Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

y = (2x + 3)5

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt u = 2x + 3; khi đó (*) trở thành:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính I = ∫(x2 + 2x)(x + 1)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt u = x2 + 2x ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tính I = ∫x2(x3 - 4)6dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = (2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có: (2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5.dx = (x2 - x3 + 2)5(x2 - x3 + 2)'.dx

= (x2 - x3 + 2)5.d(x2 - x3 + 2)

⇒ I = ∫(2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5 dx = ∫(x2 - x3 + 2)5.d(x2 - x3 + 2) (*)

Đặt u = x2 – x3 + 2; khi đó (*) trở thành:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính I = ∫(x3 + 3x)(x2 + 1)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt u = x3 + 3x ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 6. Tính I = ∫(x2 - 2)(x3 - 6x)6dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt u = x3 - 6x ta được:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 7. Tính I = ∫(x - 1)10dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x - 1)(x + 2)(2x + 1)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Lời giải

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x2 - 2)2

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x - 2)3000

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt t = 3x - 2 ⇒ dt = 3dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 3: Tính nguyên hàm của hàm số y = (x2 + 2x)(x3 + 3x2 + 1)30

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt t = x3 + 3x2 + 1 ⇒ dt = (3x2 + 6x)dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 4: Tính I = ∫x(x - 1)(2x3 - 3x2 - 1)10 dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt t = 2x3 - 3x2 - 1

⇒ dt = 6x2 - 6x = 6x(x - 1) dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 5: Tính Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt t = 1 - x suy ra dt = -dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 6: Tính I = ∫x(x - 1)209dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Ta có: x(x - 1)209 = (x - 1).(x - 1)209 + 1.(x - 1)209 = (x - 1)210 + (x - 1)209

⇒ I = ∫x(x - 1)209dx = ∫[(x - 1)210 + (x - 1)209]dx

Đặt t = x - 1 ⇒ dt = dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 7: Tính I = ∫x(2x - 2)10 dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Đặt t = 2x - 2 ⇒ dt = 2dx

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác