Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án
Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án
Phần Dạng lượng giác của số phức Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dạng lượng giác của số phức hay nhất tương ứng.
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
- 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
- Viết số phức dưới dạng lượng giác Xem chi tiết
Cách viết số phức dưới dạng lượng giác
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:
+ Tìm một acgumen của số phức z là φ
+ Tính môđun của số phức z: |z| = r =
.
+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?
A. z = 6√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 6(cos
+ i.sin
)
C. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
Hướng dẫn:
Ta có: |z| = r =
= 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ =
.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos
+ i.sin
)
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?
A. 10.(cosπ + isinπ)
B. 10.(cos 0 + i.sin0)
C. 10√2(cos
+ i.sin
)
D. 10√2(cos
+ i.sin
)
Hướng dẫn:
Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.
Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)
Thì
z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]
=
.[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)
A. z = 2√2[cos(-
) + i.sin(-
)]
B. z = 2[cos(-
) + i.sin(-
)]
C. z =
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Hướng dẫn:
Ta có:
1 - i√3 = 2.[cos(-
) + isin(-
)]
1 + i = √2[cos
+ i.sin
]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:
z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 2[cos-
+ i.sin-
]
B. 2√2[cos
+ i.sin
]
C. √2[cos-
+ i.sin-
]
D.
[cos
+ i.sin
]
Hướng dẫn:
Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos
+ i.sin
]
Và 1 + √3i = 2.[cos
+ i.sin
]
Do đó: z =
=
= √2[cos-
+ i.sin-
]
Chọn C.
Dạng 3: Công thức Moa-vro
1. Phương pháp giải
* Công thức Moa- vro
Cho số nguyên dương n ta có;
[r(cosφ + i.sinφ)]n = rn(cos(nφ) + i.sin(nφ))
Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)n = cos(nφ) + i.sin(nφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)10
A. 25(cos
+ i.sin
)
B. 210(cos
+ i.sin
) .
C. 25(cos(-
) + i.sin(-
) )
D. 210(cos
+ i.sin
)
Hướng dẫn:
Ta có: √2 + √2i = 2.(cos
+ i.sin
)
Do đó,
z = (√2 + √2i)10 = [2.(cos
+ i.sin
)]10
= 210(cos
+ i.sin
)
= 210.(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A.
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
B.
(cos(-3π) + i.sin(-3π))
C.
(cos(2π) + i.sin(2π))
D.
(cos(-4π) - i.sin(-4π))
Hướng dẫn:
* Ta có:
1 - i = √2(cos(-
) + i.sin(-
))
⇒ (1 - i)10
= √210.[cos(-10.
) + i.sin(-10.
)]
= 25[cos(-
) + i.sin(-
)]
* Lại có:
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + i)9 = 29.(cos9.
+ i.sin9.
)
= 29.(cos
+ i.sin
)
* Do đó,
z =
=
=
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
Chọn A.
Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0?
A. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
B. z = -1; z = 1 +
i ; z = - 1 -
i ; z =
-
i ; z = -
+
i .
C. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
- √3i ; z = -
+ √3i.
D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = -
-
i ; z = 1 - √3i ;
z = -
+
i .
Hướng dẫn:
Ta có: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
⇔ z4.(z + 1) + z2.(z + 1) + (z+ 1) = 0
⇔ ( z+1).(z4 + z2 + 1) = 0
⇔
Xét phương trình: z4 + z2 + 1 = 0 (*)
Đặt t = z2, khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + t + 1 = 0 (**)
Có ∆ = 12 – 4.1.1 = - 3.
Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t =
⇒ z2 =
⇔
Từ z2 = cos
+ isin
⇒
Từ z2 = cos(-
) + isin(-
)
⇒
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
Chọn A.
Ví dụ 2: Giải phương trình z6 + 64= 0 ?
A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i
B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i
D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Hướng dẫn:
Ta có: : z6 + 64 = 0 ⇔ z6 = - 64.
+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)
⇒ z6 = r6.(cos6φ + isin6φ) (1)
+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z6 = -64 (2)
Từ (1), (2)
⇒ r6(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r6 = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).
Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)
⇒ φ =
+ 2k
Với k = 0 ⇒ z1 = 2(cos
+ isin
) = √3 + i
Với k = -1
⇒ z2 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = √3 - i
Với k = 1 ⇒ z3 = 2(cos
+ isin
) = 2i
Với k = -2
⇒ z4 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = -2i
Với k = -3
⇒ z5 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = - √3 - i
Với k = 4
⇒ z6 = 2(cos
+ isin
) = - √3 + i
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
Chọn B ..
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng đại số của số phức
- Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
- Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
- Tập hợp điểm biểu diễn số phức
- Tìm max min số phức
- Bài tập số phức tổng hợp
Săn SALE shopee tháng 9:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12