Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu: $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in K.$

Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K. Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số F (x) + C là một nguyên hàm của f (x) trên K.

+ Nếu G (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$, $\forall x\in K$.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng $F\left(x\right)+C$, với C là một hằng số. Ta gọi $F\left(x\right)+C$, $C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K, kí hiệu: $\int f\left(x\right)\text{d}x$ và viết là: $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$.

Chú ý:

+ Biểu thức f (x) được gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f (x), kí hiệu là dF (x).

Vậy $\text{d}F\left(x\right)=F^{\text{'}}\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)\text{dx}$.

+ Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(x\right)+C.$

2. Tính chất của nguyên hàm

• $\int kf\left(x\right)\text{d}x=k.\int f\left(x\right)\text{d}x,$ với k là hằng số khác 0.

• $\int \left[f\right(x)+g(x\left)\right]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x+\int g\left(x\right)\text{d}x.$

• $\int \left[f\right(x)-g(x\left)\right]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x-\int g\left(x\right)\text{d}x.$

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

$\int 0\text{d}x$$=C.$	$\int 1\text{d}x$$=x+C.$
$\int x^{\alpha }.dx$$=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$, $\alpha \ne -1$	$\int \frac{1}{x}.dx$$=\ln \left|x\right|+C$
$\int e^x.dx$$=e^x+C$	$\int a^x.dx$$=\frac{a^x}{\ln a}+C,(0<a\ne 1)$
$\int \cos x.dx$$=\sin x+C$	$\int \sin x.dx$$=-\cos x+C$
$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\text{d}x$$=-\cot x+C.$	$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x$$=\tan x+C.$

4. Ứng dụng nguyên hàm trong bài toán chuyển động

Bước 1. Xét mối liên hệ giữa các đại lượng

▪ Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc $v\left(t\right)$, quãng đường $s\left(t\right)$ và thời gian

+ Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: $s^{\text{'}}\left(t\right)=v\left(t\right)$.

+ Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường: $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt$.

▪ Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc $v\left(t\right)$, gia tốc $a\left(t\right)$ và thời gian t

+ Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: $v^{\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right)$.

+ Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$.

Bước 2. Dựa vào điều kiện của giả thiết để tìm đại lượng yêu cầu.

Bước 3. Kết luận.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức

v(t) = −9,8t + 19,6 (m/s).

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t.

b) Hỏi sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất.

Lời giải

a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

Khi đó, ta có: h(t) = $\int \left(-9,8t+19,6\right)dt$ = -4,9t² +19,6t + C.

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m tức là tại thời điểm t = 0 thì h = 24,5 hay h(0) = 24,5.

Suy ra C = 24,5.

Vậy công thức tính độ cao h (t) của quả bóng theo thời gian là: h(t) = -4,9t² +19,6t +24,5.

b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0. Ta có: – 4,9t² + 19,6t + 24,5 = 0. Giải phương trình ta được:

t = - l; t = 5. Mà t > 0 nên t = 5. Vậy sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Bài 2. Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 80 m. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đáp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tố độ v(t) = -10t + 30 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phan. Gọi S(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Lập công thức biểu diễm hàm số s(t)

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng lại hẳn là bao nhiêu giây?

c) Quãng đường xe ô tô đã di chuển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe dừng lại hẳn là bao nhiêu mét? Xeo ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật trên đường hay không?

Lời giải

a) Ta đã biết, công thức tính quãng đường s(t) xe ô tô đi được trong t (giây) là một nguyên hàm của hàm v(t). Do $\int \left(-10t+30\right)dt=-5t^2+30t+C$

nên ta có: $s\left(t\right)=-5t^2+30t+C$ với C là hằng số.

Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra $s\left(t\right)=-5t^2+30t$.

b) Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 10t + 30 = 0 hay t= 3.

Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 3 giây.

c) Ta có: tốc độ 72 km/h cũng là tốc độ 20 m/s.

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là:

s(3) = − 5 .3² + 30 . 3 = 45 (m).

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 20 + 45 = 65 (m).

Do 65 < 80 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường. Vì thế, tai nạn đã không xảy ra đối với xe ô tô đó.

Bài 3. Khi được thả từ độ cao 20m, một vật rơi với gia tốc a = 10 m/s². Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Bài 4. Một hòn đá rơi từ móm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị m / s) tại thời điểm t (tính theo giây) được cho bởi công thức v (t) = 9,8t.

Quãng đường rơi được S của hòn đá tại thời điểm t được cho bởi công thức nào? Sau bao nhiêu giây thì hòn đá chạm đến mặt đất?

Bài 5. Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Bài 6. Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức $h^{\text{'}}\left(t\right)=1,5t+5$, trong đó $h\left(t\right)\left(\text{cm}\right)$ là chiều cao của cây khi kết thúc t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Cây con khi được trồng cao 12 cm.

a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm.

b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?

Bài 7. Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số

$B^{\text{'}}\left(t\right)=20t^3-300t^2+1000t,$ trong đó t tính bằng giờ $(0\le t\le 15),B^{\text{'}}\left(t\right)$ tính bằng khách/giờ.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.

a) Viết công thức của hàm số B (t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với $0\le t\le 15$.

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

• Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện

---