Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (cực hay)
Bài viết Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (cực hay)
Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải
1. Định lí
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.
2. Cách đặt
Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx
* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”
Cho I = ∫f(x).g(x)dx trong đó f(x) là đa thức và g(x) là biểu thức lượng giác.
Ta đặt u = f(x) và v’ = g(x).
Sau đó áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 - x)cosxdx
A. (1 + x)cosx - sinx + C.
B. (1 - x)sinx - cosx + C.
C. (1 - x)cosx + sinx + C.
D. (1 - x)cosx - cosx + C.
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x - 2).sin2x
Lời giải
Ta có: 2(x - 2).sin2x = (x - 2).(1 - cos2x) vì (cos2x = 1- 2sin2x)
Chọn A.
Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx
Lời giải
Ta có: (2x - 2).sinx.cosx = (x - 1).2sinx.cosx = (x - 1).sin2x
⇒ I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx = ∫(x - 1)sin2xdx
Chọn D.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
A. -x.cotx + ln|sinx| + C.
B. x.cotx + ln|sinx| + C.
C. x.cosx + ln|sinx| + C.
D. x.cotx - ln|sinx| + C.
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin2x + sin3x + ...)dx.
Lời giải
Ta có: 1 + sinx + sin2x + sin3x + ... là tổng của cấp số nhân với un = sinnx
Vì |sinx| ≤ 1 nên áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được:
Chọn D.
Ví dụ 8. Tính I = ∫(x2 - 100)sinxdx
A. I = -(x2 - 100).sinx + 2xsinx - 2cosx + C.
B. I = (x2 - 100).cosx - 2xsinx + cosx + C.
C. I = -(x2 - 100).cosx + 2xsinx + 2cosx + C.
D. Tất cả sai.
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos2xdx
Lời giải
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx
A. F(x) = (x + 1)cosx + sinx + c.
B. F(x) = -(x + 1)cosx + sinx + c.
C. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.
D. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.
Lời giải:
Ta có:
Chọn B.
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin2x - cos2x)
Lời giải:
Ta có: (x + 3).(sin2x – cos2x) = (x + 3).(-cos2x) vì (cos2x = cos2x - sin2x)
Chọn A.
Câu 3: Tính:
A. (x + 1).cosx + 2sin2x + C.
B. 2(x + 1).sinx + 2cosx + C.
C. (x + 1).cosx + 2cosx + C.
D. -(x + 1).cosx + 2sinx + C.
Lời giải:
Chọn D.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
A. (2x + 1).tanx + 2.ln|cosx| + C.
B. (2x + 1).cotx + 2.ln|cosx| + C.
C. (2x + 1).sinx + 2.ln|sinx| + C.
D. Đáp án khác.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 5: Tính
Lời giải:
Chọn A.
Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:
Lời giải:
Chọn D.
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số bằng:
Lời giải:
Chọn B.
Câu 8: Tìm
Lời giải:
Chọn C.
Câu 9: Tính . Chọn kết quả đúng.
Lời giải:
Chọn A.
Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
- Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
- Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
- Nguyên hàm của hàm số lượng giác
- Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
- Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
- Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
- Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
- Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
- Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12