Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số - Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = 5x - 2 ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 2. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

A. 2ln|x2 - x| + C.

B. xln|x2 - x| + C.

C. ln|x2 - x| + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = x2 - x khi đó:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 4. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 8. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Đặt t = x + 3 ⇒ x = t - 3 và dx = dt.

Khi đó:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 9. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 10. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

A. 2x - 2ln⁡|x+1| + c.

B. x2 + 2ln⁡|x+1| + c.

C. x2 - 2ln⁡|x+1| + c.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 11. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 12. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có: x3 + x2 - 2x = x(x - 1)(x + 2)

Giả sử:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

⇔ 2x2 - 5x - 3 = A(x - 1).(x + 2) + B.x.(x + 2) + Cx.(x - 1) (*)

* Phương pháp gán các giá trị đặc biệt vào (*)

Thay x = 0 vào (*) suy ra: 2A = 3 ⇒ A = 3/2

Thay x = 1 vào (*) suy ra: 3B = -6 ⇒ B = -2

Thay x = -2n vào (*) suy ra: 6C = 15 ⇒ C = 5/2

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 13. Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 2: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Câu 3: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt t = x3 ⇒ dt = 3x2 dx

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 4: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 5: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = x3 - 3x khi đó:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 6: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 7: Tìm nguyên hàm: Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 8: Một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12 là:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Cho C = 0 ta được một nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 9: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Do đó:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12 Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12 Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 12: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12
Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có: x3 - 5x2 + 6x = x.(x - 2).(x - 3)

+ Giả sử:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

⇔ 5x2 - 6x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + Bx.(x - 3) + Cx(x - 2) (*)

Thay x = 0 vào (*) ta được: 1 = 6A ⇒ A = 1/6

Thay x = 2 vào (*) ta được: 9 = -2B ⇒ B = -9/2

Thay x = 3 vào(*) ta được: 28 = 3C ⇒ C = 28/3

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 13: Tính Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có: x3 - 3x + 2 = (x - 1)2(x + 2)

Giả sử:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

⇒ 3x2 + 3x + 3 = A(x + 2)+ B(x - 1).(x + 2) + C(x - 1)2 (*)

+ Gán các giá trị đặc biệt vào (*):

Cho x = 1 ⇒ 3A = 9 nên A = 3

Cho x = -2 ⇒ 9C = 9 nên C = 1

Cho x = 0 ⇒ 3 = 2A - 2B + C ⇒ B = 2

Vậy:

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12