Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán liên quan thực tiễn

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán liên quan thực tiễn có lời giải chương trình mới dùng chung cho ba sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với bài tập đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy các dạng toán thực tế lớp 12.

Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán liên quan thực tiễn

Xem thử

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề, các dạng Toán thực tế lớp 12 chương trình mới bản word trình bày đẹp mắt, chỉnh sửa dễ dàng:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Ta có đạo hàm f' (a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y = f (x) đối với x tại điểm x = a. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế:

• Nếu s = s (t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s' (t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật:

$a\left(t\right)=v^{\text{'}}\left(t\right)=s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)$.

• Nếu $C=C\left(t\right)$ là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t, thì $C^{\text{'}}\left(t\right)$ là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t.

• Nếu $P=P\left(t\right)$ là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì $P^{\text{'}}\left(t\right)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t.

• Nếu $C=C\left(x\right)$ là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời $C^{\text{'}}\left(x\right)$ của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

• Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên $C^{\text{'}}\left(x\right)$ xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x + 1.

2. Một số bài toán tối ưu hoá đơn giản

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí.

Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.

Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:

• Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

• Bước 2: Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng $Q$ sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số $Q=Q\left(x\right)$

• Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q=Q\left(x\right)$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

3. Một số lưu ý về khảo sát các hàm số thường gặp

3.1. Các bước khảo sát hàm số y = f(x)

Để khảo sát hàm số y = f (x) thì ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tại đó y' = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại

• Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và các điểm cực trị của hàm số

• Bước 3: Cho thêm điểm và vẽ đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên

3.2. Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d

a) Trường hợp 1: y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁ và x₂. Khi đó hàm số có hai điểm cực trị là x = x₁ và x = x₂

b) Trường hợp 2: y' = 0 có nghiệm kép x = x₀. Khi đó hàm số không có cực trị

b) Trường hợp 3: y' = 0 vô nghiệm. Khi đó hàm số không có cực trị

Một số lưu ý cần nhớ về hàm số bậc ba:

• Hàm số không có điểm cực trị khi và chỉ khi $b^2-3ac\le 0$ hoặc

• Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

• Liên hệ giữa tổng và tích hạ nghiệm

• Toạ độ tâm đối xứng của đồ thị chính là trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị. Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=0\iff x=-\frac{b}{3a}$

• Tiếp tuyến tại tâm đối xứng sẽ có hệ số góc nhỏ nhất nếu a > 0 và lớn nhất nếu a < 0

3.3. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, $c\ne 0,ad-bc\ne 0$

• Tập xác định $D=ℝ\{-\frac{d}{c}\}$ và có đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}$

• Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

• Tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$; tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$

• Giao với Ox: $y=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$; giao với Oy: $x=0\Rightarrow y=\frac{b}{d}$

• Hình dạng đồ thị được minh hoạ như sau:

3.4. Hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$, $a\ne 0,m\ne 0$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

• Tập xác định $D=ℝ\backslash \{-\frac{n}{m}\}$ và có đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{am.x^2+2an.x+b.n-m.c}{{\left(mx+n\right)}^2}$

• Hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt, không có cực trị khi phương trình y' = 0 vô nghiệm

• Đồ thị nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng

• Hình dạng đồ thị được minh hoạ như sau:

B. BÀI TẬP

Bài 1. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5m/s là $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$ (theo Vật lý Đại Cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là $v=h^{\text{'}}\left(t\right)=24,5-9,8t\left(\text{m}/\text{s}\right)$.

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là $v\left(2\right)=24,5-9,8.2=4,9\left(\text{m}/\text{s}\right)$.

b) Vì h (t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h (t) đạt giá trị lớn nhất tại

$t=-\frac{b}{2a}=\frac{24,5}{2\cdot 4,9}=2,5$ (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là $h\left(2,5\right)=32,625\left(m\right)$.

c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0 , tức là $h=2+24,5t-4,9t^2=0$ hay $t\approx 5,08$ (giây).

Vận tốc của vật lúc chạm đât là $v(\left(5,08\right)24,5-9,8\cdot 5,08=-25,284\left(\text{m}/\text{s}\right)$.

Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).

Bài 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số $P\left(t\right)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$, trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Lời giải

Ta có: $P^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{0,75a{\text{e}}^{-0,75t}}{{\left(b+{\text{e}}^{-0,75t}\right)}^2},t\ge 0$.

Theo đề bài, ta có: P (0) = 20 và P' (0) = 12.

Do đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và $b=\frac{1}{4}$.

Khi đó, $P^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{18,75{\text{e}}^{-0,75t}}{{\left(\frac{1}{4}+{\text{e}}^{-0,75t}\right)}^2}>0,\forall t\ge 0$, tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do $\underset{t\to +\infty }{\lim }P\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{25}{\frac{1}{4}+{\text{e}}^{-0.75t}}=100$ nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

Bài 3. Giả sử chi phí C (x) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số $C\left(x\right)=30000+300x-2,5x^2+0,125x^3$.

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C' (200) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh C' (200) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.

Bài 4. Để loại bỏ x% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là $C\left(x\right)=\frac{300x}{100-x}\text{,}0\le x<100$ (triệu đồng). Khảo sát sự biến thiêncủa hàm số $y=C\left(x\right)$. Từ đó, hãy cho biết:

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi x tăng?

b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Bài 5. Xét phản ứng hoá học tạo ra chất C từ hai chất A và B: $A+B\to C$. Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: $\left[C\right]=\frac{a^{2}Kt}{aKt+1}$ (mol/l) trong đó K là hằng số dương.

a) Tìm tốc độ phản ứng tại thời điểm t > 0.

b) Chứng minh nếu x = [C] thì $x^{\text{'}}\left(t\right)=K{\left(a-x\right)}^2$

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi $t\to +\infty$

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi $t\to +\infty$

Bài 6. Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số $Q\left(t\right)=2t^2+t$, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C)Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

Bài 7. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=-t^3+6t^2+t+5$ trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề Toán thực tế lớp 12 chương trình mới có lời giải hay khác:

• Bài toán thực tế lớp 12 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Bài toán thực tế lớp 12 Vectơ và tọa độ của vectơ trong không gian

• Bài toán thực tế lớp 12 Thống kê

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng nguyên hàm giải bài toán thực tiễn

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng tích phân giải bài toán thực tiễn liên quan đến Vật lí

• Bài toán thực tế lớp 12 Ứng dụng hình học của tích phân

---