Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án

---

---

Phần Dạng lượng giác của số phức Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dạng lượng giác của số phức hay nhất tương ứng.

Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

• 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
• Viết số phức dưới dạng lượng giác Xem chi tiết

Cách viết số phức dưới dạng lượng giác

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:

+ Tìm một acgumen của số phức z là φ

+ Tính môđun của số phức z: |z| = r = .

+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?

A. z = 6√2(cos + i.sin )

B. z = 6(cos + i.sin )

C. z = 3√2(cos + i.sin )

D. z = 3√2(cos + i.sin )

Hướng dẫn:

Ta có: |z| = r = = 6√2

Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ = .

Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos + i.sin )

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?

A. 10.(cosπ + isinπ)

B. 10.(cos 0 + i.sin0)

C. 10√2(cos + i.sin )

D. 10√2(cos + i.sin )

Hướng dẫn:

Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:

10.(cos0 + i.sin0).

Chọn B.

Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)

Thì

z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]

= .[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)

A. z = 2√2[cos(- ) + i.sin(- )]

B. z = 2[cos(- ) + i.sin(- )]

C. z = [cos(- ) + i.sin(- )]

D. Đáp án khác

Hướng dẫn:

Ta có:

1 - i√3 = 2.[cos(- ) + isin(- )]

1 + i = √2[cos + i.sin ]

Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:

z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(- ) + i.sin(- )]

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =

A. 2[cos- + i.sin- ]

B. 2√2[cos + i.sin ]

C. √2[cos- + i.sin- ]

D. [cos + i.sin ]

Hướng dẫn:

Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos + i.sin ]

Và 1 + √3i = 2.[cos + i.sin ]

Do đó: z =
=
= √2[cos- + i.sin- ]

Chọn C.

Dạng 3: Công thức Moa-vro

1. Phương pháp giải

* Công thức Moa- vro

Cho số nguyên dương n ta có;

[r(cosφ + i.sinφ)]ⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i.sin(nφ))

Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)ⁿ = cos(nφ) + i.sin(nφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)¹⁰

A. 2⁵(cos + i.sin )

B. 2¹⁰(cos + i.sin ) .

C. 2⁵(cos(- ) + i.sin(- ) )

D. 2¹⁰(cos + i.sin )

Hướng dẫn:

Ta có: √2 + √2i = 2.(cos + i.sin )

Do đó,

z = (√2 + √2i)¹⁰ = [2.(cos + i.sin )]¹⁰

= 2¹⁰(cos + i.sin )

= 2¹⁰.(cos + i.sin )

Chọn D.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =

A. (cos(-4π) + i.sin(-4π))

B. (cos(-3π) + i.sin(-3π))

C. (cos(2π) + i.sin(2π))

D. (cos(-4π) - i.sin(-4π))

Hướng dẫn:

* Ta có:

1 - i = √2(cos(- ) + i.sin(- ))

⇒ (1 - i)¹⁰
= √2¹⁰.[cos(-10. ) + i.sin(-10. )]

= 2⁵[cos(- ) + i.sin(- )]

* Lại có:

√3 + i = 2(cos + i.sin )

⇒ (√3 + i)⁹ = 2⁹.(cos9. + i.sin9. )
= 2⁹.(cos + i.sin )

* Do đó,

z =
=
= (cos(-4π) + i.sin(-4π))

Chọn A.

Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:
z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0?

A. z = -1; z = + i ; z = - - i ;
z = - i ; z = - + i .

B. z = -1; z = 1 + i ; z = - 1 - i ; z = - i ; z = - + i .

C. z = -1; z = + i ; z = - - i ;
z = - √3i ; z = - + √3i.

D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = - - i ; z = 1 - √3i ;
z = - + i .

Hướng dẫn:

Ta có: z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0

⇔ z⁴.(z + 1) + z².(z + 1) + (z+ 1) = 0

⇔ ( z+1).(z⁴ + z² + 1) = 0

⇔

Xét phương trình: z⁴ + z² + 1 = 0 (*)

Đặt t = z², khi đó phương trình (*) trở thành: t² + t + 1 = 0 (**)

Có ∆ = 1² – 4.1.1 = - 3.

Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t = ⇒ z² =

⇔

Từ z² = cos + isin
⇒

Từ z² = cos(- ) + isin(- )
⇒

Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:

z = -1; z = + i ; z = - - i ;
z = - i ; z = - + i .

Chọn A.

Ví dụ 2: Giải phương trình z⁶ + 64= 0 ?

A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i

B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i

C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i

D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3

Hướng dẫn:

Ta có: : z⁶ + 64 = 0 ⇔ z⁶ = - 64.

+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)

⇒ z⁶ = r⁶.(cos6φ + isin6φ) (1)

+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z⁶ = -64 (2)

Từ (1), (2)
⇒ r⁶(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r⁶ = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).

Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)

⇒ φ = + 2k

Với k = 0 ⇒ z₁ = 2(cos + isin ) = √3 + i

Với k = -1
⇒ z₂ = 2(cos(- ) + isin(- )) = √3 - i

Với k = 1 ⇒ z₃ = 2(cos + isin ) = 2i

Với k = -2
⇒ z₄ = 2(cos(- ) + isin(- )) = -2i

Với k = -3
⇒ z₅ = 2(cos(- ) + isin(- )) = - √3 - i

Với k = 4
⇒ z₆ = 2(cos + isin ) = - √3 + i

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i

Chọn B ..

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng đại số của số phức
• Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
• Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
• Tập hợp điểm biểu diễn số phức
• Tìm max min số phức
• Bài tập số phức tổng hợp

---

---

---