Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Phương trình mặt phẳng

1.1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $(P)$.

Tính chất: Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì $k\overrightarrow{n}\left(k\ne 0\right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

1.2. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P). Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (P).

1.3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (P) nhận hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right),$ $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương thì (P) nhận vectơ $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array})$ làm vectơ pháp tuyến.

1.4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng $Ax+By+Cz+D=0$, trong đó $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

• Mỗi phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ (trong đó $A,B,C$ không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

• Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là $Ax+By+Cz+D=0$. Khi đó

$M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)\in \left(P\right)\iff A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$.

1.5. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$ hay $Ax+By+Cz+D=0$ với $D=-\left(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0\right)$.

Nhận xét: Phương trình một số mặt phẳng đặc biệt:

• Mặt phẳng $\left(Oxy\right):z=0$.

• Mặt phẳng $\left(Oxz\right):y=0$.

• Mặt phẳng $\left(Oyz\right):x=0$.

• Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: $Ax+By+Cz=0$.

1.6. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, ta thực hiện như sau:

Bước 1. Tìm một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$.

Bước 2. Viết phương trình (P) đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

1.7. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A,B,C$, ta thực hiện như sau:

Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Bước 2. Xác định một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$.

Bước 3. Viết phương trình (P) đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

Nhận xét: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(a;0;0\right)$, $B\left(0;b;0\right)$, $C\left(0;0;c\right)$ với $a,b,c$ đều khác 0. Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $A,B,C$ có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

1.8. Điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

$\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left(Q\right):A^{\text{'}}x+B^{\text{'}}y+C^{\text{'}}z+D^{\text{'}}=0$

có ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=\left(A;B;C\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Khi đó:

• (P) // (Q) $\iff$ Tồn tại số thực $k\ne 0$ sao cho

• (P) $\equiv$ (Q) $\iff$ Tồn tại số thực $k\ne 0$ sao cho

• (P) $\perp$ (Q) $\iff$ ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}\perp {\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}\iff {\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}\cdot {\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}$$=0\iff A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}+C{C}^{\text{'}}=0$.

• (P), (Q) cắt nhau $\iff$ Tồn tại số thực $k\ne 0$ sao cho $\left(A;B;C\right)\ne k\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$.

1.9. Góc và khoảng cách

a) Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

$\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left(Q\right):A^{\text{'}}x+B^{\text{'}}y+C^{\text{'}}z+D^{\text{'}}=0$.

Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q), ta có:

$\cos \phi =\left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},{\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}\right)\right|$$=\frac{|A\cdot A^{\text{'}}+B\cdot B^{\text{'}}+C\cdot C^{\text{'}}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{{A^{\text{'}}}^2+{B^{\text{'}}}^2+{C^{\text{'}}}^2}}\left(0°\le \phi \le 90°\right)$.

b) Khoảng cách

• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$.

Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng (P) là $d\left(M_0,\left(P\right)\right)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Nếu (P) // (Q), ta lấy một điểm A bất kì thuộc (P) thì $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(A,\left(Q\right)\right)$.

• Khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Cho d // (P), với A là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d thì $d\left(d,\left(P\right)\right)=d\left(A,\left(P\right)\right)$.

2. Phương trình đường thẳng trong không gian

2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với d.

Tính chất:

– Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì $k\overrightarrow{u}\left(k\ne 0\right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

– Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A, B thì $\overrightarrow{AB}$ là một vectơ chỉ phương của d.

2.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận$\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng với $t\in ℝ$ (t gọi là tham số).

⮚ Chú ý: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: , mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm M trên d và ngược lại.

2.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$. Nếu $a,b,c$ đều khác 0 thì hệ phương trình $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

2.4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$ và có phương trình tham số là

Nếu $x_A\ne x_B,y_A\ne y_B,z_A\ne z_B$ thì d có phương trình chính tắc $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$.

2.5. Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Gọi ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$và M là một điểm trên ${\Delta }_1$.

Khi đó ta có:

• ${\Delta }_1$ // ${\Delta }_2$

• ${\Delta }_1$ $\equiv$ ${\Delta }_2$

2.6. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

Gọi $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$.

Xét hệ phương trình ẩn t và

Ta có:

• ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

• ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

2.7. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Ta có ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2\iff \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$$\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$.

2.8. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_d=\left(a;b;c\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=\left(A;B;C\right)$.

Trường hợp 1: Khi ${\overrightarrow{u}}_d\cdot {\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=0$ thì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d hoặc d // (P).

Lấy điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)\in d$, ta có:

•

•

Trường hợp 2: Khi ${\overrightarrow{u}}_d\cdot {\overrightarrow{u}}_{\left(P\right)}\ne 0$ thì d cắt mặt phẳng (P) tại I và tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

Đặc biệt: ${\overrightarrow{u}}_d\text{//}{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}\iff {\overrightarrow{u}}_d=k\cdot {\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}\left(k\ne 0\right)$ thì $d\perp \left(P\right)$.

2.9. Góc và khoảng cách

a) Góc giữa hai đường thẳng

Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng thì

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ thì

c) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $∆$ là:

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|\right[\overrightarrow{AM},{\overrightarrow{u}}_{\Delta }\left]\right|}{\left|{\overrightarrow{u}}_{\Delta }\right|}\left(M\in \Delta \right)$.

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Xét đường thẳng và đường thẳng

• Cách 1: $d=d\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\right[{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2]\cdot \overrightarrow{M_1{M}_2}|}{\left|\right[{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\left]\right|}$.

• Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa $d_2$ và song song với $d_1$.

Khi đó và $d=d\left(M_1,\left(P\right)\right)$.

3. Phương trình mặt cầu

3.1. Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu $S\left(I;R\right)$, là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn $IM=R$.

Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu.

⮚ Chú ý: Cho mặt cầu $S\left(I;R\right)$.

• Nếu $IM=R$ thì M nằm trên mặt cầu.

• Nếu $IM<R$ thì M nằm trong mặt cầu.

• Nếu $IM>R$ thì M nằm ngoài mặt cầu.

3.2. Phương trình của mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm $I\left(a;b;c\right)$, bán kính $R\left(R>0\right)$ có phương trình là

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$.

Đặc biệt: Khi $I\equiv O$ thì $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$.

Nhận xét: Phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu nếu thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$. Khi đó $I\left(a;b;c\right)$ là tâm và $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ là bán kính của mặt cầu.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Trên bản thiết kế đồ hoạ 3 D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng $(P):6x+5y+z+2=0$; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm $M(1;1;1)$ và song song với (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q).

Lời giải

Vì (Q) // (P) nên (Q) có vecơo pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(6;5;1)$.

Phương trình mặt phẳng (Q) là: $6(x-1)+5(y-1)+1(z-1)=0$$\iff 6x+5y+z-12=0.$

Bài 2. Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo cùa quả bóng nẳm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của (P) trong không gian Oxyz được mô tả như trong hình vẽ.

Lời giải

Gọi M là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất.

Khi đó $M(3;4;0)$. Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{k}=(0;0;1)$ và $\overrightarrow{OM}=(3;4;0)$ nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(-4;3;0)$.

Phương trình mặt phẳng (P) là $-4x+3y=0$.

Bài 3. Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính $(P),(Q),(R)$ (Hình vẽ) của một toà nhà, biết:

$(P):3x+y-z+2=0$;

(Q): $6x+2y-2z+11=0$;

$(R):x-3y+1=0$.

Bài 4. Khối rubik được gắn vơi hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ (Hình vẽ). Xét bốn điểm $A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2)$ và $D(1;1;1)$.

a) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?

Bài 5. Một nhà kho được vẽ trong hệ tọa độ Oxyx như hình bên, Các bức tường của nhà kho được xây vuông góc với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục là mét.

a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng với hai mái nhà.

b) Tìm tọa độ điểm Q.

c) Tìm tọa độ véctơ $\overrightarrow{PQ}$.

Bài 6. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí $A(3;4;33),$ $D(9;8;35)$ lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?

Bài 7. Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh $O(0;0;0),$ $A(2;0;0),$ $B(2;3;0);$ $C(0;2\sqrt{2};0)$. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

• Bài toán thực tế lớp 12 Xác suất có điều kiện

---