Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Bài viết Logarit trong đề thi Đại học (6 dạng) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Logarit trong đề thi Đại học (6 dạng).

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Bài giảng: Các bài toán thực tế - Ứng dụng hàm số mũ và logarit - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Tìm điều kiện để biểu thức log_af(x) xác định

1. Phương pháp giải

* Để biểu thức logaf(x) xác định thì cần :

+ Cơ số a > 0 và a ≠ 1

+ f(x) > 0

* Chú ý : Xét tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) có Δ = b² − 4ac.

• Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a.

• Nếu Δ > 0 thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x₁ ; x₂.

+ Trường hợp 1 : a > 0 thì f(x) > 0 khi x ∈ (− ∞; x₁) ∪(x₂; +∞) và f(x) < 0 khi x ∈ (x₁; x₂)

+ Trường hợp 2. a < 0 thì f(x) < 0 khi x ∈ (− ∞; x₁) ∪(x₂; +∞) và f(x) > 0 khi x ∈ (x₁; x₂)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức log₂(4x − 2) xác định ?

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện để biểu thức log₂(4x − 2) xác định là:

Ví dụ 2. Với giá trị nào của x thì biểu thức: f(x) = log₇( x³ − 3x + 2 ) xác định?

Lời giải:

Đáp án: D

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:

Ví dụ 3. Điều kiện xác định của biểu thức là

A. x < 1 hoặc x > 3    B. x > 3

C. – 1 < x < 1    D. x > 1

Lời giải:

Đáp án: C

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:

(1 − x² ).(x² − 6x + 9) > 0 ⇔ ( 1 < x² ) . (x − 3)2 > 0

⇔ − 1 < x < 1

Ví dụ 4. Biểu thức lg(x² − 2mx + 4) có nghĩa với mọi x ∈ R khi

m = 2    B. −2 < m < 2

C. m > 2 hoặc m < − 2    D. m < 2

Lời giải:

Đáp án: C

Biểu thức lg(x² − 2mx + 4) có nghĩa với mọi số thực x khi và chỉ khi :

x² − 2mx + 4 > 0 với mọi x.

⇔ − 2 < x < 2

Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì biểu thức f(x) = 124 + 113log₂(3x + m) xác định với mọi x ∈ (3; +∞) ?

A. m > − 3    B. m > − 9    C. m < − 9    D. m < − 3

Lời giải:

Đáp án: B

Biểu thức f(x) xác định khi và chỉ khi 3x + m > 0

Để f(x) xác định với mọi x ∈ (3; +∞) thì

Dạng 2 Tính giá trị của một biểu thức chứa logarit

1. Phương pháp giải

Để tính giá trị của một biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit:

* Các quy tắc tính logarit :

Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1 , ta có

log_a(bc)= log_ab + log_ac

Đặc biệt : với a, b > 0 ; a ≠ 1 thì

log_a b^α = α log_ab

Đặc biệt:

* Đổi cơ số của lôgarit

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có

• hay log_ca. log_ab = log_c b

• Đặc biệt: và với α ≠ 0 .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a > 0, a ≠ 1 giá trị của biểu thức a^log_√a16 bằng bao nhiêu ?

A. 16    B. 4    C. 32    D. 256

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có: log_√a16 = log_a^½16 = 2log_a16 = log_a16² = log_a256

Do đó, a^log_√a16 = a^log_a256 = 256

Ví dụ 2. Giá trị của biểu thức A = log₂12 + 2log₂5 − log₂ 15 − log₂ 150 bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: A = log₂12 + 2log₂5 − log₂ 15 − log₂ 150

= log₂12 + log₂ 5² − log₂15 − log₂ 150

Ví dụ 3. Tính bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 4. Cho số dương a khác 1. Tính giá trị biểu thức A = a^6log_a352 có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 25    B. 625    C. 5    D. 125

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức .

A. A = 3log₃7.    B. A = log₃7.    C. A = 2log₃7.    D. A = 4log₃7.

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Dạng 3. Rút gọn biểu thức chứa logarit

1. Phương pháp giải

Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit. Ngoài ra, ta còn cần sử dụng các công thức lũy thừa đã học.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho log₃x = 3log₃2 + log₉25 − log_√33 . Khi đó giá trị của x bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: log₃x = 3log₃2 + log₉25 − log_√33

Do đó,

Ví dụ 2. Cho . Khi đó giá trị của x là :

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: A = (log_b³a + 2log_b²a + log_ba)(log_ab − log_abb) − log_ba là:

A. 0    B. 1    C. 3    D. 2

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: A = (log_b³a + 2log_b²a + log_ba)(log_ab − log_abb) − log_ba

= log_ba + 1 − log_ba = 1

Ví dụ 4. Rút gọn biêủ thức

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Ví dụ 5. Cho x > 0. Rút gọn

A. A = log_x 2012 !    B. A = log_x1002!    C. A = log_x 2011!    D. A = log_x 2011

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

= log_x2 + log_x3 + log_x4 +...+ log₂₀₁₁

= log_x(2.3.4...2011) = log_x(2011)

Dạng 4. Biểu diễn logarit này theo các logarit khác

1. Phương pháp giải

Để biểu diễn lôgarit này theo các biểu thức lôgarit đã cho ta cần:

+ Đổi cơ số của biểu thức lôgarit cần tính theo cơ số của các biểu thức logarit đã cho .

( chú ý: mối liên hệ giữa các cơ số với nhau).

+ Sử dụng các quy tắc tính logarit; đổi cơ số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho lg x= a và ln10 = b . Tính log_10e x theo a và b?

Lời giải:

Đáp án: A

log_10e x

Ví dụ 2. Cho log₃15 = a. Tính A= log₂515 theo a.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có a = log₃15 nên a = log₃ 3 + log₃ 5 = 1+ log₃5

Suy ra, log₃5 = a − 1.

Ví dụ 3. Cho a = log₃2 và b = log₃5. Tính log₁₀ 60 theo a và b.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có log₁₀60 = log₁₀2².3.5 = 2log₁₀2 + log₁₀3 + log₁₀5

Suy ra, log₃5 = a − 1.

Ví dụ 4. Biết log₂75 = a; log₈ 7 = b; log₂3 = c thì log₁₂35 tính theo a, b, c bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

⇔log₃5 = 3a

⇔log₂7 = 3b

Mà:

Ví dụ 5. Cho log₂3 = a; log₃5 = b; log₇2 = c. Hãy tính log₁₄₀ 63 theo a, b, c

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: log₁₄₀63 = log₁₄₀(3² . 7) = 2log₁₄₀4 + log₁₄₀7

Từ đề bài suy ra

log⁷5 = log₇2 . log₂3 . log₃5 = abc

Vậy

Dạng 5. Biến đổi đẳng thức đã cho thành các đẳng thức chứa logarit.

1. Phương pháp giải

+ Từ đẳng thức đã cho, ta thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức: (a + b)²; (a − b)²; (a + b)³ hoặc (a − b)³

+ Sau đó lấy loga 2 vế cơ số thích hợp – dựa vào các đáp án.

* Chú ý. Các quy tắc tính logarit : Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1, ta có

log_a(bc)= log_a b + log_a c

Đặc biệt : với a, b > 0; a ≠ 1 thì

log_ab^α = αlog_ab

Đặc biệt:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a > 0; b > 0 thỏa điều kiện a² + b² = 7ab .Khẳng định nào sau đây đúng:

Lời giải:

Đáp án: D

Theo giả thiết: a² + b² = 7ab ⇔ (a + b)² = 9ab ( cộng 2ab vào 2 vế).

Lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được:

Ví dụ 2. Cho x; y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x² + 9y² = 6xy. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có x² + 9y² = 6xy ⇔ x² − 6xy+ 9y² = 0

⇔ (x − 3y)² = 0 ⇔ x = 3y.

* Khi đó

Ví dụ 3. Cho a, b là các số thực dương khác 1, thoả mãn log_a²b + log_b²a = 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án: B

Ví dụ 4. Cho các số dương a, b thõa mãn 4a² + 9b² = 13ab. Chọn câu trả lời đúng.

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: 4a² + 9b² = 13ab ⇔ 4a² + 12ab + 9b² = 25ab

⇔ (2a + 3b)² = 25ab

( vì a; b > 0 nên a + b > 0; ab > 0 ).

Suy ra:

Ví dụ 5. Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a² + b² = 14ab. Khẳng định nào sau đây là sai ?

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có a² + b² = 14ab ⇔ (a + b)² = 16ab

Nên ta có vậy A đúng

2log₂(a + b) = log₂(a + b)² = log₂(16ab) = 4 + log₂a + log₂b vậy B đúng

4log₄(a + b) = log₄(a + b)² = log₄(16ab) = 4 + log₄a + log₄b vậy C sai

vậy D đúng

Dạng 6. So sánh hai lôgarit cùng cơ số.

1. Phương pháp giải

Cho số dương a khác 1 và hai số dương b, c.

• Khi a > 1 thì log_ab > log_ac ⇔ b > c.

• Khi 0 < a < 1 thì log_ab > log_ac ⇔ b < c.

Ngoài ra, cần sử dụng các công thức quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các số 3^log₃4; 3log^2log₃2; những số nào nhỏ hơn 1

Lời giải:

Đáp án: C

Ta so sánh các số với 1

+ 3^log₃4 = 4 > 1.

+ 3^2log₃2 = 3^log₃22 = 4 > 1

Ví dụ 2. Trong các số sau, số nào lớn nhất?

Lời giải:

Đáp án: A

Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh:

Ta thấy

Ví dụ 3. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ?

Lời giải:

Đáp án: A

Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh:

Ta thấy

Ví dụ 4. Cho hai số thực a; b với 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là đúng:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta xét các phương án:

+ A sai vì log₂₀₁₆2017 > log₂₀₁₆2016 = 1.

+ B sai vì

+ C đúng vì với mọi x dương.

+ D sai vì log₂₀₁₇2016 < log₂₀₁₇ 2017 = 1.

Ví dụ 5. Cho hai số thực a, b với 1 < a < b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. log_ab < 1 < log_ba.    B. 1 < log_ab < log_ba .

C. log_ab < log_ba < 1.    D. log_ba < 1 < log_ab

Lời giải:

Đáp án: D

Từ giả thiết 1 < a < b nên ta có: log_a1 < log_aa < log_ab hay 0 < 1 < log_ab .

Áp dụng công thức đổi cơ số thì 1 < log_a

vì log_ba > 0 nên ta có log_ba < 1 < log_ab.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho y = 2³x. Hãy biểu diễn x theo y.

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức: $\frac{{\log }_{a}25}{{\log }_a\frac{1}{5}}\left(0<a\ne 1\right)$.

Bài 3. Cho 3 + 2log₂x = log₂y. Hãy biểu diễn y theo x.

Bài 4. Đặt x = log₂3, y = log₃5. Hãy tính biểu thức P = log₆60 theo x và y.

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức sau:

a) log₃100 - log₃18 - log₃50.

b) (log₂3)(log₉4).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 4 Dạng bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải
• 4 dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải
• 2 dạng bài tập Hàm số lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải
• 6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải
• 5 dạng bài tập Phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải
• Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải
• 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải

---