Bài tập số phức nâng cao, hay và khó chọn lọc



Bài tập số phức nâng cao, hay và khó chọn lọc

Phần Bài tập số phức tổng hợp Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm hay và khó, chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Bài tập số phức tổng hợp hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M vàm n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| . Tính M.n.

A. 2.   B. 1.    C. 2√2.    D. 2√3.

Hướng dẫn:

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm và độ dài trục lớn là 2a = 4 và tiêu cự 2c = 2√2.

Khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Bài 2. Cho số phức z = a + bi, (a ≥ 0; b ≥ 0; a, b ∈ R). Đặt f(x) = ax2 + bx - 2. Biết:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tính giá trị lớn nhất của |z| .

A. max|z| = 2√5     B. max|z| = 3√2

C. max|z| = 5     D. max|z| = 2√6

Hướng dẫn:

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ giả thiết ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét trên hệ tọa độ Oxy các đường thẳng

d: x - y - 2 = 0; d’: x + 4y - 12 = 0 và các trục tọa độ

+ Đường thẳng d ∩ Ox = A(2; 0); d ∩ Oy = (0; -2) = B; d' ∩ Ox = C(12; 0) và hai đường thẳng d ∩ d' = I(4; 2)

+ Miền nghiệm của (I) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ nằm trong tứ giác OAID kể cả các điểm thuộc trên các cạnh của đa giác.

+ Ta có: |z|2 = a2 + b2 = OM2, |z| lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất hay OM2 lớn nhất với M(a; b) là điểm thuộc miền đa giác lồi OAID.

+ Ta có: OA = 2; OI = 2√5; OD = 3. Từ đó suy ra max|z| = 2√5

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi z = 4 + 2i.

Bài 3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. Một parabol.    B. Một điểm.    C. Một đường thẳng.    D. Một đường tròn.

Hướng dẫn:

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = x - yi

Từ đó ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy quỹ tích cần tìm là đường parabol.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án có phần thực và ảo đều thuộc [0; 1] . Tính diện tích của H

A. 1600.    B. 400π.    C. 50(3 - π).    D. 1200- 200π .

Hướng dẫn:

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

theo bài ta có: 0 ≤ x ≤ 40; 0 ≤ y ≤ 40.

Từ đó ta thấy điểm biểu diễn M cho các số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hình vuông có OABC như hình vẽ.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo bài ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ (1) ta được x ≥ 0 và x2 + y2 ≥ 40x <=> (x - 20)2 + y2 ≥ 400 (1').

Từ (2) ta được y ≥ 0 và x2 + y2 ≥ 40y <=> x2 + (y - 20)2 ≥ 400 (2')

Tập hợp các điểm biểu diễn cho miền (H) là nằm trong miền “màu đỏ” ta cần tính diện tích của miền này.

+ Diện tích của một phần bốn cung tròn có bán kính R = 20 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nên diện tích hình hoa văn tạo bởi cung AIO và cung OIC là S* = 100π + 202 + 100π = 400 + 200π và diện tích cần tính bằng: S = 402 - S* = 1200 - 200π.

Bài 5. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 2, |z2| = √3 và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2 thì:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. P = √5.    B. P = 4√7.    C. P = 3√3.    D. P = 5√2.

Hướng dẫn:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có: P = |z1 - 2iz2|.|z1 + 2iz2|.

Theo bài gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz là A khi đó N là trung điểm của đoạn OA.

Ta có:

|z1 - 2iz| = MA, theo định lý cô sin cho tam giác OMA ta có:

MA2 = OM2 + OA2 - 2OM.OA.cos30o = 4 + 4.4 - 2.2.2√3.Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án = 4

Từ đó ta được MA = 2.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Nếu đặt z1 = a + bi; z2 = x + yi, (a, b, x, y ∈ R), ta có:

Q = 16 + 2i[(x + yi)(a - bi) - (a + bi)(x - yi)] = 16 + 2i(-2bxi + 2ayi) = 16 + 4(bx - ay)

Ta có: iz2 = -y + xi nên ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta được Q = 16 + 4.3 = 28, từ đó suy ra |z1 + 2iz2| = 2√7. Từ đó ta được P = 4√7.

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 - i| + |z - 4 -7i| = 6√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 1 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2; 1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

+ Phương trình đường thẳng AB: x - y + 3 = 0 từ đó đoạn AB có phương trình như trên tuy nhiên x ∈ [-2; 4] .

+ Gọi C(1; -1) khi đó ta có:P = MC, với M thuộc đoạn AB

+ min MC = MH = d(C, AB) = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án đạt được khi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án thuộc đoạn AB.

+ max MC = max{MA, MB} = max{√13, √73} = √73

+ Vậy đáp số là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Cách 2: Dùng hình học và đại số

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2;1); B(4;7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

Vì M ∈ [AB] nên M(a; a + 3); a ∈ [-2; 4] (vì AB: x - y + 3 = 0).

+ Khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khảo sát hàm số trên ta được kết quả như trên.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

Giả sử z = a + bi, khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết quả của bài toán.

Bài 7. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

là hai đường thẳng d1 ; d2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 ; d2 là bao nhiêu?

A. d(d1 ; d2) = 2.    B. d(d1 ; d2) = 4.    C. d(d1 ; d2) = 1.    D. d(d1 ; d2) = 6.

Hướng dẫn:

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

⇔ |x2 + 2xyi - y2 + x2 - 2xyi - y2 + 2x2 + 2y2| = 16

⇔ | 4x2| = 16 ⇔ x = ± 2

=< d(d1 ; d2)=4.

Bài 8. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy để Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = a + bi , khi đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án, giả thiết của bài toán là

|2a + 2bi - (a - bi)| ≤ 3 ⇔ |a + 3bi| ≤ 3 ⇔ a2 + 9b2

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a;b) thuộc miền trong của elip:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

(kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác