Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai



Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Phần Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai của số phức Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai của số phức hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách tìm căn bậc hai của số phức

Phương pháp giải

Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

+a < 0 ; a có các căn bậc hai là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án .

+ a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.

+a > 0, acó hai căn bậc hai là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án .

Trường hợp w = a + bi;a, b ∈ R; b ≠ 0

Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 = w, tức là

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x + y.i của số phức w = a + bi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của số phức w = -5 + 12i

Ta có z2 = w <=> (x + yi)2 = -5 + 12i

<=> Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy số phức w có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 - 3i.

Ví dụ 2:Khai căn bậc hai số phức z = -3 + 4i có kết quả:

Hướng dẫn:

Giả sử w = x + yi là một căn bậc hai của số phức z = -3 + 4i.

Ta có:

w2 = z <=> (x + yi)2 = -3 + 4i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó z có hai căn bậc hai là:

z1 = 1 + 2i

z2 = -1 - 2i

Ví dụ 3:Tính căn bậc hai của số phức z = 8 + 6i ra kết quả:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Giả sử w = x + yi là một căn bậc hai của số phức z = 8 + 6i.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Cách giải phương trình bậc 2 số phức

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

Xét Δ = b2 - 4ac, ta có

+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án .

+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Chú ý.

Mọi phương trình bậc n: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (thực hoặc phức).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

- Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

Với đa thức f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + .... + a1x + ao chia cho x - a có thương là

g(x) = bnxn + bn - 2xn - 2 + .... + b1x + bo dư r

Ví dụ minh họa

an an-1 an-2 a2 a1 ao
a bn-1 = an bn-2 = abn-1 + an-2 bn-3 = abn-2 + an-3 b1 = ab2 + a2 bo = ab1 + a1 r = abo + bo

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0

Hướng dẫn:

Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b2 - 4ac = -3 < 0

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án B

Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z3 - 8 = 0 là :

Hướng dẫn:

Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4:Trong C , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :

Δ = b2 - 4ac = (3i)2 - 4.1.4 = -25 <0

Phương trình có hai nghiệm phức là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác