Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu (cực hay)

---

---

Bài viết Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu.

Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu (cực hay)

Bài giảng: Cách giải bất phương trình logarit - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

logaf(x) ≤ g(x)
0 < a < 1	logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x) .
a > 1	logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)

0 < a < 1	logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)
a > 1	logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x)

Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u, v ∈ D..

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình sau log₂(4^x+3) > x+2.

Lời giải:

log₂(4^x+3) > x+2 ⇔ 2^log₂(4x+3) > 2^x+2 ⇔ 4^x-4.2^x+3 > 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (-∞;0)∪(log₂3;+∞).

Bài 2: Giải bất phương trình sau log₂⁡(2^x+1)+log₃⁡(4^x+1) ≤ 2

Lời giải:

Đặt f(x)= log₂⁡(2^x+1)+log₃⁡(4^x+1) xác định và liên tục trên R.

nên hàm số đồng biến trên R .

Do đó f(x) ≤ f(0)=2 ⇔ x ≤ 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (-∞;0]

Bài 3: Giải bất phương trình log₃ (2x+1)+x ≤ 2

Lời giải:

Điều kiện x > -1/2.

Đặt f(x)=log₃ (2x+1)+x

Suy ra, hàm số đồng biến trên (-1/2;+∞)

Mặt khác f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1

So điều kiện, suy ra -1/2 < x ≤ 1 ⇒ S=(-1/2;1]

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải bất phương trình log₃(5^x+2)+log₄(3^x+7) ≥ 5 .

Lời giải:

Đặt f(x)=log₃(5^x+2)+log₄(3^x+7) xác định và liên tục trên R.

nên hàm số đồng biến trên R.

Do đó f(x) ≥ f(2)=5 ⇔ x ≥ 2 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2;+ ∞).

Bài 2: Giải bất phương trình log₃(4.3^x-1) > 2x-1

Lời giải:

log₃(4.3^x-1) > 2x-1 ⇔ 4.3^x-1 > 3^2x-1 ⇔ 3²x-4.3^x < 0 ⇔ 0 < 3^x < 4 ⇔ x < log₃4

Bài 3: Giải bất phương trình log_x[log₉(3^x-9)] < 1

Lời giải:

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

log_x[log₉(3^x-9)] < 1 ⇔ log₉(3^x-9) < x ⇔ 3^x-9 < 9^x ⇔ 9^x-3^x+9 > 0 ⇔ x ∈ R

So với điều kiện ta thu được tập nghiệm: (log₂10;+ ∞)

Bài 4: Giải của bất phương trình log_x(log₄(2^x-4)) ≤ 1

Lời giải:

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

log₄(2^x-4) ≤ x ⇔ 2^x-4 ≤ 4^x ⇔ 4^x-2^x+4 ≥ 0 ⇔ x ∈ R

So với điều kiện ta thu được tập nghiệm (2;+ ∞)

Bài 5: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log₂x (x²-5x+6) < 1

Lời giải:

Trường hợp 1: 0 < x < 1/2 : Bất phương trình không có nghiệm nguyên.

Trường hợp 2: x > 1/2.

Bất phương trình tương đương với:

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên.

Bài 6: Giải bất phương trình

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

Bài 7: Giải bất phương trình log₂x+log₃(x+1) < 2.

Lời giải:

Điều kiện x > 0

Ta xét hàm số: y=f(x)=log₂x+log₃(x+1) có đạo hàm

với mọi x ∈ D nên hàm số là hàm đồng biến.

Ta có f(2)=2 nên log₂x+log₃(x+1) < 2 ⇔ x < 2

Kết hợp điều kiện ta có x ∈ (0;2).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bảns
• Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit cơ bản
• Dạng 2: Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Dạng 3: Giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu

---

---

---