Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 8 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 8: Tam giác đồng dạng. Hình đồng dạng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 8 Cánh diều

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Lý thuyết Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 8

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và PQ nếu có tỉ lệ thức $\frac{AB}{CD}=\frac{MN}{PQ}.$

2. Định lí Thalès trong tam giác

2.1. Định lí Thalès

• Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

• Cụ thể, cho tam giác ABC. Một đường thẳng d song song với cạnh BC, cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N (như hình vẽ). Đường thẳng d định ra trên cạnh AB hai đoạn thẳng AM, MB và định ra trên cạnh AC hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Khi đó, ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC};$ $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC};$ $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$

2.2. Định lí Thalès đảo

• Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

• Cụ thể, cho tam giác ABC. Một đường thẳng d cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N (như hình vẽ).

Nếu có một trong hai hệ tỉ lệ thức $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC};$ $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$ thì ta cũng có MN // BC.

2.3. Hệ quả của định lí Thalès

• Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

• Cụ thể, cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với cạnh BC lần lượt cắt hai cạnh AB, AC tại M và N (như hình vẽ).

Khi đó, ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Chẳng hạn, ta cũng có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

3. Ứng dụng của định lí Tha lè s để ước lượng khoảng cách giữa hai vị trí và ước lượng chiều cao

Bằng cách sử dụng định lí Thalès, ta có thể ước lượng được khoảng cách giữa hai vị trí khi không thể đo đạc trực tiếp khoảng cách giữa hai vị trí đó.

Các nhà toán học và thiên văn học Hy Lạp cổ đại đã sử dụng hệ thức trên và một số hệ thức có được từ hiện tượng Nguyệt thực để ước lượng bán kính của Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng cũng như khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng và Mặt Trời.

4. Đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác đó.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường trung bình.

5. Tính chất đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Nhận xét: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

6. Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

7. Định nghĩa tam giác đồng dạng

Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A},\widehat{B^{\text{'}}}=\hat{B},\widehat{C^{\text{'}}}=\hat{C};$

$\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{C'A'}}{\text{CA}}.$

Kí hiệu là ΔA'B'C' ᔕ ΔABC.

Chú ý: Khi tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác .

• Ta viết ΔA'B'C' ᔕ ΔABC với các đỉnh được ghi theo thứ tự các góc tương ứng bằng nhau;

• Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{A'C'}}{\text{AC}}=k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Chẳng hạn, trong hình vẽ bên dưới, tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác theo tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ và tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là 2.

Nhận xét: Nếu ΔA'B'C' = ΔABC thì ΔA'B'C' ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng là 1.

8. Tính chất của tam giác đồng dạng

Ta có các tính chất sau về quan hệ đồng dạng của hai tam giác:

• Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.

• Nếu ΔA'B'C' ᔕ ΔABC thì ΔABC ᔕ ΔA'B'C'.

• Nếu ΔA''B''C'' ᔕ ΔA'B'C' và ΔA'B'C' ᔕ ΔABC thì ΔA''B''C'' ᔕ ΔABC.

Ta có định lí sau về cặp tam giác đồng dạng nhận được từ định lí Thalès:

Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Nhận xét: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳn cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. Chẳng hạn, trong hình vẽ dưới đây, ta cũng có ΔA'B'C' ᔕ ΔABC.

9. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh

Định lí: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

10. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vào tam giác vuông

Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

11. Trường hợp đồng dạng thứ hai: cạnh – góc – cạnh

Định lí: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đóđồng dạng với nhau.

12. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vào tam giác vuông

Định lí: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

13. Trường hợp đồng dạng thứ ba: góc – góc

Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

14. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vào tam giác vuông

Định lí: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

15. Hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự)

Hình 1

Quan sát Hình 1, ta thấy: Từ điểm O, “phóng to” hai lần tam giác ABC, ta sẽ nhận được tam giác A'B'C'. Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với tam giác ABC, điểm O gọi là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=2$ gọi là tỉ số vị tự.

Hình 2

Quan sát Hình 2, ta thấy: Từ điểm O, “thu nhỏ” hai lần tứ giác ABCD, ta sẽ nhận được tứ giác A'B'C'D'. Tứ giác A'B'C'D' gọi là đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với tứ giác ABCD, điểm O gọi là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{1}{2}$ gọi là tỉ số vị tự.

Như vậy, bằng cách “phóng to” (nếu tỉ số vị tự k > 1) hay “thu nhỏ” (nếu tỉ số vị tự k < 1) hình ℋ, ta sẽ nhận được hình ℋ ' đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với hình ℋ.

Chú ý: Ta cũng gọi hình ℋ ' là hình đồng dạng phối cảnh (hay hình vị tự) tỉ số k của hình ℋ.

Nhận xét: Hình đồng dạng phối cảnh tỉ số k của đoạn thẳn AB là một đoạn thẳng A'B'(nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng AB) và A'B' = kAB.

16. Hình đồng dạng

Nhận xét: Nếu có thể đặt hình ℋ chồng khít lên hình ℋ ' thì ta nói hai hình ℋ ' và ℋ bằng nhau (hay còn gọi là hình ℋ bằng hình ℋ ').

Ta nói hình ℋ ' đồng dạng với hình ℋ nếu hình ℋ ' bằng một hình nào đó đồng dạng phối cảnh với hình ℋ .

Như vậy, hình ℋ ' đồng dạng với hình ℋ nếu hình ℋ ' bằng hình ℋ hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của hình ℋ .

Chẳng hạn, hình chữ nhật A'B'C'D' bằng hình chữ nhật A''B''C''D'' và hình chữ nhật A''B''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD. Ta nói hình chữ nhật A'B'C'D' đồng dạng với hình chữ nhật ABCD.

Chú ý: Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng.

Bài tập Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 8

Bài 1. Cho hình vẽ, biết HK // BC. Tính độ dài x.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có HK // BC nên theo định lí Thalès, ta có:

$\frac{\text{AH}}{\text{HB}}=\frac{\text{AK}}{\text{KC}}$ hay $\frac{3}{6}=\frac{\text{4}}{\text{x}}.$

Do đó $\text{x}=\frac{6\cdot 4}{3}=8.$

Bài 2. Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình vẽ dưới đây và giải thích vì sao chúng song song với nhau?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{EC}{AE}=\frac{2,5}{2}=\frac{5}{4}\text{;}$ $\frac{DC}{BD}=\frac{3}{2,4}=\frac{5}{4}\text{.}$

Suy ra $\frac{EC}{AE}=\frac{DC}{BD}.$

Áp dụng định lí Thalès đảo trong tam giác ABC suy ra DE // AB.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho $\frac{AO}{OD}=\frac{3}{2}$. Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tính tỉ số $\frac{AI}{IB}.$

Hướng dẫn giải

Kẻ thêm DH // CI (H ∈ AB) thì DH // IO.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆ADH có DH // IO, ta có: $\frac{AI}{IH}=\frac{AO}{OD}=\frac{3}{2}\text{.}$

Khi đó AI = 3t ; IH = 2t (t > 0).

Ta có: BD + DC = BC, suy ra DC = BC – BD = 2BD – BD = BD nên BC = 2DC.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆BIC có DH // IC, ta có:

$\frac{BI}{IH}=\frac{BC}{CD}=2$ nên BI = 2IH = 2 . 2t = 4t.

Vậy $\frac{AI}{IB}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}\text{.}$

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD tại G.

Chứng minh AH ⋅ CD = AD ⋅ CG.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD có HE // BD, theo định lí Thalès ta có: $\frac{\text{AH}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}.$ (1)

Xét ∆CBD có GF // BD, theo định lí Thalès ta có: $\frac{\text{CF}}{\text{CB}}=\frac{\text{CG}}{\text{CD}}.$ (2)

Xét ∆ABC có EF // AC, theo định lí Thalès ta có: $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{CF}}{\text{CB}}.$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{\text{AH}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{CF}}{\text{CB}}=\frac{\text{CG}}{\text{CD}}$ hay $\frac{\text{AH}}{\text{AD}}=\frac{\text{CG}}{\text{CD}}.$

Từ đó suy ra AH ⋅ CD = AD ⋅ CG.

Bài 5. Giữa hai điểm B và C có một cái ao. Để đo khoảng cách BC người ta đo được các đoạn thẳng AD = 2 m, BD = 10 m và DE = 5 m. Biết DE // BC, tính khoảng cách giữa hai điểm B và C.

Hướng dẫn giải

Ta có AB = AD + DB = 2 + 10 = 12 (m).

Xét tam giác ABC có DE // BC nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

$\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{DE}}{\text{BC}}$ hay $\frac{2}{12}=\frac{\text{5}}{\text{BC}}$

Suy ra $\text{BC}=\frac{5\cdot 12}{2}=30$ (m).

Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C là 30 m.

Bài 6. Để tính chiều cao AB của một ngôi nhà (như hình vẽ), người ta đo chiều cao của cái cây ED = 4 m và biết được các khoảng cách BD = 7 m, DC = 5 m. Tính chiều cao AB của ngôi nhà.

Hướng dẫn giải

Ta có BC = BD + DC = 7 + 5 = 12 (m).

Xét tam giác ABC có ED // AB (cùng vuông góc với BC) nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

$\frac{\text{DE}}{\text{AB}}=\frac{\text{CD}}{\text{CB}}$ hay $\frac{4}{\text{AB}}=\frac{5}{12}$

Suy ra $\text{AB}=\frac{4\cdot 12}{5}=9,6$ (m).

Vậy chiều cao của ngôi nhà là 9,6 m.

Bài 7. Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây. Biết cọc cao 1,5 m so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây 8 m và cách bóng của đỉnh cọc 2 m. Tính chiều cao của cây.

Hướng dẫn giải

Ta có AE = AC + CE = 8 + 2 = 10 (m).

Xét tam giác ABE có DC // AB (cùng vuông góc với AE) nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

$\frac{\text{CE}}{\text{AE}}=\frac{\text{DC}}{\text{AB}}$ hay $\frac{2}{10}=\frac{\text{1,5}}{\text{AB}}.$

Suy ra $\text{AB}=\frac{10\cdot 1,5}{2}=7,5$ (m).

Vậy chiều cao của cây là 7,5 m.

Bài 8. Một nhóm các bạn học sinh lớp 8 đã thực hành đo chiều cao AB của một bức tường như sau: Dùng một cái cọc CD đặt cố định vuông góc với mặt đất, với CD = 3 m và CA = 5 m. Sau đó, các bạn đã phối hợp để tìm được điểm E trên mặt đất là giao điểm của hai tia BD, AC và đo được CE = 2 m (như hình vẽ). Tính chiều cao AB của bức tường.

Hướng dẫn giải

Ta có AE = EC + CA = 2 + 5 = 7 (m).

Xét tam giác EAB có DC // AB (cùng vuông góc với AE) nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

$\frac{\text{EC}}{\text{EA}}=\frac{\text{DC}}{\text{AB}}$ hay $\frac{2}{7}=\frac{\text{3}}{\text{AB}}.$

Suy ra $\text{AB}=\frac{7\cdot 3}{2}=10,5$ (m).

Vậy chiều cao AB của bức tường là 10,5 m.

Bài 9. Tính độ dài x trong hình vẽ dưới đây.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $\text{DE}=\frac{1}{2}\text{AB}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay AB = 2DE = 2 ⋅ 3 = 6.

Vậy AB = 6.

Bài 10. Cho tam giác MNP có MN = 6 cm, MP = 9 cm. Trên cạnh MN, MP lần lượt lấy các điểm G, I sao cho MG = 3 cm và MI = 4,5 cm. Chứng minh GI // NP.

Hướng dẫn giải

Vì MG = 3 cm, MN = 6 cm, do đó $\text{MG}=\frac{1}{2}\text{MN}$ hay G là trung điểm của MN.

Vì MI = 4,5 cm, MP = 9 cm, do đó $\text{MI}=\frac{1}{2}\text{MP}$ hay I là trung điểm của MP.

Trong tam giác MNP có G là trung điểm của MN, I là trung điểm của MP.

Do đó GI là đường trung bình của tam giác MNP.

Suy ra GI // NP (tính chất đường trung bình của tam giác).

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tính độ dài AC, biết DE = 5 cm.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AC, E là trung điểm BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $\text{DE}=\frac{1}{2}\text{AB}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay AB = 2DE = 2 ⋅ 5 = 10 (cm).

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AC = AB = 10 cm.

Vậy AC = 10 cm.

Bài 12. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 3 cm, BC = 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính chu vi tứ giác BMNC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 3 cm.

Lại có $\text{BM}=\frac{1}{2}\text{AB}=\frac{1}{2}\cdot 3$ = 1,5 (cm); $\text{NC}=\frac{1}{2}\text{AC}=\frac{1}{2}\cdot 3$ = 1,5 (cm) (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC).

Trong tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{BC =}\frac{1}{2}\cdot 4=2$ (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Chu vi tứ giác BMNC là:

BM + MN + NC + BC = 1,5 + 2 + 1,5 + 4 = 9 (cm).

Vậy chu vi tứ giác BMNC là 9 cm.

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, AC, CD. Tứ giác BMNI là hình gì?

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, N là trung điểm AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra MN // DC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Do đó, MN // BI. Suy ra tứ giác BMNI là hình thang.

Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, I là trung điểm DC.

Do đó MI là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra $\text{MI}=\frac{1}{2}\text{AC}$ (tính chất đường trung bình của tam giác). (1)

Trong tam giác ABC vuông tại B, có BN là trung tuyến nên $\text{BN}=\frac{1}{2}\text{AC.}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra MI = BN.

Vậy tứ giác BMNI là hình thang cân.

Bài 14. Cho tam giác ABC có CE là đường phân giác góc ACB (E ∈ AB). Biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm, AE = x cm, EB = y cm. Tính độ dài x và y.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có CE là đường phân giác góc C nên

$\frac{\text{AC}}{\text{CB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EB}}$ hay $\frac{\text{x}}{\text{y}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Suy ra $\text{x}=\frac{3}{5}\text{y.}$

Vì AE + EB = AB hay x + y = 8

Do đó $\frac{3}{5}\text{y + y}=8$, suy ra $\frac{8}{5}\text{y}=8.$

Vậy y = 5 và x = 8 – 5 = 3.

Bài 15. Cho tam giác ABC có chu vi là 18 cm, các đường phân giác BD, CE. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết $\frac{\text{AD}}{\text{DC}}=\frac{1}{2};\frac{\text{AE}}{\text{EB}}=\frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

• BD là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\frac{\text{AD}}{\text{DC}}=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$ hay $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}.$

Suy ra BC = 2AB. (1)

• CE là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\frac{\text{AE}}{\text{EB}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}$ hay $\frac{\text{AC}}{\text{BC}}=\frac{3}{4}.$

Suy ra $\text{AC}=\frac{3}{4}\text{BC.}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\text{AC}=\frac{3}{2}\text{AB.}$

Chu vi tam giác ABC bằng:

$AB+AC+BC$$=AB+\frac{3}{2}\text{AB}+2AB$$=\frac{9}{2}\text{AB}=18.$

Suy ra AB = 4 cm.

Do đó BC = 2 ⋅ 4 = 8 (cm), $\text{AC}=\frac{3}{2}\cdot \text{4 = 6}$ (cm).

Vậy AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 6 cm.

Bài 16. Cho tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc EDF (I ∈ EF). Biết DE = 5 cm, EF = 9 cm, DF = 8 cm. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DEI và DFI.

Hướng dẫn giải

Tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc D.

Do đó ta có: $\frac{\text{DE}}{\text{DF}}=\frac{\text{EI}}{\text{IF}}$ hay $\frac{\text{EI}}{\text{IF}}=\frac{5}{8}.$

Tỉ số diện tích của tam giác DEI và DFI chính là tỉ số $\frac{\text{EI}}{\text{IF}}$ (vì hai tam giác này có chung đường cao hạ từ D đến EF).

Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEI và tam giác DFI là $\frac{5}{8}.$

Bài 17. Để bảo trì tượng nữ thần tự do với chiều cao là AD = 93 m người thợ đã gắn hai dây thép cố định vào hai vị trí B và C (như hình vẽ) sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}.$ Tính chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B biết rằng độ dài BC = 20 m và CD = 15 m.

Hướng dẫn giải

Do $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$ nên AC là đường phân giác của $\widehat{BAD}.$

Xét ∆BAD có AC là đường phân giác của $\widehat{BAD},$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAD ta có:

$\frac{CB}{CD}=\frac{AB}{AD}$ hay $\frac{20}{15}=\frac{AB}{93}.$

Suy ra AB ∙ 15 = 20 ∙ 93 nên AB ∙ 15 = 1 860.

Do đó $AB=\frac{1860}{15}=124$ (m).

Vậy chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B là 124 m.

Bài 18. Hai vận động viên thi chạy Marathon xuất phát tại điểm A cùng một thời điểm, chạy theo hai hướng khác nhau đến B và C. Sau t phút hai người đó gặp nhau tại D (được mô tả như hình vẽ). Cho độ dài AB = 3 km; AC = 3,5 km; BC = 5 km và $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}.$ Hỏi trong t phút đầu tiên vận động viên nào chạy nhanh hơn?

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ nên AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}.$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAC có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.$

Suy ra $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}$$=\frac{BC}{AB+AC}$ hay $\frac{DB}{3}=\frac{DC}{3,5}=\frac{5}{3+3,5}=\frac{10}{13}$

Suy ra $\frac{DB}{3}=\frac{10}{13}$ nên $DB=\frac{3\cdot 10}{13}=\frac{30}{13}\approx 2,31$ (km);

Và $\frac{DC}{3,5}=\frac{10}{13}$ nên $DC=\frac{3,5\cdot 10}{13}=\frac{35}{13}\approx 2,69$ (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D là:

AB + DB ≈ 3 + 2,31 = 5,31 (km).

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D là:

AC + DC ≈ 3,5 + 2,69 = 6,19 (km).

Biết hai vận động viên xuất phát cùng một thời điểm và sau t phút thì hai vận động viên gặp nhau tại D nên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. Mà quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D nhỏ hơn quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D (do 5,31 km < 6,19 km).

Do đó, trong t phút đầu vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D sẽ chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.

Bài 19. Cho hai tam giác ABC và EDF như hình vẽ. Tam giác ABC, EDF có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{6}{2}=3;$ $\frac{\text{AC}}{\text{EF}}=\frac{9}{3}=3;$ $\frac{\text{BC}}{\text{DF}}=\frac{12}{4}=3.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{AC}}{\text{EF}}=\frac{\text{BC}}{\text{DF}}.$

Xét hai tam giác ABC và EDF có: $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{AC}}{\text{EF}}=\frac{\text{BC}}{\text{DF}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔEDF (c.c.c).

Bài 20. Tứ giác ABCD có AB = 3 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, AD = 5 cm và BD = 6 cm. Tứ giác ABCD là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};$ $\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$ $\frac{\text{BD}}{\text{DC}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}.$

Xét hai tam giác ABD và BDC có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}.$

Do đó ΔABD ᔕ ΔBDC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{BDC}}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // DC.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 21. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh ΔABC ᔕ ΔMNP.

Hướng dẫn giải

• Xét tam giác OAB có: M là trung điểm OA, N là trung điểm OB.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác OAB.

Suy ra $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{AB}$ hay $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{1}{2}$. (1)

• Xét tam giác OAC có: M là trung điểm OA, P là trung điểm OC.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra $\text{MP}=\frac{1}{2}\text{AC}$ hay $\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{1}{2}$. (2)

• Xét tam giác OBC có: N là trung điểm OB, P là trung điểm OC.

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác OBC.

Suy ra $\text{NP}=\frac{1}{2}\text{BC}$ hay $\frac{\text{NP}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}$. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{\text{NP}}{\text{BC}}.$

Xét hai tam giác ABC và MNP có $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{\text{NP}}{\text{BC}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔMNP (c.c.c).

Bài 22. Cho hình thoi MNPQ có $\hat{\text{M}}=60°$. Qua P kẻ đường thẳng d bất kì cắt các tia đối của các tia NM, QM theo thứ tự tại E và F. Chứng minh ΔENQ ᔕ ΔNQF.

Hướng dẫn giải

Vì MNPQ là hình thoi nên MN = MQ, mà $\hat{\text{M}}=60°$, do đó tam giác MNQ đều.

Do đó, MN = NQ = MQ = QP = PM.

Ta có NP // MF (NP // MQ) nên $\frac{NE}{NM}=\frac{\text{PE}}{\text{PF}}$ (định lí Thalès).

QP // ME (PQ // MN) nên $\frac{\text{EP}}{\text{FP}}=\frac{\text{MQ}}{\text{QF}}$ (định lí Thalès).

Suy ra $\frac{NE}{NM}=\frac{\text{MQ}}{\text{QF}}$ hay $\frac{\text{NE}}{\text{QN}}=\frac{\text{NQ}}{\text{QF}}.$

Ta có $\widehat{ENQ}+\widehat{QNM}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ENQ}=180°-\widehat{QNM}$$=180°-60°=120°$ (do ∆MNQ đều nên $\widehat{QNM}=60°$).

Tương tự, ta tính được $\widehat{NQF}=120°.$

Xét hai tam giác ENQ và NQF có:

$\frac{\text{NE}}{\text{QN}}=\frac{\text{NQ}}{\text{QF}}$; $\widehat{\text{ENQ}}=\widehat{\text{NQF}}=120°$

Suy ra ΔENQ ᔕ ΔNQF (c.g.c).

Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm, AC = 8 cm và tam giác DEF vuông tại D có EF = 5 cm, DF = 4 cm. Tính tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{8}{4}=2;$ $\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{10}{5}=2.$

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}.$

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}=90°;$ $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}.$

Do đó, ΔABC ᔕ ΔDEF (c.g.c).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=2.$

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}$$=\frac{\text{AC + BC + AB}}{\text{DE + EF + DE}}=2.$

Vậy tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF là 2.

Bài 24. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Trên cạnh AD lấy I sao cho AB ⋅ DC = AI ⋅ DI.Tính số đo $\widehat{\text{BIC}}.$

Hướng dẫn giải

Vì AB ⋅ DC = AI ⋅ DI nên $\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}}.$

Xét hai tam giác ABI và DIC có:

$\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}};$ $\widehat{\text{BAI}}=\widehat{\text{CDI}}=90°.$

Do đó, ΔABI ᔕ ΔDIC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{\text{AIB}}=\widehat{\text{DCI}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{DCI}}=90°$ (do tam giác DIC vuông tại D) nên $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}=90°.$

Do đó $\widehat{\text{BIC}}=180°-\left(\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}\right)$$=180°-90°=90°.$

Bài 25. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BM}}{\text{CN}}.$

Hướng dẫn giải

Xét ΔABM và ΔACN có:

$\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{ANC}}=90°$

$\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAN}}$ (do AD là phân giác của góc A)

Do đó ΔABM ᔕ ΔACN (g.g).

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BM}}{\text{CN}}.$

Bài 26. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, kẻ DM ⊥ BC (M ∈ BC). Tia MD cắt BA tại N.

a) Chứng minh ΔBAM ᔕ ΔBCN.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác BAM và BCN.

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{BAC}=90°$; AB = AC.

Xét ΔBAC và ΔBMN có:

$\widehat{BAC}=\widehat{BMN}=90°$; $\hat{B}$ chung.

Do đó ΔBAM ᔕ ΔBMN (g.g).

Suy ra $\frac{BA}{BM}=\frac{BC}{BN}.$

Xét ΔBAM và ΔBCN có:

$\frac{BA}{BM}=\frac{BC}{BN}$ (chứng minh trên); $\hat{B}$ chung.

Suy ra ΔBAM ᔕ ΔBCN (c.g.c).

b) Áp dụng định lý Pythagore vào ΔABC vuông cân tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 2AB² (vì AB = AC).

Suy ra $\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{1}{2}.$

Vì ΔBAM ᔕ ΔBCN (câu a) nên $\frac{S_{BAM}}{S_{BCN}}=\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác BAM và BCN là $\frac{1}{2}.$

Bài 27. Một ngôi nhà có thiết kế mái như hình bên và có các số đo như sau: AD = 1,5 m, DE = 2,5 m, BF = GC = 1 m, FG = 5,5 m. Tính chiều dài AB của mái nhà bên, biết DE // BC.

Hướng dẫn giải

Ta có BC = BF + FG + GC = 1 + 5,5 + 1 = 7,5 (m).

Xét tam giác ABC, do DE // BC nên ΔABC ᔕΔADE.

Suy ra $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{DE}}{\text{BC}}$ hay $\frac{1,5}{\text{AB}}=\frac{2,5}{7,5}.$

Suy ra $\text{AB}=\frac{1,5\cdot 7,5}{2,5}=4,5$ (m).

Vậy chiều dài AB của mái nhà bên là 4,5 m.

Bài 28. Để đo chiều cao của cột đèn ta làm như sau: Đặt tấm gương phẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, mắt của người quan sát nhìn thẳng vào tấm gương, người quan sát di chuyển sao cho thấy được đỉnh ngọn đèn trong tấm gương và $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A'BC'}}$. Cho chiều cao tính từ mắt của người quan sát đến mặt đất là AC = 1,7 m, khoảng cách từ gương đến chân người là BC = 0,6 m, khoảng cách từ gương đến chân cột đèn là BC' = 1,5 m. Tính chiều cao của cột đèn A'C'.

Hướng dẫn giải

Xét ΔACB và ΔA'C'B có:

$\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A'BC'}}$; $\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{A'C'B}}=90°.$

Do đó ΔACB ᔕ ΔA'C'B (g.g).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{CB}}{\text{C'B}}$ hay $\frac{\text{1,7}}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{0,6}{1,5}.$

Suy ra $A\text{'}C\text{'}=\frac{1,7\cdot 1,5}{0,6}$ = 4,25 (m).

Vậy chiều cao của cột đèn A'C' bằng 4,25 m.

Bài 29. Cho các hình sau:

Hỏi có bao nhiêu cặp hình đồng dạng trong hình trên?

Hướng dẫn giải

Các cặp hình đồng dạng là: Hình 1 và Hình 3; Hình 2 và Hình 4.

Hình 5 và hình 6 không phải là cặp hình đồng dạng vì hình 5 là hình chữ nhật, hình 6 là hình vuông.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

Bài 30. Cho hình vẽ:

Biết các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA', OB', OC', OD'. Cho biết hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' có đồng dạng phối cảnh hay không? Nếu có, hãy chỉ ra tâm đồng dạng phối cảnh.

Hướng dẫn giải

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

• Bốn đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua điểm O;

• Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA', OB', OC', OD' nên ta có $\frac{OA\text{'}}{OA}=\frac{OB\text{'}}{OB}$$=\frac{OC\text{'}}{OC}=\frac{OD\text{'}}{OD};$

Vậy hình chữ nhật A'B'C'D' và hình chữ nhật ABCD là đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh.

Bài 31. Cho hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD sao cho $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$. Hỏi hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD có đồng dạng hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Trên tia AD ta lấy điểm D'' sao cho AD'' = A'D'. Qua D'' kẻ đường thẳng song song với DC, cắt tia AC tại C''. Qua C'' kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia AB tại B''.

Ta thấy tứ giác AB''C''D'' là hình chữ nhật và hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD. (1)

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác ACD với C''D'' // CD, ta có:

$\frac{AC"}{AC}=\frac{AD"}{AD}.$

Do đó, $\frac{AB"}{AB}=\frac{AD"}{\text{AD}}=\frac{A\text{'}D\text{'}}{AD}$$=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}.$

Suy ra, AB'' = A'B'.

Vì AB'' = A'B' và AD'' = A'D' nên hình chữ nhật AB''C''D'' bằng hình chữ nhật A'B'C'D' (2).

Từ (1) và (2) suy ra hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD đồng dạng.

Bài 32. Cho tam giác ABC với trọng tâm O. Lấy điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Hỏi hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh với tỉ số bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

•Ta thấy ba đường thẳng AA', BB', CC' cùng đi qua điểm O.

• Vì A', B', C' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC nên $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=\frac{O{B}^{\text{'}}}{OB}$$=\frac{O{C}^{\text{'}}}{OC}=\frac{1}{2}$

Do đó, hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh.

Xét tam giác OAB có A'B' // AB (định lí Thalès đảo) suy ra $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, $\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{1}{2};$ $\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{AC}=\frac{1}{2}.$

Do đó $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}$$=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{AC}=\frac{1}{2}$

Vậy hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh với tỉ số $\frac{1}{2}.$

Bài 33. Cho hai tứ giác A'B'C'D' và ABCD đồng dạng phối cảnh với nhau. O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{1}{2}.$

Biết AB = 3 cm; BC = 1,5 cm; CD = 2 cm; AD = 4 cm. Tính chu vi tứ giác A'B'C'D'.

Hướng dẫn giải

Vì hai tứ giác A'B'C'D' và ABCD đồng dạng phối cảnh với nhau. O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{1}{2}$ nên ta có:

$\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}$$=\frac{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{CD}=\frac{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{AD}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{3}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{1,5}=$$\frac{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{2}=\frac{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{4}=\frac{1}{2}.$

Suy ra A'B' = 1,5 cm; B'C' = 0,75 m; C'D' = 1 cm; A'D' = 2 cm.

Chu vi tứ giác A'B'C'D' là:

A'B' + B'C' + C'D' + D'A' = 1,5 + 0,75 + 1 + 2 = 5,25 (cm).

Vậy chu vi tứ giác A'B'C'D' là 5,25 cm.

Học tốt Toán 8 Chương 8

Các bài học để học tốt tổng hợp Toán 8 Chương 8 Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài tập cuối chương 8

• Giải sbt Toán 8 Bài tập cuối chương 8

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---