Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Bài viết Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số.

Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx

A. cos⁡(x² - x + 1) + c.

B. -2 cos⁡(x² - x + 1) + c.

C. -1/2 . cos⁡(x² - x + 1).

D. -cos⁡(x² - x + 1).

Lời giải

Ta có: sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1)dx = sin⁡(x² - x + 1).(x² - x + 1)' dx

= sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

Đặt u = x² - x + 1 ta được:

⇒ I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos⁡(x² - x + 1) + c

Chọn D.

Ví dụ 2. Tính I = ∫sin³x.cosx dx

Lời giải

Ta có: sin³x.cosx.dx = sin³x.d(sinx)

Đặt u = sinx ta được:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tính:

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính

A. tanx - x + c.

B. tanx - x² + c.

C. xtanx + x + c.

D. xcotx – x + c.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 8. Tính

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 9. Tính I = ∫tan³xdx

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 10. Tính

A. 3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

B. -3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

C. 4ln|cosx + 2| + 2ln⁡|cosx + 1| + c

D. 2ln|cosx + 2| - 3ln⁡|cosx + 1| + c

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 11. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 12. Tính

Lời giải

Ví dụ 13. Tính

Lời giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính I = ∫cos⁡(x³ + 2).x² dx

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Chọn D.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau I = ∫sin³x.cos⁵xdx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 5: Tính ∫2tan⁡x dx bằng

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 6: Tìm nguyên hàm:

Lời giải:

Ta có: 2sin²x - 3sin2x + 2 = 2sin²x - 6.sinx.cosx + 2(sin²x + cos²x)

= 4sin²x – 6sinx.cosx + 2cos²x = 2(2sin²x – 3sinx.cosx + cos²x)

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm

Lời giải:

Chọn C.

Câu 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

Lời giải:

Ta có: (sinx + 2cosx)³ = cos³x.(tanx + 2)³ nên:

Chọn B.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 + cot²2x)e^cot2xdx

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx.cos2x.dx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Tính

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = tanx

Câu 13: Tính

Lời giải:

Chọn B.

Câu 14: Tính

Lời giải:

Chọn C.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---