Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác (cực hay)

Bài viết Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác (cực hay)

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?

A. 7sinx + C.

B. 7cosx + C.

C. –7cosx + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.

Chọn C.

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:

A. –6cosx - 8sinx + C.

B. 6cosx + 8sinx + C.

C. –6cosx + 8sinx + C.

D. 6cosx - 8sinx + C.

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.

Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx

A. 8cosx - 8sinx.

B. -8cosx - 8sinx.

C. 8cosx + 8sinx.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx

Chọn B.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số:

A. tanx + cotx + C.

B. tanx - cotx + C.

C. – tanx + cotx + C.

D. – cotx - tanx + C.

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan²x

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne

Lời giải

Ta có lne = 1 nên nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = sin2x – cos3x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

Chọn C.

Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?

A. –4.     B. 4.     C. 2.     D. -2.

Lời giải

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = tan²x + 3

A. cot2x + 2x + C.

B. tanx + x + C.

C. tanx + 2x + C.

D. cotx + x + C.

Lời giải

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 3.sin²x + 5cos²x?

Lời giải

Ta có: 3sin²x + 5cos²x = 3(sin²x + cos²x) + 2cos²x - 1 + 1

= 3.1 + cos2x + 1 = 4 + cos2x

⇒ Nguyên hàm của hàm số là:

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = cos⁴x

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 13. Tính I = ∫sin²x.cos⁴x dx

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số: y = 2sin2x - 3cos3x; biết F(0) = 2. Tìm F(x)

A. –2cos2x - 3sin 3x + C.

B. -cos2x – sin3x + C.

C. -cos2x + sin3x + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải:

Ta có:

∫(2sin2x - 3cos3x)dx = 2∫sin2x dx - 3∫cos3x dx = -cos2x + sin3x + C.

Do F(0) = 2 nên ta có: F(0) = -1 + 0 + C = 2 ⇔ C = 3.

Vậy F(x) cần tìm là: F(x) = -cos2x + sin3x + C.

Chọn C.

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx.sin5x - 6cosx.cos5x là:

A. –cos6x + C.

B. 6sin6x + C.

C. –6sinx + C.

D. –sin6x + C.

Lời giải:

Ta có: 6.sinx.sin5x - 6cosx.cos5x = -6(-sinx.sin5x + cosx.cos5x) = -6.cos6x.

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn D.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = -20.sin3x.cos3x + 8sin2x

Lời giải:

Ta có: -20sin3x.cos3x = -10.(2.sin3x.cos3x) = -10.sin6x

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2tan²x + 3cot²x?

A. 2tanx - 3cotx + C.

B. –2tanx + 3cotx + C.

C. tanx + cotx - 5x + C.

D. 2tanx – 3cotx – 5x + C.

Lời giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn D.

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x³ + 2tan²x

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = 3sin6x – 4cos8x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?

Lời giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

Chọn C.

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số y = 4.cos(-2x) + 4sin(-4x) có dạng F(x) = a.sin2x + b.cos4x. Tính a + b?

A. –1.     B. 3.     C. 2.     D. -2.

Lời giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số y = tan⁸x.dx

Lời giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫tan⁸x dx = ∫[tan⁶x.(1 + tan²x) - tan⁴(1 + tan²x) + tan²x.(1 + tan²x) - (1 + tan²x) + 1]dx

= ∫(tan⁶x - tan⁴x + tan² - 1)dtanx + ∫dx.

Chọn D.

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số y = cosx.cos3x.cos2x

Lời giải:

Ta có:

Do đó, nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 5cosx – 4sinx.

Bài 3. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = x + cot²x.

Bài 4. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 7sin2x – cos5x + lne.

Bài 5.Tìm nguyên hàm của hàm số: y = tan²x + 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---