Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức - Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số y = 7x6 là:

A. x7 + C.

B. x6 + C.

C. 42x5 + C.

D. 42x7 + C.

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫7x6 dx = x7 + C.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm số là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 4 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. x2 + 4x + C.

B. 2x2 + 4x + C.

C. 2x2 + 4 + C.

D. x2 + 4 + C.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ∫(2x + 4)dx = 2.∫xdx + 4.∫dx = x2 + 4x + C.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 4. Hàm số F(x) = 2x3 + 5x2 - 6x + 10 là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được:

F'(x) = 6x2 + 10x - 6

⇒ hàm số F(x) là họ nguyên hàm của hàm số: F'(x) = 6x2 + 10x - 6

Chọn C.

Ví dụ 5. Họ nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 2).(2x - 3)

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có: (x + 2).(2x - 3) = 2x2 - 3x + 4x – 6 = 2x2 + x - 6

⇒ Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12?

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 8. Cho hàm số:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết F(0) = 10. Tìm hàm F(x).

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Với x ≠ 1 ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

⇒ Hàm số F(x) cần tìm có dạng Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 với C là hằng số.

Lại có F(0) = 10 ⇒ C = 10.

Vậy hàm số F(x) cần tìm là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 9. Biết một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) = 3x2 + 7x - 10. Khi đó, giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 1 là:

A. 10.     B. 13.     C. –9.     D. -11.

Hướng dẫn giải:

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) nên ta có:

f(x) = F'(x) = 6x + 7

⇒ f(1) = 13.

Chọn B.

Ví dụ 10. Cho hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12. Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho.

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12?

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Điều kiện x > 0.

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 13. Tìm nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

A. ln|x| + 2.√x + C.

B. ln|x| - √x + C.

C. ln|x| + 2.x√x + C.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x > 0.

Ta có: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 14. Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 15. Một nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Cho c = 5.

Chọn D.

Ví dụ 16. Kết quả tính Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 bằng:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nên:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 17. Họ nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số y = 4x3 là:

A. x5 + C.

B. x4 + C.

C. 12x2 + C.

D. 4x2 + C.

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 2: Tính nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f(x) = -4x + 4 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. -4x2 + 4x + C.

B. 2x2 + 4x + C.

C. -2x2 + 4x + C.

D. x2 + 4 + C.

Ta có: ∫(-4x + 4)dx = -4.∫xdx + 4.∫dx = -2x2 + 4x + C.

Chọn C.

Câu 4: Hàm số F(x) = -4x3 + 2x2 + 10x + 8 là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được:

F'(x) = -12x2 + 4x + 10

⇒ Hàm số F(x) là họ nguyên hàm của hàm số: F'(x) = -12x2 + 4x + 10

Chọn C.

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x - 1)(2x + 1)

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Ta có: (2x - 1).(2x + 1) = 4x2 - 1

⇒ Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 7: Tính Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 ?

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 8: Cho hàm số:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết F(0) = 8. Tìm hàm F(x).

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ 3.

Với x ≠ 2; 3 ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

⇒ Hàm số F(x) cần tìm có dạng:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

với C là hằng số.

Lại có F(0) = 8 ⇒ C = 8.

Vậy hàm số F(x) cần tìm là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 9: Biết một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) = 4x6 + 7x2 - 10x. Khi đó, giá trị của hàm số y = f(x) tại x = -1 là:

A. 36.

B. 48.

C. –48.

D. -36.

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) nên ta có:

f(x) = F'(x) = 24x5 + 14x - 10

⇒ f(-1) = -48.

Chọn C.

Câu 10: Cho hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12. Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho.

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 ?

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Điều kiện: x > 0.

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12 Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Điều kiện: x > 0.

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số: Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Suy ra:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn A.

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Ta có:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Suy ra:

Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức | Toán lớp 12

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12