Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án

Phần Dạng lượng giác của số phức Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dạng lượng giác của số phức hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách viết số phức dưới dạng lượng giác

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:

+ Tìm một acgumen của số phức z là φ

+ Tính môđun của số phức z: |z| = r = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) .

+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?

A. z = 6√2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

B. z = 6(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

C. z = 3√2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

D. z = 3√2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

Hướng dẫn:

Ta có: |z| = r = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) = 6√2

Chọn φ là số thực thoả mãn Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
⇒ φ = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) .

Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?

A. 10.(cosπ + isinπ)

B. 10.(cos 0 + i.sin0)

C. 10√2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

D. 10√2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

Hướng dẫn:

Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:

10.(cos0 + i.sin0).

Chọn B.

Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)

Thì

z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]

Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) .[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)

A. z = 2√2[cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

B. z = 2[cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

C. z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) [cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

D. Đáp án khác

Hướng dẫn:

Ta có:

1 - i√3 = 2.[cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + isin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

1 + i = √2[cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:

z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

A. 2[cos- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sin- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

B. 2√2[cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

C. √2[cos- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sin- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

D. Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) [cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

Hướng dẫn:

Ta có: 2 + 2i = 2√2[cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

Và 1 + √3i = 2.[cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

Do đó: z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
= Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
= √2[cos- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sin- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ]

Chọn C.

Dạng 3: Công thức Moa-vro

1. Phương pháp giải

* Công thức Moa- vro

Cho số nguyên dương n ta có;

[r(cosφ + i.sinφ)]n = rn(cos(nφ) + i.sin(nφ))

Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)n = cos(nφ) + i.sin(nφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)10

A. 25(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

B. 210(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) .

C. 25(cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) )

D. 210(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

Hướng dẫn:

Ta có: √2 + √2i = 2.(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

Do đó,

z = (√2 + √2i)10 = [2.(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]10

= 210(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

= 210.(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

Chọn D.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

A. Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) (cos(-4π) + i.sin(-4π))

B. Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) (cos(-3π) + i.sin(-3π))

C. Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) (cos(2π) + i.sin(2π))

D. Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) (cos(-4π) - i.sin(-4π))

Hướng dẫn:

* Ta có:

1 - i = √2(cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ))

⇒ (1 - i)10
= √210.[cos(-10.Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(-10.Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

= 25[cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + i.sin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )]

* Lại có:

√3 + i = 2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

⇒ (√3 + i)9 = 29.(cos9.Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sin9.Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )
= 29.(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + i.sinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )

* Do đó,

z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
= Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
= Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) (cos(-4π) + i.sin(-4π))

Chọn A.

Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0?

A. z = -1; z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ;
z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i .

B. z = -1; z = 1 + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - 1 - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i .

C. z = -1; z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ;
z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - √3i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + √3i.

D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = 1 - √3i ;
z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i .

Hướng dẫn:

Ta có: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0

⇔ z4.(z + 1) + z2.(z + 1) + (z+ 1) = 0

⇔ ( z+1).(z4 + z2 + 1) = 0

Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Xét phương trình: z4 + z2 + 1 = 0 (*)

Đặt t = z2, khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + t + 1 = 0 (**)

Có ∆ = 12 – 4.1.1 = - 3.

Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ⇒ z2 = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Từ z2 = cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + isinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Từ z2 = cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + isin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )
Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:

z = -1; z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ;
z = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i ; z = - Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) i .

Chọn A.

Ví dụ 2: Giải phương trình z6 + 64= 0 ?

A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i

B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i

C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i

D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3

Hướng dẫn:

Ta có: : z6 + 64 = 0 ⇔ z6 = - 64.

+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)

⇒ z6 = r6.(cos6φ + isin6φ) (1)

+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z6 = -64 (2)

Từ (1), (2)
⇒ r6(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r6 = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).

Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)

⇒ φ = Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + 2kBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Với k = 0 ⇒ z1 = 2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + isinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) = √3 + i

Với k = -1
⇒ z2 = 2(cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + isin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )) = √3 - i

Với k = 1 ⇒ z3 = 2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + isinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) = 2i

Với k = -2
⇒ z4 = 2(cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + isin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )) = -2i

Với k = -3
⇒ z5 = 2(cos(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) + isin(- Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) )) = - √3 - i

Với k = 4
⇒ z6 = 2(cosBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) + isinBài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) ) = - √3 + i

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i

Chọn B ..

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác