13 Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: C

Thay điểm O(0; 0) vào từng đáp án ta có :

Đáp án A, B sai vì 0 + 3.0 – 6 < 0 không thỏa mãn bất phương trình x + 3y – 6 > 0.

Đáp án D sai vì 2.0 + 0 + 4 > 0 không thỏa mãn bất phương trình 2x + y + 4 < 0.

Đáp án C 0 + 3.0 – 6 < 0 thỏa mãn, 2.0 + 0 + 4 > 0 thỏa mãn

Vậy đáp án đúng là C

Đáp án đúng là: B

Xét đáp A: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}0+3.1-2>0\\ 2.0+1+1>0\end{array}\right.$ không thỏa mãn hệ bất phương trình.

Xét đáp án B: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}-1+3.1-2=0\\ 2.(-1)+1+1=0\end{array}\right.$ thỏa mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án C: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}1+3.3-2>0\\ 2.1+3+1>0\end{array}\right.$ không thỏa mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án D: Thay toạ độ từ đáp án vào hệ bất phương trình ta có $\left\{\begin{array}{l}-1+3.0-2<0\\ 2.(-1)+3+1>0\end{array}\right.$ không thỏa mãn hệ bất phương trình

Vậy đáp án đúng là B

Đáp án Đúng là: A

Ta tìm miền nghiệm xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  0 – 2.0 =  0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc nềm nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 2), C(2; 3).

Ta tính giá trị của F(x; y) = y – x tại các giao điểm:

Tính F(x; y) = y – x suy ra F(1; 4) = 4 – 1 = 3.

Tính F(x; y) = y – x suy ra F(0; 2) = 2 – 0 = 2.

Tính F(x; y) = y – x suy ra F(2; 3) = 3 – 2 = 1.

Vậy min F(x; y) = 1 khi x = 2, y = 3.

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A ta có: $\left\{\begin{array}{c}0+0-2<0\\ 2.0-3.0+2>0\end{array}\right.$đáp án A thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án B ta có : $\left\{\begin{array}{c}1+1-2=0\\ 2.1-3.1+2>0\end{array}\right.$đáp án B thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án C ta có : $\left\{\begin{array}{c}-1+1-2<0\\ 2.(-1)-3.1+2<0\end{array}\right.$đáp án C không  thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án D ta có : $\left\{\begin{array}{c}-1+(-1)-2<0\\ 2.(-1)-3.(-1)+2>0\end{array}\right.$đáp án D  thoả mãn hệ bất phương trình

Vậy đáp án đúng là C

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + 3y = 5

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 5. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{3}{2}y=5$.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<5$, thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<5$. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có $S_1\subset S_2$; S₁ = S; S_{2 ≠}S. Vậy $S_1\subset S_2$.

Đáp án đúng là: A

Giả sử đường thẳng d có phương trình d: y = ax + b

Dễ thấy đường thẳng d đi qua hai điểm (0; 3) và (2; 0). Ta có hệ

 $\left\{\begin{array}{l}3=a.0+b\\ 0=a.2+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=3\end{array}\right.$.

Vậy phương trình đường thẳng d: y = $-\frac{3}{2}$x + 3 ⇔ 3x +2y = 6

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 2.0 = 0 < 6. Mà điểm O(0; 0)  thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy bất phương trình có dạng 3x + 2y < 6.

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành: y > 0

Vậy phần không bị gạch trong hình vẽ biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right.$

Đáp án đúng là: C

Vẽ đường thẳng d₁: x – y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1=  – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0)  thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

x 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A(4; 3), B(2; 4), C(0; 4), O(0; 0), E(1; 0).

Nhận thấy biểu thức F(x; y) = x + 2y chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm A, B, C, O; E.

F(x; y) = x + 2y suy ra F(4; 3)  = 4 + 2.3 = 10;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(0; 4) = 0 + 2.4 = 8;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(2; 4) = 2 + 2.4 = 10;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(1; 0) = 1 + 2.0 = 1;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(0; 0) = 0 + 2.0 = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y bằng 10.

Đáp án đúng là: A

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 5\\ x\ge 0\\ x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}\right.$ trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d₁:  x + y – 2 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 2=  – 2 < 0. Không thoả mãn bất phương trình x + y – 2 ≥ 0. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ và không chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₂: x –  y – 2 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; – 2) và (2; 0).

Xét điểm O(0; 0)  thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 2 = – 2 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 2 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d₃: y = 5.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 5. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 5. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y 0 có miền nghiệm là nử mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là tứ giác ABCD với A(7; 5); B(0; 5); C(0; 2); D(2; 0).

Nhận thấy biểu thức F(x; y) = x – 2y chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B, C, D.

Ta có:

F(x; y) = x – 2y suy ra F(7; 5) = 7 – 2.5 = – 3.

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 5) = 0 – 2.5 = – 10;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 2) = 0 – 2.2 = – 4;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(2; 0) = 2 – 2.0 = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = x – 2y bằng – 10.

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.(-1)+3.4-1>0\\ 5.(-1)-4+4<0\end{array}\right.$ đáp án A thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án B ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.(-2)+3.4-1>0\\ 5.(-2)-4+4<0\end{array}\right.$ đáp án B thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án C ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.0+3.0-1<0\\ 5.0-0+4>0\end{array}\right.$ đáp án C không  thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án D ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.(-3)+3.4-1<0\\ 5.(-3)-4+4<0\end{array}\right.$ đáp án D  thoả mãn hệ bất phương trình

Vậy đáp án đúng là C

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.0-5.0-1<0\\ \begin{array}{l}2.0+0+5>0\\ 0+0+1>0\end{array}\end{array}\right.$ đáp án A không thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án B ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.1-5.0-1>0\\ \begin{array}{l}2.1+0+5>0\\ 1+0+1>0\end{array}\end{array}\right.$ đáp án B không thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án C ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.0-5.(-2)-1>0\\ \begin{array}{l}2.0+(-2)+5>0\\ 0+(-2)+1<0\end{array}\end{array}\right.$ đáp án C  thoả mãn hệ bất phương trình

Xét đáp án D ta có: $\left\{\begin{array}{c}2.0-5.2-1<0\\ \begin{array}{l}2.0+2+5>0\\ 0+2+1>0\end{array}\end{array}\right.$ đáp án D  không thoả mãn hệ bất phương trình

Vậy đáp án đúng là C

a) Đúng. Hệ đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Thay (-2; 8) vào hệ bất phương trình ta được:

$\left\{\begin{array}{c}-2+2.8\le 30\\ 8>5\\ -2.(-2)+6.8>40\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}14\le 30\\ 8>5\\ 52>40\end{array}\right.$(đúng).

Vậy (-2; 8) là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

c) d) Sai. Tương tự, ta thay các cặp số (3; 1) và (-2; -1) vào hệ bất phương trình ta thấy không thỏa mãn, vậy đây không phải là các nghiệm của hệ bất phương trình.

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x, y nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}3x+2y\le 180\\ x+6y\le 220\\ x>0\\ y>0\end{array}\right.$.

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5x + 0,4y (triệu đồng).

Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C. Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại A (60, 0) thì T = 30 triệu đồng.

Tại B (30; 40) thì T = 32 triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.

Đáp án: 32.

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế ( x ≥ 0; y ≥ 0).

Để pha chế  lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x g hương liệu.

Để pha chế y lít nước táo cần 10y g đường, x lít nước và 4y g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}30x+10y\le 210\\ x+y\le 9\\ x+4y\le 24\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}\right.\left(*\right)$.

Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là M (x; y) = 60x + 80y. Bài toán trở thành tìm x, y để M (x, y) đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Miền nghiệm là ngũ giác ABCD.

Tọa độ các điểm: A (4; 5), B (6; 3), C (7; 0), D (0; 0), E (0; 6).

M (x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức M (x; y) ta được:

M (4; 5) = 640; M (6; 3) = 600; M (7; 0) = 420; M (0; 0) = 0;  M (0; 6) = 480.

Vậy giá trị lớn nhất của M (x, y) bằng 640 khi x = 4; y = 5 ⇒ a = 4; b = 5 ⇒ a - b = -1

Đáp án: −1.