Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có BE là phân giác góc ABC (E ∈ AC). Cho AB = 6 cm, BC = x cm, AE = 5 cm, EC = 3 cm. Tính độ dài của x.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác góc E nên:

$\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ hay $\frac{6}{\text{x}}=\frac{\text{5}}{\text{3}}$

Do đó $\text{x}=\frac{6\cdot 3}{5}=3,6.$

Ví dụ 2. Cho tam giác OMN có OD là đường phân giác $\widehat{MON}$ (D ∈ MN). Biết DN = 7 cm, ON = 9 cm. Tính tỉ số $\frac{\text{OM}}{\text{MD}}.$

Hướng dẫn giải

Xét tam giác OMN có OD là đường phân giác góc O nên $\frac{\text{ON}}{\text{OM}}=\frac{\text{DN}}{\text{MD}}.$

Suy ra $\frac{\text{ON}}{\text{DN}}=\frac{\text{OM}}{\text{MD}}$ (tính chất của tỉ lệ thức).

Do đó $\frac{\text{OM}}{\text{MD}}=\frac{9}{7}.$

Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC có CE là đường phân giác góc ACB (E ∈ AB). Biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm, AE = x cm, EB = y cm. Tính độ dài x và y.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có CE là đường phân giác góc C nên

$\frac{\text{AC}}{\text{CB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EB}}$ hay $\frac{\text{x}}{\text{y}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Suy ra $\text{x}=\frac{3}{5}\text{y.}$

Vì AE + EB = AB hay x + y = 8

Do đó $\frac{3}{5}\text{y + y}=8$, suy ra $\frac{8}{5}\text{y}=8.$

Vậy y = 5 và x = 8 – 5 = 3.

Bài 2. Cho tam giác ABC có chu vi là 18 cm, các đường phân giác BD, CE. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết $\frac{\text{AD}}{\text{DC}}=\frac{1}{2};\frac{\text{AE}}{\text{EB}}=\frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

• BD là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\frac{\text{AD}}{\text{DC}}=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$ hay $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}.$

Suy ra BC = 2AB. (1)

• CE là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\frac{\text{AE}}{\text{EB}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}$ hay $\frac{\text{AC}}{\text{BC}}=\frac{3}{4}.$

Suy ra $\text{AC}=\frac{3}{4}\text{BC.}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\text{AC}=\frac{3}{2}\text{AB.}$

Chu vi tam giác ABC bằng:

$AB+AC+BC$$=AB+\frac{3}{2}\text{AB}+2AB$$=\frac{9}{2}\text{AB}=18.$

Suy ra AB = 4 cm.

Do đó BC = 2 ⋅ 4 = 8 (cm), $\text{AC}=\frac{3}{2}\cdot \text{4 = 6}$ (cm).

Vậy AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 6 cm.

Bài 3. Cho tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc EDF (I ∈ EF). Biết DE = 5 cm, EF = 9 cm, DF = 8 cm. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DEI và DFI.

Hướng dẫn giải

Tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc D.

Do đó ta có: $\frac{\text{DE}}{\text{DF}}=\frac{\text{EI}}{\text{IF}}$ hay $\frac{\text{EI}}{\text{IF}}=\frac{5}{8}.$

Tỉ số diện tích của tam giác DEI và DFI chính là tỉ số $\frac{\text{EI}}{\text{IF}}$ (vì hai tam giác này có chung đường cao hạ từ D đến EF).

Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEI và tam giác DFI là $\frac{5}{8}.$

Bài 4. Để bảo trì tượng nữ thần tự do với chiều cao là AD = 93 m người thợ đã gắn hai dây thép cố định vào hai vị trí B và C (như hình vẽ) sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}.$ Tính chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B biết rằng độ dài BC = 20 m và CD = 15 m.

Hướng dẫn giải

Do $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ nên AC là đường phân giác của $\widehat{BAD}.$

Xét ∆BAD có AC là đường phân giác của $\widehat{BAD},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAD ta có:

$\frac{CB}{CD}=\frac{AB}{AD}$ hay $\frac{20}{15}=\frac{AB}{93}.$

Suy ra AB ∙ 15 = 20 ∙ 93 nên AB ∙ 15 = 1 860.

Do đó $AB=\frac{1860}{15}=124$ (m).

Vậy chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B là 124 m.

Bài 5. Hai vận động viên thi chạy Marathon xuất phát tại điểm A cùng một thời điểm, chạy theo hai hướng khác nhau đến B và C. Sau t phút hai người đó gặp nhau tại D (được mô tả như hình vẽ). Cho độ dài AB = 3 km; AC = 3,5 km; BC = 5 km và $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}.$ Hỏi trong t phút đầu tiên vận động viên nào chạy nhanh hơn?

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ nên AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAC có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.$

Suy ra $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}$$=\frac{BC}{AB+AC}$ hay $\frac{DB}{3}=\frac{DC}{3,5}=\frac{5}{3+3,5}=\frac{10}{13}$

Suy ra $\frac{DB}{3}=\frac{10}{13}$ nên $DB=\frac{3\cdot 10}{13}=\frac{30}{13}\approx 2,31$ (km);

Và $\frac{DC}{3,5}=\frac{10}{13}$ nên $DC=\frac{3,5\cdot 10}{13}=\frac{35}{13}\approx 2,69$ (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D là:

AB + DB ≈ 3 + 2,31 = 5,31 (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D là:

AC + DC ≈ 3,5 + 2,69 = 6,19 (km).

Biết hai vận động viên xuất phát cùng một thời điểm và sau t phút thì hai vận động viên gặp nhau tại D nên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. Mà quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D nhỏ hơn quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D (do 5,31 km < 6,19 km).

Do đó, trong t phút đầu vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D sẽ chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.

Học tốt Tính chất đường phân giác của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất đường phân giác của tam giác Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

• Giải sbt Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---