Phương trình logarit chứa tham số - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương trình logarit

Phương trình logarit chứa tham số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

♦ Dạng toán Tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước:

    • Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

    • Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

    • Bước 4. Kết luận các giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

♦ Lưu ý

    • Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với lưu ý sau.

♦ Nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hoặc sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m=0 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Khi đó phương trình trở thành t2+t+m=0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Bài 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.

Hướng dẫn:

Điều kiện: 5x-1 > 0 ⇔ x > 0

log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m

⇔ log2(5x-1) 1/2 log2(2(5x-1))=m

⇔ log2(5x-1)(1+log2(5x-1))=2m

⇔ log22 (5x-1)+log2(5x-1)=2m

Đặt log2(5x-1)=t. Khi đó phương trình đã cho trở thành t2+t-2m=0    (*)

Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình (*)có nghiệm

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình có nghiệm thực x ≥ 1 thì m ≥ 3.

Bài 3: Tìm tham số thực m để phương trình Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án có nghiệm thực duy nhất.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ log(mx)=2log(x+1)

⇔ log(mx)=log(x+1)2

⇔ mx=(x+1)2 ⇔ x2+(2-m)x+1=0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*)có một nghiệm thỏa mãn

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

TH1: phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn -1 < x1 ≤ x2:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

TH2: phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn x1 < -1 < x2: af(-1) < 0 ⇔ m < 0.

Các giá trị m cần tìm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tham số thực m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng (4;6).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó phương trình đã cho trở thành: mt2-2(m2+1)t+m3+m+2 = 0 (*).

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy 0 < m ≠ 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm trong đoạn[1;3√3 ] .

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Điều kiện: x > 0.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2+t-2m-2 = 0 ⇔ t2+t=2m+2 (*).

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;2].

Xét hàm số f(t)=t2+t trên đoạn[1;2] . Ta có f'(t) = 2t+1 > 0, ∀t ∈ [1;2]

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Để (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;2] thì 2 < 2m+2 < 6 ⇔ 0 < m < 2

Bài 3: Tìm tham số m để (m-4)log22 x-2(m-2)log2 x+m-1=0 có hai nghiệm thỏa 1 < x1 < 2 < x2

Đặt log2 x=t, phương trình đã cho trở thành:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Từ BBT ⇒ m > 4.

Bài 4: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực thuộc [32;+∞].

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt log2 x=t, phương trình đã cho trở thành:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt t ≥ 5:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bảng biến thiên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Căn cứ BBT suy ra giá trị cần tìm là m ∈ (1;√17/2].

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 (mx-x2 )=2 vô nghiệm?

log2 mx-x2 = 2 ⇔ -x2+mx-4 = 0 (*)

Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ⇔ m2-16 < 0 ⇔ -4 < m < 4

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log42 x+3log4 x+2m-1=0 có 2 nghiệm phân biệt?

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 ⇔ 13-8m > 0 ⇔ m < 13/8

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-logarit.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác