18 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$

Vậy

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Mà theo giả thiết , suy ra $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-1\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^0.$

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Đáp án đúng là: B

Ta có:$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=0\iff \frac{2}{5}{\overrightarrow{a}}^2-\frac{13}{5}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^2=0$

Suy ra

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ nên đáp án sai rơi vào C hoặc D.

Ta có:

$={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

- A đúng, vì:

- B đúng, vì

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={120}^0$(do tam giác ABC là tam giác đều nên góc $\hat{B}=60°$, do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120^o).

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}.$

Đáp án đúng là: C

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0.$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}$$\Rightarrow$A đúng

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow$B đúng.

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$ là góc $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)={120}^0.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$.a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$= $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^0=-\frac{a^2}{6}\Rightarrow$C sai.

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là góc $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^0=\frac{a^2}{2}\Rightarrow$D đúng.

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$(vì tam giác ABC đều nên góc A = 60^o, do đó góc ngoài của góc A bằng 120^o).

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}.$

+) A đúng vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0;$

+) B đúng vì AH chính là tia phân giác nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HA}\right)={150}^0;$

+) C đúng vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={135}^0.$(Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra góc $\widehat{ABC}$= ${45}^0$)

Độ dài BC là:$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$\iff$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$

$\iff$$BC=a\sqrt{2}$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a\sqrt{2}.cos{135}^0=-a^2.$

Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên suy ra $AB\perp CA$$\Rightarrow$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$ = 0

Đáp án đúng là: B

Áp dung định lý Py – ta – go ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{c^2+b^2}$

Cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Lại có: cos B chính là cos $\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)$

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=BA.BC.cos\hat{B}=c.\sqrt{b^2+c^2}.\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=c^2.$

Đáp án đúng là: A

Ta có:$P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right).$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)={\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2=A{C}^2-A{B}^2=b^2-c^2.$

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$

Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có:$\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AB}=0\iff \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=0$

$\iff {\overrightarrow{OB}}^2-{\overrightarrow{OA}}^2=0\iff O{B}^2-O{A}^2=0\iff OB=OA.$

Do đó, tam giác OAB cân tại O.

a) Sai. Ta có $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$$\Rightarrow \overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp BC$, suy ra $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)$$=\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^2-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{BC}}^2$

$=\frac{1}{4}\cdot {\left(4a\right)}^2-\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot {\left(3a\right)}^2=a^2.$ ($BC=AD=3a$).

Ta có .

$=3^2-4\cdot \left(-3\right)+4\cdot 2^2=37$

.

Đáp án: 6,1.

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB=\frac{AC}{\tan B}=\frac{2}{\tan 30°}=2\sqrt{3}.$

Suy ra $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$$=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4$

$P=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(-AB\cdot BC\cdot \cos B+AC\cdot BC\cdot \cos C\right)$$=\frac{1}{4}\left(-2\sqrt{3}\cdot 4\cdot \cos 30°+2\cdot 4\cdot \cos 60°\right)=-2.$

Đáp án: −2.