frac{3}{40}x=3$

x = 40 (TMĐK)

Vậy số học sinh lớp 8A là 40 học sinh.

Học tốt Toán 8 Chương 7

Các bài học để học tốt tổng hợp Toán 8 Chương 7 Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài tập cuối chương 7

• Giải sbt Toán 8 Bài tập cuối chương 7

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---