Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (cực hay)

Bài viết Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (cực hay)

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Cho I = ∫f(x).g(x)dx trong đó f(x) là đa thức và g(x) là biểu thức lượng giác.

Ta đặt u = f(x) và v’ = g(x).

Sau đó áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 - x)cosxdx

A. (1 + x)cosx - sinx + C.

B. (1 - x)sinx - cosx + C.

C. (1 - x)cosx + sinx + C.

D. (1 - x)cosx - cosx + C.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x - 2).sin²x

Lời giải

Ta có: 2(x - 2).sin²x = (x - 2).(1 - cos2x) vì (cos2x = 1- 2sin²x)

Chọn A.

Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx

Lời giải

Ta có: (2x - 2).sinx.cosx = (x - 1).2sinx.cosx = (x - 1).sin2x

⇒ I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx = ∫(x - 1)sin2xdx

Chọn D.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. -x.cotx + ln|sinx| + C.

B. x.cotx + ln|sinx| + C.

C. x.cosx + ln|sinx| + C.

D. x.cotx - ln|sinx| + C.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin²x + sin³x + ...)dx.

Lời giải

Ta có: 1 + sinx + sin²x + sin³x + ... là tổng của cấp số nhân với u_n = sinⁿx

Vì |sinx| ≤ 1 nên áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được:

Chọn D.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x² - 100)sinxdx

A. I = -(x² - 100).sinx + 2xsinx - 2cosx + C.

B. I = (x² - 100).cosx - 2xsinx + cosx + C.

C. I = -(x² - 100).cosx + 2xsinx + 2cosx + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos²xdx

Lời giải

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx

A. F(x) = (x + 1)cosx + sinx + c.

B. F(x) = -(x + 1)cosx + sinx + c.

C. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.

D. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.

Lời giải:

Ta có:

Chọn B.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin²x - cos²x)

Lời giải:

Ta có: (x + 3).(sin²x – cos²x) = (x + 3).(-cos2x) vì (cos2x = cos²x - sin²x)

Chọn A.

Câu 3: Tính:

A. (x + 1).cosx + 2sin2x + C.

B. 2(x + 1).sinx + 2cosx + C.

C. (x + 1).cosx + 2cosx + C.

D. -(x + 1).cosx + 2sinx + C.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. (2x + 1).tanx + 2.ln|cosx| + C.

B. (2x + 1).cotx + 2.ln|cosx| + C.

C. (2x + 1).sinx + 2.ln|sinx| + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:

Lời giải:

Chọn D.

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số bằng:

Lời giải:

Chọn B.

Câu 8: Tìm

Lời giải:

Chọn C.

Câu 9: Tính . Chọn kết quả đúng.

Lời giải:

Chọn A.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---