Công thức nguyên hàm - Toán lớp 12

Công thức nguyên hàm

Quảng cáo

I. Định nghĩa, công thức Nguyên hàm

1. Định nghĩa

    Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

    Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.

Định lí 1:

    1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

    2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm

    • (∫ f(x)dx)' = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.

    • Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).

    • ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.

    • ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

    Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12 Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12

II. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Quảng cáo

1. Phương pháp đổi biến

1.1. Đổi biến dạng 1

    a. Định nghĩa.

    Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:

f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

    b. Phương pháp giải

    Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

    Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

    Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

    Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

1.2. Phương pháp đổi biến loại 2

    a. Định nghĩa:

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có:

f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt

    b. Phương pháp chung

    Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

    Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

    Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

    Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

    c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

    a. Định lí

    Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u'(x)dx

    Hay ∫udv = uv - ∫vdu

    (với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)

    b. Phương pháp chung

    Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx

    Bước 2: Đặt: Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12

    Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v - ∫v.du

    c. Các dạng thường gặp

    Dạng 1

Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12

    Dạng 2

Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12

    Dạng 3

Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12

    Bằng phương pháp tương tự ta tính được Công thức nguyên hàm | Toán lớp 12 sau đó thay vào I.

Quảng cáo

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12