Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Bài viết Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit.
Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Bài giảng: Các bài toán thực tế - Ứng dụng hàm số mũ và logarit - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Hàm lũy thừa:
1.1. Định nghĩa: Hàm số y = xa với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.
1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = xα là:
• D = R nếu α là số nguyên dương.
• D = R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0.
• D = (0;+∞) với α không nguyên.
1.3. Đạo hàm: Hàm số y = xα, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = α.x(α-1).
1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞).
y = xα, α > 0 | y = xα, α < 0 |
A. Tập khảo sát: (0; +∞) | A. Tập khảo sát: (0; +∞) |
B. Sự biến thiên: + y'=αx(α-1) > 0,∀ x > 0. + Giới hạn đặc biệt: + Tiệm cận: không có |
B. Sự biến thiên: + y'=αx(α-1) < 0, ∀ x > 0. + Giới hạn đặc biệt: + Tiệm cận: - Trục Ox là tiệm cận ngang. - Trục Oy là tiệm cận đứng. |
C. Bảng biến thiên: |
C. Bảng biến thiên: |
D. Đồ thị:
Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1).
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ.
2. Hàm số mũ: y = ax,(a > 0, a ≠ 1).
2.1. Tập xác định: D = R
2.2. Tập giá trị: T = (0,+∞), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0.
2.3. Tính đơn điệu:
+ Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
+ Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).
2.4. Đạo hàm:
2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
3. Hàm số logarit: y = logax,(a > 0,a ≠ 1)
3.1. Tập xác định: D = (0, +∞).
3.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = logax thì t không có điều kiện.
3.3. Tính đơn điệu:
+ Khi a > 1 thì y=logax đồng biến trên D, khi đó nếu: logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x).
+ Khi 0 < a < 1 thì y=logax nghịch biến trên D, khi đó nếu logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g(x).
3.4. Đạo hàm:
3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải:
Ta có bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞)
Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = log2(x3-4x)
Lời giải:
Vẽ bảng biến thiên, khi đó hàm số có 1 cực trị
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = log2(x2-2x+3) trên đoạn [-1;2]
Lời giải:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x-ln(1+x)
Lời giải:
TXĐ: D=(-1;+∞).
Đạo hàm
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;0) và đồng biến trên (0;+∞).
Bài 2: Tính giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = xex.
Lời giải:
Hàm số xác định và liên tục trên R.
Ta có y' = ex + xex = ex → y'=0 ⇔ 1+x=0 ⇔ x = -1.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = -1/e.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x)=ex3-3x+3 trên đoạn [0;2]
Lời giải:
Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].
Bài 4: Tìm tập giá trị T của hàm số f(x)=(lnx)/x với x ∈ [1;e2 ].
Lời giải:
Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [1;e2].
Bài 5: Cho hàm số y = eax2+bx+c đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. Tính giá trị của hàm số tại x=2.
Lời giải:
+ Cắt Oy tại y=e nên c=1.
+ y'=(ax+b) eax2+bx+c . Mà y'(1)=0 ⇔2a+b=0
+ Khi đó y(2) = e4a+2b+c = e.
Bài 6: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (3x2+2m)5 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn [2;3].
Lời giải:
Ta có y' = 30x(3x2+2m)4 ≥ 0, ∀ x ∈ [2;3] ⇒ Hàm số đạt GTLN tại x = 3
⇒ y(3) = 32 ⇔ (27+2m)5 = 32 ⇔ m = -25/2
Bài 7: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = 4x-2x+2-mx+1 đồng biến trên khoảng (-1; 1).
Lời giải:
Ta có y = 4x-2x+2-mx+1 ⇒ y'=4x.ln4-4.2x.ln2-m=(4x-2.2x ).ln4-m
Theo đề y' ≥ 0,∀x ∈ (-1;1) ⇔(4x-2.2x ).ln4-m ≥ 0, ∀ x ∈ (-1;1)
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho a, b là 2 số thực khác 0 biết . Tính tỉ số .
Bài 2. Rút gọn biểu thức P = với n dấu căn và x là số thực dương.
Bài 3. Tìm x để biểu thức P(x) = có nghĩa.
Bài 4. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = xác định với mọi x ∈ ℝ.
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số y = .
Bài giảng: Tất tần tật về Lũy thừa - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
- Trắc nghiệm lũy thừa
- Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
- Trắc nghiệm Lôgarit
- Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
- Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
- Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
- Dạng 5: Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
- Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12