Tam giác đồng dạng lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Tam giác đồng dạng lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Lý thuyết Tam giác đồng dạng

1. Định nghĩa

Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A},\widehat{B^{\text{'}}}=\hat{B},\widehat{C^{\text{'}}}=\hat{C};$

$\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{C'A'}}{\text{CA}}.$

Kí hiệu là ΔA'B'C' ᔕ ΔABC.

Chú ý: Khi tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác .

• Ta viết ΔA'B'C' ᔕ ΔABC với các đỉnh được ghi theo thứ tự các góc tương ứng bằng nhau;

• Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{A'C'}}{\text{AC}}=k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Chẳng hạn, trong hình vẽ bên dưới, tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác theo tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ và tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là 2.

Ví dụ 1. Cho ABC và A'B'C' là hai tam giác đều có AB = 4 cm, A'B' = 3 cm. Chứng minh rằng ΔA'B'C' ᔕ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Vì ABC và A'B'C' là hai tam giác đều nên ta có:

BC = CA = AB = 4 cm; B'C' = C'A' = A'B' = 3 cm,

$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=60°;$$\widehat{A^{\text{'}}}=\widehat{B^{\text{'}}}=\widehat{C^{\text{'}}}=60°.$

Do vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có:

$\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{A'C'}}{\text{AC}}$ và $\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A},\widehat{B^{\text{'}}}=\hat{B},\widehat{C^{\text{'}}}=\hat{C}.$

Vậy ΔA'B'C' ᔕ ΔABC với tỉ số đồng dạng $\frac{3}{4}.$

Nhận xét: Nếu ΔA'B'C' = ΔABC thì ΔA'B'C' ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng là 1.

2. Tính chất

Ta có các tính chất sau về quan hệ đồng dạng của hai tam giác:

• Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.

• Nếu ΔA'B'C' ᔕ ΔABC thì ΔABC ᔕ ΔA'B'C'.

• Nếu ΔA''B''C'' ᔕ ΔA'B'C' và ΔA'B'C' ᔕ ΔABC thì ΔA''B''C'' ᔕ ΔABC.

Ví dụ 2. Cho ΔABC ᔕ ΔDEF với tỉ số đồng dạng k₁ = 2, ΔDEF ᔕ ΔMNQ với tỉ số đồng dạng k₂ = 3. Hỏi ΔABC ᔕ ΔMNQ theo tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có ΔABC ᔕ ΔDEF với tỉ số đồng dạng k₁ = 2 nên $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=2.$

ΔDEF ᔕ ΔMNQ với tỉ số đồng dạng k₂ = 3 nên $\frac{\text{DE}}{\text{MN}}=3.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔMNQ với tỉ số đồng dạng k = $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}\cdot \frac{\text{DE}}{\text{MN}}=\frac{\text{AB}}{\text{MN}}=2\cdot 3=6.$

Ta có định lí sau về cặp tam giác đồng dạng nhận được từ định lí Thalès:

Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, lấy hai điểm M và N lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho MN // BC. Viết tên các cặp góc bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, do MN // BC nên ΔAMN ᔕ ΔABC.

Suy ra $\widehat{\text{AMN}}\text{=}\widehat{\text{ABC}};\widehat{\text{ANM}}\text{=}\widehat{\text{ACB}}\text{.}$

Nhận xét: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳn cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. Chẳng hạn, trong hình vẽ dưới đây, ta cũng có ΔA'B'C' ᔕ ΔABC.

Bài tập Tam giác đồng dạng

Bài 1. Cho ΔABC ᔕ ΔEDF (hình bên dưới), biết $\hat{\text{E}}=75°,\hat{\text{F}}=40°$. Tính số đo góc B.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác DEF có:

$\hat{\text{D}}\text{+}\hat{\text{E}}\text{+}\hat{\text{F}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\hat{\text{D}}=180°-\hat{\text{E}}-\hat{\text{F}}=$$180°-75°-40°=65°.$

Vì ΔABC ᔕ ΔEDF nên $\hat{B}=\hat{\text{D}}\text{= 65}°.$

Vậy $\hat{B}=65°.$

Bài 2. Cho ΔABC ᔕ ΔDEF với tỉ số đồng dạng là $\frac{3}{2}$. Hỏi ΔDEF ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ΔABC ᔕ ΔDEF với tỉ số đồng dạng là $\frac{3}{2}$.

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{3}{2}$ hay $\frac{\text{DE}}{\text{AB}}=\frac{2}{3}.$

Vậy ΔDEF ᔕ ΔABC với tỉ số đồng dạng k = $\frac{3}{2}$.

Bài 3. Cho tam giác ABC, DE là đường trung bình của tam giác (hình bên dưới). Hỏi ΔAED ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Vì DE là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có:

• $\frac{\text{AD}}{\text{AC}}=\frac{1}{2}$ (D là trung điểm AC).

• $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{1}{2}$ (E là trung điểm AB).

• $\frac{\text{DE}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}$ và DE // BC (tính chất đường trung bình).

Vì DE // BC nên $\widehat{\text{ADE}}\text{=}\widehat{\text{ACB}}\text{,}\widehat{\text{AED}}\text{=}\widehat{\text{ABC}}$ (các góc đồng vị).

Do đó ΔAED ᔕ ΔABC với tỉ số k = $\frac{1}{2}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AM. Chứng minh ΔMHB ᔕ ΔMKC.

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác vuông MHB và MKC có:

$\widehat{\text{MHB}}\text{=}\widehat{\text{MKC}}=90°$

$\widehat{\text{HMB}}\text{=}\widehat{\text{KMC}}$ (đối đỉnh)

BM = MC (vì M là trung điểm của BC)

Suy ra ΔMHB = ΔMKC (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó ΔMHB ᔕ ΔMKC.

Bài 5. Cho tam giác ABC, DE // BC (D ∈ AB, E ∈ AC). Biết AB = 5 cm, BC = 9 cm, AD = 2 cm. Tính độ dài của cạnh DE.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, do DE // BC nên ΔADE ᔕ ΔABC.

Suy ra $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{DE}}{\text{BC}}$ hay $\frac{\text{2}}{5}=\frac{\text{DE}}{\text{9}}.$

Suy ra $\text{DE}=\frac{2\cdot 9}{5}=3,6$ (cm).

Vậy DE = 3,6 cm.

Học tốt Tam giác đồng dạng

Các bài học để học tốt Tam giác đồng dạng Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

• Giải sbt Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---