Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Bất phương trình logarit

Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo
logaf(x) ≤ g(x)
0 < a < 1 logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x) .
a > 1 logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)
0 < a < 1 logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)
a > 1 logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x)

Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u, v ∈ D..

Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Bài 1: Giải bất phương trình sau log2(4x+3) > x+2.

Hướng dẫn:

log2(4x+3) > x+2 ⇔ 2log2(4x+3) > 2x+2 ⇔ 4x-4.2x+3 > 0.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (-∞;0)∪(log23;+∞).

Bài 2: Giải bất phương trình sau log2⁡(2x+1)+log3⁡(4x+1) ≤ 2

Hướng dẫn:

Đặt f(x)= log2⁡(2x+1)+log3⁡(4x+1) xác định và liên tục trên R.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

nên hàm số đồng biến trên R .

Do đó f(x) ≤ f(0)=2 ⇔ x ≤ 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (-∞;0]

Bài 3: Giải bất phương trình log3 (2x+1)+x ≤ 2

Hướng dẫn:

Điều kiện x > -1/2.

Đặt f(x)=log3 (2x+1)+x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra, hàm số đồng biến trên (-1/2;+∞)

Mặt khác f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1

So điều kiện, suy ra -1/2 < x ≤ 1 ⇒ S=(-1/2;1]

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải bất phương trình log3(5x+2)+log4(3x+7) ≥ 5 .

Đặt f(x)=log3(5x+2)+log4(3x+7) xác định và liên tục trên R.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

nên hàm số đồng biến trên R.

Do đó f(x) ≥ f(2)=5 ⇔ x ≥ 2 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2;+ ∞).

Quảng cáo

Bài 2: Giải bất phương trình log3(4.3x-1) > 2x-1

log3(4.3x-1) > 2x-1 ⇔ 4.3x-1 > 32x-1 ⇔ 32x-4.3x < 0 ⇔ 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34

Bài 3: Giải bất phương trình logx[log9(3x-9)] < 1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

logx[log9(3x-9)] < 1 ⇔ log9(3x-9) < x ⇔ 3x-9 < 9x ⇔ 9x-3x+9 > 0 ⇔ x ∈ R

So với điều kiện ta thu được tập nghiệm: (log210;+ ∞)

Bài 4: Giải của bất phương trình logx(log4(2x-4)) ≤ 1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

log4(2x-4) ≤ x ⇔ 2x-4 ≤ 4x ⇔ 4x-2x+4 ≥ 0 ⇔ x ∈ R

So với điều kiện ta thu được tập nghiệm (2;+ ∞)

Bài 5: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log2x (x2-5x+6) < 1

Trường hợp 1: 0 < x < 1/2 : Bất phương trình không có nghiệm nguyên.

Trường hợp 2: x > 1/2.

Bất phương trình tương đương với:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên.

Bài 6: Giải bất phương trình

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình tương đương với:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 7: Giải bất phương trình log2x+log3(x+1) < 2.

Điều kiện x > 0

Ta xét hàm số: y=f(x)=log2x+log3(x+1) có đạo hàm

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

với mọi x ∈ D nên hàm số là hàm đồng biến.

Ta có f(2)=2 nên log2x+log3(x+1) < 2 ⇔ x < 2

Kết hợp điều kiện ta có x ∈ (0;2).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


bat-phuong-trinh-logarit.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12