Bài tập số phức nâng cao, hay và khó chọn lọc

---

---

Bài tập số phức nâng cao, hay và khó chọn lọc

Phần Bài tập số phức tổng hợp Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm hay và khó, chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Bài tập số phức tổng hợp hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

• Các dạng bài tập hay về số phức Xem chi tiết
• 18 Bài tập số phức hay và khó Xem chi tiết

Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn:

Gọi M vàm n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| . Tính M.n.

A. 2.   B. 1.    C. 2√2.    D. 2√3.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elíp có tiêu điểm và độ dài trục lớn là 2a = 4 và tiêu cự 2c = 2√2.

Khi đó:

Bài 2. Cho số phức z = a + bi, (a ≥ 0; b ≥ 0; a, b ∈ R). Đặt f(x) = ax² + bx - 2. Biết:

Tính giá trị lớn nhất của |z| .

A. max|z| = 2√5     B. max|z| = 3√2

C. max|z| = 5     D. max|z| = 2√6

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Từ giả thiết ta có:

Xét trên hệ tọa độ Oxy các đường thẳng

d: x - y - 2 = 0; d’: x + 4y - 12 = 0 và các trục tọa độ

+ Đường thẳng d ∩ Ox = A(2; 0); d ∩ Oy = (0; -2) = B; d' ∩ Ox = C(12; 0) và hai đường thẳng d ∩ d' = I(4; 2)

+ Miền nghiệm của (I) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ nằm trong tứ giác OAID kể cả các điểm thuộc trên các cạnh của đa giác.

+ Ta có: |z|² = a² + b² = OM², |z| lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất hay OM² lớn nhất với M(a; b) là điểm thuộc miền đa giác lồi OAID.

+ Ta có: OA = 2; OI = 2√5; OD = 3. Từ đó suy ra max|z| = 2√5

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi z = 4 + 2i.

Bài 3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa

A. Một parabol.    B. Một điểm.    C. Một đường thẳng.    D. Một đường tròn.

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó ta có: = x - yi

Từ đó ta được:

Vậy quỹ tích cần tìm là đường parabol.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn và có phần thực và ảo đều thuộc [0; 1] . Tính diện tích của H

A. 1600.    B. 400π.    C. 50(3 - π).    D. 1200- 200π .

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

+ Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R), khi đó:

theo bài ta có: 0 ≤ x ≤ 40; 0 ≤ y ≤ 40.

Từ đó ta thấy điểm biểu diễn M cho các số phức là hình vuông có OABC như hình vẽ.

Theo bài ta có:

Từ (1) ta được x ≥ 0 và x² + y² ≥ 40x <=> (x - 20)² + y² ≥ 400 (1').

Từ (2) ta được y ≥ 0 và x² + y² ≥ 40y <=> x² + (y - 20)² ≥ 400 (2')

Tập hợp các điểm biểu diễn cho miền (H) là nằm trong miền “màu đỏ” ta cần tính diện tích của miền này.

+ Diện tích của một phần bốn cung tròn có bán kính R = 20 là:

Nên diện tích hình hoa văn tạo bởi cung AIO và cung OIC là S* = 100π + 20² + 100π = 400 + 200π và diện tích cần tính bằng: S = 40² - S* = 1200 - 200π.

Bài 5. Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = 2, |z₂| = √3 và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z₁; z₂ thì:

A. P = √5.    B. P = 4√7.    C. P = 3√3.    D. P = 5√2.

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có:

Từ đó ta có: P = |z₁ - 2iz₂|.|z₁ + 2iz₂|.

Theo bài gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz là A khi đó N là trung điểm của đoạn OA.

Ta có:

|z₁ - 2iz| = MA, theo định lý cô sin cho tam giác OMA ta có:

MA² = OM² + OA² - 2OM.OA.cos30^o = 4 + 4.4 - 2.2.2√3. = 4

Từ đó ta được MA = 2.

Nếu đặt z₁ = a + bi; z₂ = x + yi, (a, b, x, y ∈ R), ta có:

Q = 16 + 2i[(x + yi)(a - bi) - (a + bi)(x - yi)] = 16 + 2i(-2bxi + 2ayi) = 16 + 4(bx - ay)

Ta có: iz₂ = -y + xi nên ta có:

Từ đó ta được Q = 16 + 4.3 = 28, từ đó suy ra |z₁ + 2iz₂| = 2√7. Từ đó ta được P = 4√7.

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 - i| + |z - 4 -7i| = 6√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 1 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2; 1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z₁ = -2 + i và z₂ = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

+ Phương trình đường thẳng AB: x - y + 3 = 0 từ đó đoạn AB có phương trình như trên tuy nhiên x ∈ [-2; 4] .

+ Gọi C(1; -1) khi đó ta có:P = MC, với M thuộc đoạn AB

+ min MC = MH = d(C, AB) = đạt được khi thuộc đoạn AB.

+ max MC = max{MA, MB} = max{√13, √73} = √73

+ Vậy đáp số là:

Chọn D.

Cách 2: Dùng hình học và đại số

+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).

Gọi A(-2;1); B(4;7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z₁ = -2 + i và z₂ = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).

Vì M ∈ [AB] nên M(a; a + 3); a ∈ [-2; 4] (vì AB: x - y + 3 = 0).

+ Khi đó ta có:

Khảo sát hàm số trên ta được kết quả như trên.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

Giả sử z = a + bi, khi đó ta có:

Từ đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết quả của bài toán.

Bài 7. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

là hai đường thẳng d₁ ; d₂. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁ ; d₂ là bao nhiêu?

A. d(d₁ ; d₂) = 2.    B. d(d₁ ; d₂) = 4.    C. d(d₁ ; d₂) = 1.    D. d(d₁ ; d₂) = 6.

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

⇔ |x² + 2xyi - y² + x² - 2xyi - y² + 2x² + 2y²| = 16

⇔ | 4x²| = 16 ⇔ x = ± 2

=< d(d₁ ; d₂)=4.

Bài 8. Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy để số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = a + bi , khi đó , giả thiết của bài toán là

|2a + 2bi - (a - bi)| ≤ 3 ⇔ |a + 3bi| ≤ 3 ⇔ a² + 9b²

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a;b) thuộc miền trong của elip:

(kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng đại số của số phức
• Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
• Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
• Dạng lượng giác của số phức
• Tập hợp điểm biểu diễn số phức
• Tìm max min số phức

---

---

---