Bài toán thực tế lớp 12 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài toán thực tế lớp 12 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số f (x) nếu:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=m$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=m$

Đường thẳng y = m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như hình vẽ dưới đây

Các bước tìm đường tiệm cận ngang:

Bước 1: Tính giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

Bước 2: Xem ở “vị trí” nào ra kết quả hữu hạn thì ta kết luận có tiệm cận ngang ở “vị trí” đó.

2. Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng x = a gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như hình vẽ dưới đây

Các bước tìm đường tiệm cận đứng:

Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu, giả sử nghiệm đó là x = x₀.

Bước 2: Tính giới hạn một bên tại x = x₀.

Nếu xảy ra $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$ thì ta kết luận x = x₀ là đường tiệm cận đứng.

3. Đường tiệm cận xiên

Định nghĩa: Đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)]=0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)]=0$

Đường thẳng $y=ax+b$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như hình bêndưới:

Các bước tìm đường tiệm cận xiên: ta xác định hệ số của a và b trong các trường hợp sau

Bước 1: Tính $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$, $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-ax]$.

Bước 2: Tính $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$, $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }[f\left(x\right)-ax]$.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Giả sử dân số của một huyện miền núi sau t năm kể từ năm 2025 được mô tả bởi hàm số$f\left(t\right)=\frac{9t+8}{t+1},t\ge 0$ (chục nghìn người). Dân số của huyện đó luôn tăng nhưng không vượt quá bao nhiêu chục nghìn người?

Lời giải

Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{9t+8}{t+1}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{9+\frac{8}{t}}{1+\frac{1}{t}}=9$.

Vậy dân số của huyện đó không vượt quá 9 (chục nghìn người).

Bài 2. Trong hình dưới đây, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số y =$55-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+144}$ với x và y tính bằng đơn vị centimét. Chứng minh rằng y = $55-\frac{1}{2}x$ là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.

Lời giải

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[$55-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+144}$ − ($55-\frac{1}{2}x$)] = 0

Tương tự ta cũng có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$[$55-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+144}$ − ($55-\frac{1}{2}x$)] = 0

Do đó y = $55-\frac{1}{2}x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = $55-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+144}$.

Bài 3. Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C(x)=\frac{50x+2000}{x}$. Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).

Bài 4. Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức y(t) = $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$, với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ≥ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn?

Bài 5. Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức $m(v)=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, trong đó m_o là khối lượng nghỉ của hạt, c = 300000 km/s là tốc độ ánh sáng. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt $m(v)=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Từ đó, có nhận xét gì khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đổi như thế nào?

Bài 6. Một bể chứa 5 000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 30 gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ 25 lít/phút.

a) Chứng tỏ nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là $f(t)=\frac{30t}{200+t}$.

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về nồng độ muối trong bể sau thời gian t ngày càng lớn.

Bài 7. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức: $S(x)=200\left(5-\frac{9}{2+x}\right)$, trong đó x ≥ 1.

a) Xem y = S(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [1; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán liên quan thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

---