Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (cực hay)

Bài viết Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (cực hay)

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)e^xdx.

A. (x - 1)e^x + e^x + C.

B. xe^x - e^x + C.

C. xe^x + C.

D. (x - 2)e^x + C.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tìm I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx.

A. I = (3x² - 7x + 8)e^x + C.

B. I = (3x² - 7x)e^x + C.

C. I = (3x² - 7x + 8) + e^x + C.

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C.

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx

⇒ du = (6x - 1)dx và v = e^x. Do đó:

I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1 và dv₁ = e^xdx ta có du₁ = 6dx và v₁ = e^x. Do đó:

∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số bằng:

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 6. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số:

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.e^x có các nguyên hàm là:

Lời giải

Ta có: ∫x.e^xdx = ∫xd(e^x) = x.e^x - ∫e^xdx = x.e^x - e^x + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x²(3.lnx + 1).

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9. Họ nguyên hàm của hàm số qua phép đặt t = √x là:

A. F(t) = 2tln²t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln²t + 4t + C.

C. 2tlnt² + 4t + C.

D. 2tlnt² - 4t + C.

Lời giải

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2tlnt² - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Ví dụ 10. Họ nguyên hàm của hàm số là:

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)e^xdx

A. e^x(2 - 3x) + C.

B. e^x(3 - 3x) + C.

C. e^x(3 - 2x) + C.

D. e^x(2 + 3x) + C.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho F(x) = x² là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x.

A. ∫f'(x)e^2xdx = -x² + 2x + C.

B. ∫f'(x)e^2xdx = -x² + x + C.

C. ∫f'(x)e^2xdx = 2x² - 2x + C.

D. ∫f'(x)e^2xdx = -2x² + 2x + C.

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ F'(x) = f(x).e^2x ⇔ (x²)' = f(x).e^2x ⇔ 2x = f(x).e^2x (1)

Đặt A = ∫f'(x).e^2xdx.

Đặt u = e^2x ⇒ du = 2.e^2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e^2x.f(x) - 2∫f(x).e^2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x² + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. Cho F(x) = (x - 1).e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x).e^2x.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 15. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Lời giải

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e^-xdx

A. -e^-x(2x - 1) + C.

B. -e^-x(2x + 1) + C.

C. -e^-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2^xdx bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

Lời giải:

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

Lời giải:

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x² - 1)e^x

Lời giải:

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).e^xdx = f(x).e^x - f'(x).e^x + f''(x).e^x - ... + f^(k).e^x + C.

∫(x² - 1)e^xdx = (x² - 1)e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x² - 2x + 1).e^x + C.

Chọn A.

Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x² + 1)lnx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

Lời giải:

Chọn C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x³.e^x2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Lời giải:

Chọn A.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---