Các dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức chọn lọc, có đáp án
Phần Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức hay nhất tương ứng.
Các dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức chọn lọc, có đáp án
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
- Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức (cực hay) Xem chi tiết
- Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức Xem chi tiết
- Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1) Xem chi tiết
- Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2) Xem chi tiết
- Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp) Xem chi tiết
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức
1. Phương pháp giải
Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:
+ Bất đẳng thức tam giác
• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:
• |z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto
• |z1 + z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0.
• |z1 - z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0.
+ Bất đẳng thức khác
BĐT Cauchy: A2 + B2 ≥ tìm min
BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max
BĐT Mincopxki:
tìm min. Dấu = xảy ra khi
BĐT vecto
tìm min. Dấu = xảy ra khi
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z− + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A. z = + i B. z = - i
C. z = - + i D. z = - i
Hướng dẫn:
Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z− = x - yi
Ta có:
|z + 1 - 5i| = |z− + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|
⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|
⇔
⇔ (x + 1)2 +( y -5)2 = ( x + 3)2 + ( y + 1)2
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25
= x2 + 6x+ 9 + y2 + 2y + 1
⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0
⇔ x = 4 - 3y
Ta có modun của số phức z là:
|z| =
=
Đẳng thức xảy ra khi y = ⇒ x = .
Vậy min|z| = khi z = + i.
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn:
= 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z2 - z− 2| - (z2 - z− 2).i.[z(1 - i) + z−(1 + i)]
A. z = + i B. z = + i
C. z = + i D. z = 1 + i
Hướng dẫn:
Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .
Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)
Theo giả thiết ta có:
= 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.
⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|
⇔
⇔ (x – 3)2 + y2 = (x - 1)2 + ( y + 2)2
⇔ x2 – 6x + 9 + y2
= x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4
⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0
Số phức liên hợp với số phức z là:
z− = x - yi ⇒ z2 - z− 2 = 4xy.i
⇒ |z2 -
z− 2| = 4xy (vì x, y không âm)
z(1 - i) + z−(1 + i) = 2x + 2y
Do đó,
P = 16x2y2 + 4xy.(2x+ 2y) = 16x2y2 + 8xy.
Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤
=
, ta có
P = 16t2 + 8t; t ∈ [0;
] .
+ Xét hàm số f(t) = 16t2 + 8t liên tục trên [0; ] .
f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = -
(loại)
f(0) = 0; f(
) =
⇒
⇔ t =
;
= 0 ⇔ t = 0
Khi t = ⇒ xy =
Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y = .
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng
khi
z =
+
i .
Chọn C.
Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?
A. √3 B. 2 C. 2√3 D. 2√2
Hướng dẫn:
Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z− = x - yi
Ta có: w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i)
⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)
⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]
⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i2
⇔ w = x2 +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y2 + 4y – 3)
⇔ w = ( x2 + 4x +3 + y2 – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i
⇔ w = (x2 + y2 + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i
Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0
⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.
M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.
⇒ OM ⊥ d
* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .
Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0
Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0
Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :
⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.
⇒ |z| = = 2√2
* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
=
= 2√2
Chọn D.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z|
1. Phương pháp
|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c
Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.
Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:
Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|
Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8
Cách tìm số phức:
+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:
+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.
Lời giải:
Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i
Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ
Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:
A. √2 B. 2 C. 1 D. 3
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.
A. 2 B. √2 C. 2√2 D. √2
Lời giải:
Ta có:
1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2
Chọn đáp án là D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Lời giải:
Ta có:
|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|
⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2
⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y
Chọn đáp án A.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng đại số của số phức
- Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
- Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
- Dạng lượng giác của số phức
- Tập hợp điểm biểu diễn số phức
- Bài tập số phức tổng hợp
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12