5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Biểu thức loga f(x) xác định khi:

+ a > 0; a ≠ 1

+ f(x) > 0 và f(x) có nghĩa.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Điều kiện xác định của bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: C

Bất phương trình xác định khi:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ví dụ 2. Điều kiện xác định của bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. 2 < x < 5    B. 1 < x < 2.    C. 2 < x < 3    D. −4 < x < 3

Đáp án: A

Bất phương trình xác định khi:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ví dụ 3. Điều kiện xác định của bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. x ∈ [−1; 1] .    B. x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) .

C. x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞).    D. x ∈ (−1; 1).

Đáp án: D

Bất phương trình xác định khi:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Quảng cáo

Dạng 2. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

1. Phương pháp giải

Cho bất phương trình logax < m với x > 0 (1)

+ Nếu 0 < a < 1 thì (1) x > am.

+ Nếu a > 1 thì (1) x < am

Chú ý: Kết hợp với điều kiện xác định khi giải bất phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5 (x − 2) + 2log25 x > log53.

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: C

Điều kiện:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Với điều kiện trên, bất phương trình trở thành:

log5 (x − 2) + log5x > log53

⇔ log5 ( x − 2).x > log53 ⇔ (x − 2).x > 3

⇔ x2 − 2x − 3 > 0

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Kết hợp với điều kiện ta được, x > 3

Ví dụ 2. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2(log4x) ≥ log4(log2x) là:

A. 6.    B. 10.    C. 8.    D. 16.

Đáp án: D

BPT

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ví dụ 3. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết là:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

BPT

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Do đó, x = 0 là nghiệm nguyên nhỏ nhất.

Quảng cáo

Ví dụ 4. Bất phương trình logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

+ Điều kiện : log3 (9x − 72) > 0 ⇔ 9x − 72 > 1

⇔ 9x > 73 ⇔ x > log3√73

+ Với điều kiện trên ta có :

logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 ⇔ log3(9x − 72) < x ⇔ 9x − 3x − 72 ≤ 0; (*)

Đặt t = 3x ; (t > 0). Khi đó, bất phương trình (*) trở thành :

t2 − t − 72 < 0 ⇔ − 8 < t < 9

Kết hợp điều kiện t > 0 nên 0 < t < 9.

Suy ra, 0 < 3x < 9 ⇔ x < 2.

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [log3√73; 2] .

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: C

Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đặt t = log3x thì (*) trở thành: t ( t-1) > 0

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 3. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bất phương trình log0,22x − 5log0,2x < −6 có tập nghiệm là:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Điều kiện: x > 0

Đặt t = log0,2x. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:

t2 − 5t < − 6 ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 hay 2 < t < 3.

Khi đó, ta có: 2 < log0,2x < 3 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log3(4 . 3x − 1) > 2x − 1 :

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Bất phương trình đã cho luôn xác định với mọi x.

Ta có: log3 (4. 3x−1) > 2x − 1

⇔ 4.3x − 1 > 32x − 1 ⇔ 32x − 4. 3x < 0 (*)

Đặt t = 3x ( t > 0). Khi đó, phương trình (*) trở thành:

t2 − 4t < 0 ⇔ 0 < t < 4

suy ra, 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34

Quảng cáo

Ví dụ 3. Nếu đặt t =log2x thì bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết trở thành bất phương trình nào?

A. t4 +13t2 + 36 < 0 .    B. t4 + 12t2 + 12 < 0

C. t4 < 24t2 + 23 > 0    D. t4 − 13t2 + 36 < 0

Đáp án: D

Điều kiện: x > 0.

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇔ log24x − (−log2x3 + log28)2 + 9(log232 − log2x2) < 4log22x

⇔ log24x − (3log2x − 3)2 + 9(5 − 2log2x) − 4log22x < 0

⇔ log24x − (9log22x − 18log2x + 9) + 45 − 18log2x − 4log22 < 0

⇔ log24x − 13log22x + 36 < 0

Đặt t= log2x khi đó phương trình trên trở thành :

t4 − 13t2 + 36 < 0

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Điều kiện: 0 < x ≠ 1 (*)

Ta có:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đặt t = log5x, khi đó (*) trở thành: 2t2 − t < 0

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; √5) .

Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Điều kiện: x > 0 (*). Đặt u = log2x => x = 2u

Bất phương trình đã cho trở thành

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

- Với u > 1 => log2x > 1 => x > 2

- Với u < −1 => log2x < −

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 4. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá, tính đơn điệu của hàm số.

1. Phương pháp giải

a. Phương pháp đánh giá:

Để giải bất phương trình: A( x) < B(x) ta có thể chứng minh với mọi x < x0 ta có A(x) ≥ B(x)

và mọi x ≥ x0 thì A(x)< B(x).

Khi đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ x0

b. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D. Giả sử hàm số y= f(x) đơn điệu trên khoảng D.

+ Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên D thì f(x) > f(x0 ) ⇔ x > x0.

+ Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì f(x) > f(x0)  ⇔ < x0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bất phương trình log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 có tập nghiệm là:

A. [0; +∞).    B. (−∞; 0).    C. (−∞; 0].    D. (0; +∞) .

Đáp án: C

* Xét x > 0 => 2x > 20 = 1 => 2x + 1 > 2

Suy ra, log2 (2x +1) > log22 = 1 (1)

* Khi x > 0 thì 4x > 40 = 1 => 4x + 2 > 2 + 1= 3

Suy ra, log3 (4x + 2) > log33 = 1 ( 2)

* Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: log2 (2x + 1) + log3 ( 4x + 2) > 2

Mà BPT: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 nên x > 0 ( loại) .

* Xét x ≤ 0

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 (tm)

Vậy x ≤ 0 hay x ∈ (−∞; 0]

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log3 (2x + 1) + x ≤ 2

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: B

Điều kiện:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Xét hàm số y = f(x) = log3(2x + 1) + x trên 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đạo hàm:

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra, hàm số đồng biến trên 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Khi đó, log3 (2x + 1) + x ≤ 2 ⇔ f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1

Kết hợp với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ví dụ 3. Giải bất phương trình log2(3x + 7) + log3(4x + 11) ≥ 7

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: C

Tập xác định D = R.

Xét hàm số y = log2(3x + 7) + log3(4x + 11) xác định và liên tục trên R.

Đạo hàm

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra, hàm số đồng biến trên R.

Do đó, bất phương trình đã cho trở thành: f(x) ≥ f(2) = 7 ⇔ x ≥ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; +∞)

Ví dụ 4. Giải bất phương trình −log5(3x + 16) − 2x < −6.

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Tập xác định D = R.

Đặt f(x) = −log5(3x + 16) − 2x liên tục và xác định trên R.

Đạo hàm

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Do đó, hàm số y= f(x) nghịch biến trên R. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành; f(x) < f(2) ⇔ x > 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)

Dạng 5. Bất phương trình logarit có chứa tham số m

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết vô nghiệm?

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: D

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình: x2 − mx + 4 ≤ 0 vô nghiệm

⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ Δ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 ?

A. m ≥ 6.    B. m > 6    C. m ≤ 6.    D. m < 6

Đáp án: C

BPT

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đặt 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết do x ≥ 1 => t ∈ [2; +∞)

BPT

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Với f(t) = t2 + t có f’(t) = 2t + 1 > 0 với t ∈ [2; +∞) nên hàm đồng biến trên t ∈ [2; +∞)

Nên min f(t) = f(2) = 6.

Do đó để để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 thì :

m ≤ Minf(t) ⇔ m < 6

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2 ; 3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1.

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Ta có: log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hệ trên thỏa mãn ∀x ∈ (2; 3)

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m), ∀x ∈ R

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: C

Bất phương trình tương đương : 7x2 + 7 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nếu m = 7 thì (2) không thỏa ∀x ∈ R

Nếu m =0 thì (3) không thỏa ∀x ∈ R

Do đó, để (1) thỏa ∀x ∈ R

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + log5(x2 + 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m) có nghiệm đúng mọi x.

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đáp án: A

Bất phương trình tương đương : 5(x2 + 1) ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nếu m = 0 hoặc m= 5 : (*) không thỏa ∀x ∈ R

m ≠ 0 và m ≠ 5: (*)

5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

ham-so-luy-thua-ham-so-mu-va-ham-so-logarit.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12