Nguyên hàm của hàm số lượng giác - Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?

A. 7sinx + C.

B. 7cosx + C.

C. –7cosx + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.

Chọn C.

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:

A. –6cosx - 8sinx + C.

B. 6cosx + 8sinx + C.

C. –6cosx + 8sinx + C.

D. 6cosx - 8sinx + C.

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx

A. 8cosx - 8sinx.

B. -8cosx - 8sinx.

C. 8cosx + 8sinx.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx

Chọn B.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

A. tanx + cotx + C.

B. tanx - cotx + C.

C. – tanx + cotx + C.

D. – cotx - tanx + C.

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có lne = 1 nên nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = sin2x – cos3x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?

A. –4.     B. 4.     C. 2.     D. -2.

Lời giải

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12 Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = tan2x + 3

A. cot2x + 2x + C.

B. tanx + x + C.

C. tanx + 2x + C.

D. cotx + x + C.

Lời giải

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 3.sin2x + 5cos2x?

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có: 3sin2x + 5cos2x = 3(sin2x + cos2x) + 2cos2x - 1 + 1

= 3.1 + cos2x + 1 = 4 + cos2x

⇒ Nguyên hàm của hàm số là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = cos4x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 13. Tính I = ∫sin2x.cos4x dx

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số: y = 2sin2x - 3cos3x; biết F(0) = 2. Tìm F(x)

A. –2cos2x - 3sin 3x + C.

B. -cos2x – sin3x + C.

C. -cos2x + sin3x + C.

D. Tất cả sai.

Ta có:

∫(2sin2x - 3cos3x)dx = 2∫sin2x dx - 3∫cos3x dx = -cos2x + sin3x + C.

Do F(0) = 2 nên ta có: F(0) = -1 + 0 + C = 2 ⇔ C = 3.

Vậy F(x) cần tìm là: F(x) = -cos2x + sin3x + C.

Chọn C.

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx.sin5x - 6cosx.cos5x là:

A. –cos6x + C.

B. 6sin6x + C.

C. –6sinx + C.

D. –sin6x + C.

Ta có: 6.sinx.sin5x - 6cosx.cos5x = -6(-sinx.sin5x + cosx.cos5x) = -6.cos6x.

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = -20.sin3x.cos3x + 8sin2x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có: -20sin3x.cos3x = -10.(2.sin3x.cos3x) = -10.sin6x

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2tan2x + 3cot2x?

A. 2tanx - 3cotx + C.

B. –2tanx + 3cotx + C.

C. tanx + cotx - 5x + C.

D. 2tanx – 3cotx – 5x + C.

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x3 + 2tan2x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12 Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = 3sin6x – 4cos8x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số y = 4.cos(-2x) + 4sin(-4x) có dạng F(x) = a.sin2x + b.cos4x. Tính a + b?

A. –1.     B. 3.     C. 2.     D. -2.

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12 Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12 Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số y = tan8x.dx

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫tan8x dx = ∫[tan6x.(1 + tan2x) - tan4(1 + tan2x) + tan2x.(1 + tan2x) - (1 + tan2x) + 1]dx

= ∫(tan6x - tan4x + tan2 - 1)dtanx + ∫dx.

Chọn D.

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số y = cosx.cos3x.cos2x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Do đó, nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác | Toán lớp 12

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12