Cách tìm nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức (cực hay)

Bài viết Cách tìm nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức.

Cách tìm nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức (cực hay)

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số y = 7x⁶ là:

A. x⁷ + C.

B. x⁶ + C.

C. 42x⁵ + C.

D. 42x⁷ + C.

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫7x⁶ dx = x⁷ + C.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm của hàm số:

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm số là:

Chọn B.

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 4 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. x² + 4x + C.

B. 2x² + 4x + C.

C. 2x² + 4 + C.

D. x² + 4 + C.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ∫(2x + 4)dx = 2.∫xdx + 4.∫dx = x² + 4x + C.

Chọn A.

Ví dụ 4. Hàm số F(x) = 2x³ + 5x² - 6x + 10 là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được:

F'(x) = 6x² + 10x - 6

⇒ hàm số F(x) là họ nguyên hàm của hàm số: F'(x) = 6x² + 10x - 6

Chọn C.

Ví dụ 5. Họ nguyên hàm của hàm số: là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 2).(2x - 3)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (x + 2).(2x - 3) = 2x² - 3x + 4x – 6 = 2x² + x - 6

⇒ Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 8. Cho hàm số:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết F(0) = 10. Tìm hàm F(x).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Với x ≠ 1 ta có:

Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

⇒ Hàm số F(x) cần tìm có dạng với C là hằng số.

Lại có F(0) = 10 ⇒ C = 10.

Vậy hàm số F(x) cần tìm là:

Chọn D.

Ví dụ 9. Biết một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) = 3x² + 7x - 10. Khi đó, giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 1 là:

A. 10.     B. 13.     C. –9.     D. -11.

Hướng dẫn giải:

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) nên ta có:

f(x) = F'(x) = 6x + 7

⇒ f(1) = 13.

Chọn B.

Ví dụ 10. Cho hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số: ?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện x > 0.

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 13. Tìm nguyên hàm của hàm số:

A. ln|x| + 2.√x + C.

B. ln|x| - √x + C.

C. ln|x| + 2.x√x + C.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x > 0.

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 14. Nguyên hàm của hàm số là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 15. Một nguyên hàm của hàm số là:

Hướng dẫn giải:

Cho c = 5.

Chọn D.

Ví dụ 16. Kết quả tính bằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Nên:

Chọn D.

Ví dụ 17. Họ nguyên hàm của hàm số là:

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số y = 4x³ là:

A. x⁵ + C.

B. x⁴ + C.

C. 12x² + C.

D. 4x² + C.

Lời giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 2: Tính nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Nguyên hàm của hàm số là:

Chọn B.

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f(x) = -4x + 4 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. -4x² + 4x + C.

B. 2x² + 4x + C.

C. -2x² + 4x + C.

D. x² + 4 + C.

Lời giải:

Ta có: ∫(-4x + 4)dx = -4.∫xdx + 4.∫dx = -2x² + 4x + C.

Chọn C.

Câu 4: Hàm số F(x) = -4x³ + 2x² + 10x + 8 là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Lời giải:

Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được:

F'(x) = -12x² + 4x + 10

⇒ Hàm số F(x) là họ nguyên hàm của hàm số: F'(x) = -12x² + 4x + 10

Chọn C.

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số là:

Lời giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x - 1)(2x + 1)

Lời giải:

Ta có: (2x - 1).(2x + 1) = 4x² - 1

⇒ Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Chọn C.

Câu 7: Tính ?

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 8: Cho hàm số:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết F(0) = 8. Tìm hàm F(x).

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ 3.

Với x ≠ 2; 3 ta có:

Nguyên hàm của hàm số f(x) là:

⇒ Hàm số F(x) cần tìm có dạng:

với C là hằng số.

Lại có F(0) = 8 ⇒ C = 8.

Vậy hàm số F(x) cần tìm là:

Chọn D.

Câu 9: Biết một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) = 4x⁶ + 7x² - 10x. Khi đó, giá trị của hàm số y = f(x) tại x = -1 là:

A. 36.

B. 48.

C. –48.

D. -36.

Lời giải:

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) nên ta có:

f(x) = F'(x) = 24x⁵ + 14x - 10

⇒ f(-1) = -48.

Chọn C.

Câu 10: Cho hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho.

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn C.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số ?

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

Suy ra:

Chọn A.

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Ta có:

Suy ra:

Chọn D.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính nguyên hàm: $\int \frac{2x+1}{{\left(x+2\right)}^3}dx$.

Bài 2. Tính nguyên hàm: $\int \frac{1}{3x+2}dx$.

Bài 3. Tính nguyên hàm: $\int \frac{x^3+3x-1}{x+2}dx$.

Bài 4. Tính nguyên hàm: $\int \frac{x^2}{x^4-1}dx$.

Bài 5. Tính nguyên hàm: $\int \frac{2x+3}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1}dx$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---