Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit - Toán lớp 12

---

---

Toán lớp 12: Phương trình logarit

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x)    (*)

    • Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x₀ của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C₁) và y = g(x)(C₂). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C₁) và (C₂) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x₀. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

    • Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x₁; x₂ của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

    • Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

    • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log₃ (x+2) + log₇ (3x+4) = 2

Hướng dẫn:

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log₃(x+2) + log₇(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình log₂ (x²-x-6)+x=log₂ (x+2)+4

Hướng dẫn:

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log₂(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇔ log₂ (x²-x+1)-log₂ (2x²-4x+3) = x²-3x+2 ⇔ log₂ (x²-x+1) + (x²-x+1) = log₂ (2x²-4x+3)+(2x²-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log₂ t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x²-x+1) = f(2x²-4x+3) ⇒ x²-x+1 = 2x²-4x+3 ⇔ x²-3x+2=0

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình log²₃ x + (x-12)log₃ x + 11 - x = 0

Hiển thị đáp án

Điều kiện: x > 0

Đặt log₃ x = t . Khi đó phương trình đã cho trở thành

Với t=1 ⇒ x=3.

Với t=11-x ⇒ log₃ x = 11-x. Phương trình này có một nghiệm là x = 9; vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có duy nhất môt nghiệm x = 9.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {3;9}

Bài 2: Giải phương trình log₃ (2x+1) = x

Hiển thị đáp án

Đặt log₃ (2x+1) = x ⇔ 3^x = 2x+1 ⇔ 3^x - 2x + 1 = 0(*).

Phương trình (*) có hai nghiệm là x=0; x=1

Xét hàm số f(x) = 3^x - 2x + 1.

Ta có f'(x) = 3^x ln3 - 2; f''(x) = 3^x ln² 3 > 0 ⇒ f'(x) là hàm đồng biến trên R. Suy ra phương trình f'(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác ta có f'(0).f'(1) > 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm và f'(x) đổi dấu khi qua nghiệm đó, nên phương trình f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {0;1}

Bài 3: Giải phương trình log₂ (2^x+1) + log₃ (4^x+2) = 2.

Hiển thị đáp án

+) x = 0 là một nghiệm của phương trình.

+) Với x > 0,ta có: 2^x+1 > 2⁰+1=2 ⇒ log₂ (2^x+1) > log₂ 2 = 1

4^x+2 > 4⁰+2=3 ⇒ log₃ (4^x+1) > log₃ 3=1

⇒ VT = log₂ (2^x+1)+log₃ (4^x+1) > 2 = VP

+) Với x ≤ 0,ta có: 2^x+1 < 2⁰+1=2 ⇒ log₂ (2^x+1) < log₂ 2 = 1

4^x+2 < 4⁰+2 = 3 ⇒ log₃ (4^x+1) < log₃ 3 = 1

⇒ VT = log₂ (2^x+1)+log₃ (4^x+1) < 2 = VP

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0.

Bài 4: Giải phương trình: log₃ (x²+x+1) - log₃ x = 2x-x²

Hiển thị đáp án

Điều kiện: x > 0.

Phương trình:

Xét hàm số: f(x) = 2x-x²; f'(x) = 2-2x; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 .

BBT

Căn cứ BBT f(x) ≤ 1. Hay VP ≤ 1.

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Vậy nghiệm của phương trình là: x=1.

Bài 5: Giải phương trình log_x (x+1) = log1,5

Hiển thị đáp án

+) Với x ∈ (0;1): x+1 > 1 ⇒ VT = log_x (x+1) < log_x 1 = 0

VP = log1,5 > 0. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (0;1).

+) Với x ∈ (1;+∞): x+1 > x ⇒ VT = log_x (x+1) > log_x x = 1

VP = log1,5 < 1. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (1;+∞).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6: Giải phương trình

Hiển thị đáp án

Ta có:

Vậy phương trình tương đương với

Bài 7: Giải phương trình ln(sin² x) - 1 + sin³ x = 0.

Hiển thị đáp án

Điều kiện: sinx ≠ 0.

ln(sin² x) - 1 + sin³ x=0 ⇔ ln(sin² x)-1 = 1-sin³ x

Ta có: VT = ln(sin² x)-1 ≤ ln1-1=0.

VP = 1-sin³ x ≥ 0

Vậy phương trình tương đương với

Bài 8: Giải phương trình log₂ (x-2) = log₃ (x-1).

Hiển thị đáp án

Điều kiện của phương trình là

Đặt log₂ (x-2) = log₃ (x-1) = t

Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của(*).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {4}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
• Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Trắc nghiệm sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
• Dạng 5: Phương trình logarit chứa tham số
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit chứa tham số

---

---

---