Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương trình logarit

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x)    (*)

    • Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

    • Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

    • Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

    • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Bài 3: Giải phương trình

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình log23 x + (x-12)log3 x + 11 - x = 0

Điều kiện: x > 0

Đặt log3 x = t . Khi đó phương trình đã cho trở thành

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=1 ⇒ x=3.

Với t=11-x ⇒ log3 x = 11-x. Phương trình này có một nghiệm là x = 9; vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có duy nhất môt nghiệm x = 9.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {3;9}

Bài 2: Giải phương trình log3 (2x+1) = x

Đặt log3 (2x+1) = x ⇔ 3x = 2x+1 ⇔ 3x - 2x + 1 = 0(*).

Phương trình (*) có hai nghiệm là x=0; x=1

Xét hàm số f(x) = 3x - 2x + 1.

Ta có f'(x) = 3x ln3 - 2; f''(x) = 3x ln2 3 > 0 ⇒ f'(x) là hàm đồng biến trên R. Suy ra phương trình f'(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác ta có f'(0).f'(1) > 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm và f'(x) đổi dấu khi qua nghiệm đó, nên phương trình f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {0;1}

Bài 3: Giải phương trình log2 (2x+1) + log3 (4x+2) = 2.

+) x = 0 là một nghiệm của phương trình.

+) Với x > 0,ta có: 2x+1 > 20+1=2 ⇒ log2 (2x+1) > log2 2 = 1

4x+2 > 40+2=3 ⇒ log3 (4x+1) > log3 3=1

⇒ VT = log2 (2x+1)+log3 (4x+1) > 2 = VP

+) Với x ≤ 0,ta có: 2x+1 < 20+1=2 ⇒ log2 (2x+1) < log2 2 = 1

4x+2 < 40+2 = 3 ⇒ log3 (4x+1) < log3 3 = 1

⇒ VT = log2 (2x+1)+log3 (4x+1) < 2 = VP

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0.

Bài 4: Giải phương trình: log3 (x2+x+1) - log3 x = 2x-x2

Điều kiện: x > 0.

Phương trình:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét hàm số: f(x) = 2x-x2; f'(x) = 2-2x; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 .

BBT

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Căn cứ BBT f(x) ≤ 1. Hay VP ≤ 1.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy nghiệm của phương trình là: x=1.

Bài 5: Giải phương trình logx (x+1) = log1,5

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+) Với x ∈ (0;1): x+1 > 1 ⇒ VT = logx (x+1) < logx 1 = 0

VP = log1,5 > 0. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (0;1).

+) Với x ∈ (1;+∞): x+1 > x ⇒ VT = logx (x+1) > logx x = 1

VP = log1,5 < 1. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (1;+∞).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6: Giải phương trình

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Giải phương trình ln(sin2 x) - 1 + sin3 x = 0.

Điều kiện: sinx ≠ 0.

ln(sin2 x) - 1 + sin3 x=0 ⇔ ln(sin2 x)-1 = 1-sin3 x

Ta có: VT = ln(sin2 x)-1 ≤ ln1-1=0.

VP = 1-sin3 x ≥ 0

Vậy phương trình tương đương với

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Giải phương trình log2 (x-2) = log3 (x-1).

Điều kiện của phương trình là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đặt log2 (x-2) = log3 (x-1) = t

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của(*).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {4}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-trinh-logarit.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác