Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số - Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

y = (2x + 3)5

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = 2x + 3; khi đó (*) trở thành:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính I = ∫(x2 + 2x)(x + 1)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = x2 + 2x ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tính I = ∫x2(x3 - 4)6dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = (2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có: (2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5.dx = (x2 - x3 + 2)5(x2 - x3 + 2)'.dx

= (x2 - x3 + 2)5.d(x2 - x3 + 2)

⇒ I = ∫(2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5 dx = ∫(x2 - x3 + 2)5.d(x2 - x3 + 2) (*)

Đặt u = x2 – x3 + 2; khi đó (*) trở thành:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính I = ∫(x3 + 3x)(x2 + 1)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = x3 + 3x ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 6. Tính I = ∫(x2 - 2)(x3 - 6x)6dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt u = x3 - 6x ta được:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính I = ∫(x - 1)10dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x - 1)(x + 2)(2x + 1)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x2 - 2)2

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x - 2)3000

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt t = 3x - 2 ⇒ dt = 3dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Câu 3: Tính nguyên hàm của hàm số y = (x2 + 2x)(x3 + 3x2 + 1)30

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt t = x3 + 3x2 + 1 ⇒ dt = (3x2 + 6x)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 4: Tính I = ∫x(x - 1)(2x3 - 3x2 - 1)10 dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt t = 2x3 - 3x2 - 1

⇒ dt = 6x2 - 6x = 6x(x - 1) dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 5: Tính Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt t = 1 - x suy ra dt = -dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 6: Tính I = ∫x(x - 1)209dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có: x(x - 1)209 = (x - 1).(x - 1)209 + 1.(x - 1)209 = (x - 1)210 + (x - 1)209

⇒ I = ∫x(x - 1)209dx = ∫[(x - 1)210 + (x - 1)209]dx

Đặt t = x - 1 ⇒ dt = dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 7: Tính I = ∫x(2x - 2)10 dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Đặt t = 2x - 2 ⇒ dt = 2dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số | Toán lớp 12

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12