Các dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức chọn lọc, có đáp án

Phần Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức

1. Phương pháp giải

Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:

+ Bất đẳng thức tam giác

• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:

• |z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto

• |z1 + z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0.

• |z1 - z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0.

+ Bất đẳng thức khác

BĐT Cauchy: A2 + B2Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay tìm min

BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max

BĐT Mincopxki:
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay tìm min. Dấu = xảy ra khi Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

BĐT vecto
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay tìm min. Dấu = xảy ra khi Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    B. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

C. z = - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    D. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

Hướng dẫn:

Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z = x - yi

Ta có:

|z + 1 - 5i| = |z + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|

⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ (x + 1)2 +( y -5)2 = ( x + 3)2 + ( y + 1)2

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25
= x2 + 6x+ 9 + y2 + 2y + 1

⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0

⇔ x = 4 - 3y

Ta có modun của số phức z là:

|z| =
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

= Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

Đẳng thức xảy ra khi y = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ⇒ x = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay .

Vậy min|z| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay khi z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn: Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z2 - z 2| - (z2 - z 2).i.[z(1 - i) + z(1 + i)]

A. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + i    B. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i

C. z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i    D. z = 1 + i

Hướng dẫn:

Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .

Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)

Theo giả thiết ta có:

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.

⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇔ (x – 3)2 + y2 = (x - 1)2 + ( y + 2)2

⇔ x2 – 6x + 9 + y2
= x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4

⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0

Số phức liên hợp với số phức z là:

z = x - yi ⇒ z2 - z 2 = 4xy.i
⇒ |z2 - z 2| = 4xy (vì x, y không âm)

z(1 - i) + z(1 + i) = 2x + 2y

Do đó,
P = 16x2y2 + 4xy.(2x+ 2y) = 16x2y2 + 8xy.

Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤ Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay , ta có
P = 16t2 + 8t; t ∈ [0; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ] .

+ Xét hàm số f(t) = 16t2 + 8t liên tục trên [0; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ] .

f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = - Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay (loại)

f(0) = 0; f(Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ) = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hayPhương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay
⇔ t = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ; Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 0 ⇔ t = 0

Khi t = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay ⇒ xy = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay .

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay khi
z = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay + Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay i .

Chọn C.

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?

A. √3    B. 2    C. 2√3    D. 2√2

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z = x - yi

Ta có: w = (z + 3 - i).(z + 1 + 3i)

⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)

⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]

⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i2

⇔ w = x2 +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y2 + 4y – 3)

⇔ w = ( x2 + 4x +3 + y2 – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i

⇔ w = (x2 + y2 + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i

Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0

⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.

⇒ OM ⊥ d

* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .

Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0

Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0

Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :

Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay

⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.

⇒ |z| = Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 2√2

* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
= Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay = 2√2

Chọn D.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z|

1. Phương pháp

|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|

Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8

Cách tìm số phức:

+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 0.    B. 3.    C. 2.    D. 4.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i

Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ

Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. √2     B. 2    C. 1    D. 3

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2    B. √2    C. 2√2    D. √2

Hướng dẫn:

Ta có:

1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2

Chọn đáp án là D

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có:

|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|

⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2

⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác