Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần - Toán lớp 12

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)exdx.

A. (x - 1)ex + ex + C.

B. xex - ex + C.

C. xex + C.

D. (x - 2)ex + C.

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 4. Tìm I = ∫(3x2 - x + 1)exdx.

A. I = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

B. I = (3x2 - 7x)ex + C.

C. I = (3x2 - 7x + 8) + ex + C.

D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C.

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx

⇒ du = (6x - 1)dx và v = ex. Do đó:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

Đặt u1 = 6x - 1 và dv1 = exdx ta có du1 = 6dx và v1 = ex. Do đó:

∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12 bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.ex có các nguyên hàm là:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có: ∫x.exdx = ∫xd(ex) = x.ex - ∫exdx = x.ex - ex + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x2(3.lnx + 1).

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 9. Họ nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12 qua phép đặt t = √x là:

A. F(t) = 2tln2t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln2t + 4t + C.

C. 2tlnt2 + 4t + C.

D. 2tlnt2 - 4t + C.

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2tlnt2 - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Ví dụ 10. Họ nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12 là:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)exdx

A. ex(2 - 3x) + C.

B. ex(3 - 3x) + C.

C. ex(3 - 2x) + C.

D. ex(2 + 3x) + C.

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e2x.

A. ∫f'(x)e2xdx = -x2 + 2x + C.

B. ∫f'(x)e2xdx = -x2 + x + C.

C. ∫f'(x)e2xdx = 2x2 - 2x + C.

D. ∫f'(x)e2xdx = -2x2 + 2x + C.

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ F'(x) = f(x).e2x ⇔ (x2)' = f(x).e2x ⇔ 2x = f(x).e2x (1)

Đặt A = ∫f'(x).e2xdx.

Đặt u = e2x ⇒ du = 2.e2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e2x.f(x) - 2∫f(x).e2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x2 + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. Cho F(x) = (x - 1).ex là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x).e2x.

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 15. Cho Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12 là một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e-xdx

A. -e-x(2x - 1) + C.

B. -e-x(2x + 1) + C.

C. -e-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2xdx bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x2 - 1)ex

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).exdx = f(x).ex - f'(x).ex + f''(x).ex - ... + f(k).ex + C.

∫(x2 - 1)exdx = (x2 - 1)ex - 2xex + 2ex + C = (x2 - 2x + 1).ex + C.

Chọn A.

Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x2 + 1)lnx

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x3.ex2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng:

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 12: Cho Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12 là một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác