Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Hàm lũy thừa:

1.1. Định nghĩa: Hàm số y = xa với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = xα là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0.

    • D = (0;+∞) với α không nguyên.

1.3. Đạo hàm: Hàm số y = xα, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = α.x(α-1).

1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞).

y = xα, α > 0 y = xα, α < 0
A. Tập khảo sát: (0; +∞) A. Tập khảo sát: (0; +∞)

B. Sự biến thiên:

    + y'=αx(α-1) > 0,∀ x > 0.

    + Giới hạn đặc biệt:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    + Tiệm cận: không có

B. Sự biến thiên:

    + y'=αx(α-1) < 0, ∀ x > 0.

    + Giới hạn đặc biệt:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    + Tiệm cận:

        - Trục Ox là tiệm cận ngang.

        - Trục Oy là tiệm cận đứng.

C. Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

C. Bảng biến thiên:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

D. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1).

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Hàm số mũ: y = ax,(a > 0, a ≠ 1).

2.1. Tập xác định: D = R

2.2. Tập giá trị: T = (0,+∞), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0.

2.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

2.4. Đạo hàm:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

3. Hàm số logarit: y = logax,(a > 0,a ≠ 1)

3.1. Tập xác định: D = (0, +∞).

3.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = logax thì t không có điều kiện.

3.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì y=logax đồng biến trên D, khi đó nếu: logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì y=logax nghịch biến trên D, khi đó nếu logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g(x).

3.4. Đạo hàm:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1)

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = log2(x3-4x)

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vẽ bảng biến thiên, khi đó hàm số có 1 cực trị

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = log2(x2-2x+3) trên đoạn [-1;2]

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x-ln(1+x)

TXĐ: D=(-1;+∞).

Đạo hàm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;0) và đồng biến trên (0;+∞).

Bài 2: Tính giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = xex.

Hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có y' = ex + xex = ex → y'=0 ⇔ 1+x=0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = -1/e.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x)=ex3-3x+3 trên đoạn [0;2]

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Tìm tập giá trị T của hàm số f(x)=(lnx)/x với x ∈ [1;e2 ].

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [1;e2].

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hàm số y = eax2+bx+c đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. Tính giá trị của hàm số tại x=2.

+ Cắt Oy tại y=e nên c=1.

+ y'=(ax+b) eax2+bx+c . Mà y'(1)=0 ⇔2a+b=0

+ Khi đó y(2) = e4a+2b+c = e.

Bài 6: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (3x2+2m)5 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn [2;3].

Ta có y' = 30x(3x2+2m)4 ≥ 0, ∀ x ∈ [2;3] ⇒ Hàm số đạt GTLN tại x = 3

⇒ y(3) = 32 ⇔ (27+2m)5 = 32 ⇔ m = -25/2

Bài 7: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = 4x-2x+2-mx+1 đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Ta có y = 4x-2x+2-mx+1 ⇒ y'=4x.ln4-4.2x.ln2-m=(4x-2.2x ).ln4-m

Theo đề y' ≥ 0,∀x ∈ (-1;1) ⇔(4x-2.2x ).ln4-m ≥ 0, ∀ x ∈ (-1;1)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác