Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện

Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là $P\left(A|B\right)$. Nếu $P\left(B\right)>0$ thì $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$.

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, suy ra: nếu $P\left(B\right)>0$ thì $P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)$.

⮚ Chú ý:

• Công thức nhân xác suất: Với hai biến cố A và B bất kì thì

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)$$=P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)$.

• Cho hai biến cố A và B với $P\left(B\right)>0$. Khi đó, ta có: $P\left(A|B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}$.

• Cho hai biến cố A và B với $0<P\left(A\right)<1,0<P\left(B\right)<1$. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P\left(A\right)=P\left(A|B\right)=P\left(A|\overline{B}\right)$ và $P\left(B\right)=P\left(B|A\right)=P\left(B|\overline{A}\right)$.

2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

2.1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với $0<P\left(B\right)<1$, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap \overline{B}\right)$$=P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)$.

2.2. Công thức Bayes

Cho hai biến cố A và B với $P\left(A\right)>0,P\left(B\right)>0$, ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$.

Nhận xét: Với $P\left(A\right)>0,0<P\left(B\right)<1$ thì công thức Bayes còn có dạng

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}$.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Một hộp chứa ba tấm thẻ cùng loại được ghi số lần lượt từ 1 đến 3. Bạn Hà lấy ra một cách ngẫu nhiên một thė từ hộp, bỏ thẻ đó ra ngoài và lại lấy ra một cách ngẫu nhiên thêm một thẻ nữa. Xét các biến cố:

A: "Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1";

B: "Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2";

C: "Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ".

a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

Viết tập hợp các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố A, B, C.

b) Tính xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1.

c) Tính xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2.

d) Gọi D là biến cố "Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lớn hơn 1". Tính $P\left(D\right|A)$ và $P\left(D\right|B)$.

Lời giải

a) Không gian mẫu của phép thử:

$\Omega =\left\{\right(1;2);(1;3);(2;1);(2;3);(3;1);(3;2\left)\right\},$

trong đó $(i;j)$ là kết quả lần thứ nhất lấy được thẻ ghi số i, lần thứ hai lấy được thẻ ghi số j.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $\left\{\right(1;2);(1;3\left)\right\}$.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $\left\{\right(2;1);(2;3\left)\right\}$.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: $\left\{\right(2;1);(3;1);(1;3);(2;3\left)\right\}$.

b) Xác suất cần tìm là $P\left(C\right|A)$. Khi biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là (1; 2) hoặc (1; 3). Trong hai kết quả đồng khả năng này chỉ có kết quả (1; 3) là thuận lợi cho biến cố C.

Vậy xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1 là $P\left(C\right|A)=\frac{1}{2}$

c) Xác suất cần tìm là $P\left(C\right|B)$. Khi biến cố B xảy ra thì kết quả của phép thử là (2; 1) hoặc (2; 3). Cả hai kết quả này đều thuận lợi cho biến cố C.

Vậy xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2 là $P\left(C\right|B)=1$

d) Tính $P\left(D\right|A)$.

Ta thấy khi biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là (1; 2) hoặc (1; 3). Đây đều là các kết quả thuận lợi cho biến cố D. Do đó $P\left(D\right|A)=1$.

Tính $P\left(D\right|B)$

Ta thấy khi biến cố B xảy ra thì kết quả của phép thử là (2; 1) hoặc (2; 3). Trong hai kết quả này thì có một kết quả thuận lợi cho biến cố D. Do đó $P\left(D\right|B)=\frac{1}{2}$.

Bài 2. Câu lạc bộ cờ của nhà trường gồm 35 thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có 25 thành viên biết chơi cờ vua và 20 thành viên biết chơi cờ tướng. Chọn ngẫu nhiên 1 thành viên của câu lạc bộ.

a) Tính xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng.

b) Tính xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua.

Lời giải

a) Gọi A là biến cố "Thành viên được chọn biết chơi cờ tướng" và B là biến cố "Thành viên được chọn biết chơi cờ vua".

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là 20 + 25 - 35 = 10.

Do đó, trong số 20 thành viên biết chơi cờ tướng, có đúng 10 thành viên biết chơi cờ vua.

Vậy nên xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là $P\left(B\right|A)=\frac{10}{20}=0,5$.

b) Gọi A là biến cố "Thành viên được chọn biết chơi cờ vua" và B là biến cố "Thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng".

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cơ là 20 + 25 - 35 = 10.

Do đó, trong số 25 thành viên biết chơi cờ vua có 10 thành viên biết chơi cờ tướng. Suy ra có 15 thành viên không biết chơi cờ tướng.

Vậy xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua là $P\left(B\right|A)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$.

Bài 3. Kết quả khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:

- Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là 80%;

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là 90%;

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách bị chấn thương vùng đầu là 18%.

Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần?

Bài 4. Ở một sân bay, người ta sử dụng một loại máy soi tự động phát hiện hàng cấm trong hành lí kí gửi. Máy phát chuông cảnh báo với 95% các kiện hành lí có chứa hàng cấm và 2% các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là 0,1%.

Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

M: "Kiện hành lí có chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo";

N: "Kiện hành lí không chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo".

Bài 5. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

A: "Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ";

B: "Hai viên bi lấy ra có cùng màu".

Bài 6. Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là 85% đối với sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và 70% đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác.

Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là 30%. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

C: "Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành";

D : "Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành".

Bài 7. Trong một đợt thi chứng chì hành nghề có 160 cán bộ tham gia, trong đó có 84 nam và 76 nữ. Khi công bố kết quả của kì kiểm tra đó, có 59 cán bộ đạt loại giỏi, trong đó có 30 cán bộ nam và 29 cán bộ nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một cán bộ. Tính xác suất để cán bộ được chọn ra đạt loại giỏi, biết rằng cán bộ đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

• Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

---