Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)
Bài viết Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học (5 dạng) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học (5 dạng).
Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)
Bài giảng: Cách giải bất phương trình logarit - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit
1. Phương pháp giải
Biểu thức loga f(x) xác định khi:
+ a > 0; a ≠ 1
+ f(x) > 0 và f(x) có nghĩa.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Điều kiện xác định của bất phương trình là
Lời giải:
Đáp án: C
Bất phương trình xác định khi:
Ví dụ 2. Điều kiện xác định của bất phương trình là
A. 2 < x < 5 B. 1 < x < 2. C. 2 < x < 3 D. −4 < x < 3
Lời giải:
Đáp án: A
Bất phương trình xác định khi:
Ví dụ 3. Điều kiện xác định của bất phương trình là
A. x ∈ [−1; 1] . B. x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) .
C. x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞). D. x ∈ (−1; 1).
Lời giải:
Đáp án: D
Bất phương trình xác định khi:
Dạng 2. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp giải
Cho bất phương trình logax < m với x > 0 (1)
+ Nếu 0 < a < 1 thì (1) x > am.
+ Nếu a > 1 thì (1) x < am
Chú ý: Kết hợp với điều kiện xác định khi giải bất phương trình.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5 (x − 2) + 2log25 x > log53.
Lời giải:
Đáp án: C
Điều kiện:
Với điều kiện trên, bất phương trình trở thành:
log5 (x − 2) + log5x > log53
⇔ log5 ( x − 2).x > log53 ⇔ (x − 2).x > 3
⇔ x2 − 2x − 3 > 0
Kết hợp với điều kiện ta được, x > 3
Ví dụ 2. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2(log4x) ≥ log4(log2x) là:
A. 6. B. 10. C. 8. D. 16.
Lời giải:
Đáp án: D
BPT
Ví dụ 3. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là:
Lời giải:
Đáp án: A
BPT
Do đó, x = 0 là nghiệm nguyên nhỏ nhất.
Ví dụ 4. Bất phương trình logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:
Lời giải:
Đáp án: A
+ Điều kiện : log3 (9x − 72) > 0 ⇔ 9x − 72 > 1
⇔ 9x > 73 ⇔ x > log3√73
+ Với điều kiện trên ta có :
logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 ⇔ log3(9x − 72) < x ⇔ 9x − 3x − 72 ≤ 0; (*)
Đặt t = 3x ; (t > 0). Khi đó, bất phương trình (*) trở thành :
t2 − t − 72 < 0 ⇔ − 8 < t < 9
Kết hợp điều kiện t > 0 nên 0 < t < 9.
Suy ra, 0 < 3x < 9 ⇔ x < 2.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [log3√73; 2] .
Ví dụ 5. Giải bất phương trình
Lời giải:
Đáp án: C
Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3
Đặt t = log3x thì (*) trở thành: t ( t-1) > 0
Dạng 3. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Bất phương trình log0,22x − 5log0,2x < −6 có tập nghiệm là:
Lời giải:
Đáp án: A
Điều kiện: x > 0
Đặt t = log0,2x. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:
t2 − 5t < − 6 ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 hay 2 < t < 3.
Khi đó, ta có: 2 < log0,2x < 3 ( thỏa mãn điều kiện).
Ví dụ 2. Giải bất phương trình log3(4 . 3x − 1) > 2x − 1 :
Lời giải:
Đáp án: A
Bất phương trình đã cho luôn xác định với mọi x.
Ta có: log3 (4. 3x−1) > 2x − 1
⇔ 4.3x − 1 > 32x − 1 ⇔ 32x − 4. 3x < 0 (*)
Đặt t = 3x ( t > 0). Khi đó, phương trình (*) trở thành:
t2 − 4t < 0 ⇔ 0 < t < 4
suy ra, 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34
Ví dụ 3. Nếu đặt t =log2x thì bất phương trình trở thành bất phương trình nào?
A. t4 +13t2 + 36 < 0 . B. t4 + 12t2 + 12 < 0
C. t4 < 24t2 + 23 > 0 D. t4 − 13t2 + 36 < 0
Lời giải:
Đáp án: D
Điều kiện: x > 0.
⇔ log24x − (−log2x3 + log28)2 + 9(log232 − log2x2) < 4log22x
⇔ log24x − (3log2x − 3)2 + 9(5 − 2log2x) − 4log22x < 0
⇔ log24x − (9log22x − 18log2x + 9) + 45 − 18log2x − 4log22 < 0
⇔ log24x − 13log22x + 36 < 0
Đặt t= log2x khi đó phương trình trên trở thành :
t4 − 13t2 + 36 < 0
Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình là
Lời giải:
Đáp án: A
Điều kiện: 0 < x ≠ 1 (*)
Ta có:
Đặt t = log5x, khi đó (*) trở thành: 2t2 − t < 0
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; √5) .
Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình là
Lời giải:
Đáp án: A
Điều kiện: x > 0 (*). Đặt u = log2x => x = 2u
Bất phương trình đã cho trở thành
- Với u > 1 => log2x > 1 => x > 2
- Với u < −1 => log2x < −
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc
Dạng 4. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá, tính đơn điệu của hàm số.
1. Phương pháp giải
a. Phương pháp đánh giá:
Để giải bất phương trình: A( x) < B(x) ta có thể chứng minh với mọi x < x0 ta có A(x) ≥ B(x)
và mọi x ≥ x0 thì A(x)< B(x).
Khi đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ x0
b. Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D. Giả sử hàm số y= f(x) đơn điệu trên khoảng D.
+ Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên D thì f(x) > f(x0 ) ⇔ x > x0.
+ Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì f(x) > f(x0) ⇔ < x0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Bất phương trình log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 có tập nghiệm là:
A. [0; +∞). B. (−∞; 0). C. (−∞; 0]. D. (0; +∞) .
Lời giải:
Đáp án: C
* Xét x > 0 => 2x > 20 = 1 => 2x + 1 > 2
Suy ra, log2 (2x +1) > log22 = 1 (1)
* Khi x > 0 thì 4x > 40 = 1 => 4x + 2 > 2 + 1= 3
Suy ra, log3 (4x + 2) > log33 = 1 ( 2)
* Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: log2 (2x + 1) + log3 ( 4x + 2) > 2
Mà BPT: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 nên x > 0 ( loại) .
* Xét x ≤ 0
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 (tm)
Vậy x ≤ 0 hay x ∈ (−∞; 0]
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log3 (2x + 1) + x ≤ 2
Lời giải:
Đáp án: B
Điều kiện:
Xét hàm số y = f(x) = log3(2x + 1) + x trên có đạo hàm:
Suy ra, hàm số đồng biến trên
Khi đó, log3 (2x + 1) + x ≤ 2 ⇔ f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1
Kết hợp với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 3. Giải bất phương trình log2(3x + 7) + log3(4x + 11) ≥ 7
Lời giải:
Đáp án: C
Tập xác định D = R.
Xét hàm số y = log2(3x + 7) + log3(4x + 11) xác định và liên tục trên R.
Đạo hàm
Suy ra, hàm số đồng biến trên R.
Do đó, bất phương trình đã cho trở thành: f(x) ≥ f(2) = 7 ⇔ x ≥ 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; +∞)
Ví dụ 4. Giải bất phương trình −log5(3x + 16) − 2x < −6.
Lời giải:
Đáp án: A
Tập xác định D = R.
Đặt f(x) = −log5(3x + 16) − 2x liên tục và xác định trên R.
Đạo hàm
Do đó, hàm số y= f(x) nghịch biến trên R. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành; f(x) < f(2) ⇔ x > 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)
Dạng 5. Bất phương trình logarit có chứa tham số m
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình vô nghiệm?
Lời giải:
Đáp án: D
Để bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình: x2 − mx + 4 ≤ 0 vô nghiệm
⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ Δ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 ?
A. m ≥ 6. B. m > 6 C. m ≤ 6. D. m < 6
Lời giải:
Đáp án: C
BPT
Đặt do x ≥ 1 => t ∈ [2; +∞)
BPT
Với f(t) = t2 + t có f’(t) = 2t + 1 > 0 với t ∈ [2; +∞) nên hàm đồng biến trên t ∈ [2; +∞)
Nên min f(t) = f(2) = 6.
Do đó để để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 thì :
m ≤ Minf(t) ⇔ m < 6
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2 ; 3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1.
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có: log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1
Hệ trên thỏa mãn ∀x ∈ (2; 3)
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m), ∀x ∈ R
Lời giải:
Đáp án: C
Bất phương trình tương đương : 7x2 + 7 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R
Nếu m = 7 thì (2) không thỏa ∀x ∈ R
Nếu m =0 thì (3) không thỏa ∀x ∈ R
Do đó, để (1) thỏa ∀x ∈ R
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + log5(x2 + 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m) có nghiệm đúng mọi x.
Lời giải:
Đáp án: A
Bất phương trình tương đương : 5(x2 + 1) ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R
Nếu m = 0 hoặc m= 5 : (*) không thỏa ∀x ∈ R
m ≠ 0 và m ≠ 5: (*)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải bất phương trình: log4(x + 7) > log2(x + 1).
Bài 2. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình: .
Bài 3. Giải bất phương trình: .
Bài 4. Giải bất phương trình: .
Bài 5. Giải bất phương trình: x + .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải
- 7 Bài toán lãi suất, bài toán thực tế trong đề thi Đại học có lời giải
- Các dạng bài toán thực tế ôn thi đại học (cực hay)
- Tìm điều kiện xác định của lũy thừa hay nhất
- Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa (cực hay)
- Dạng bài tập về so sánh các lũy thừa (cực hay)
- Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức lũy thừa (cực hay)
- Tìm điều kiện để biểu thức logarit xác định hay nhất
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12