Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit

Chuyên đề: Phương trình logarit

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit

Phương pháp giải

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x)    (*)

    • Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x₀ của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C₁) và y = g(x)(C₂). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C₁) và (C₂) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x₀. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

    • Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x₁; x₂ của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

    • Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

    • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log₃ (x+2) + log₇ (3x+4) = 2

Hướng dẫn:

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log₃(x+2) + log₇(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình log₂ (x²-x-6)+x=log₂ (x+2)+4

Hướng dẫn:

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log₂(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇔ log₂ (x²-x+1)-log₂ (2x²-4x+3) = x²-3x+2 ⇔ log₂ (x²-x+1) + (x²-x+1) = log₂ (2x²-4x+3)+(2x²-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log₂ t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x²-x+1) = f(2x²-4x+3) ⇒ x²-x+1 = 2x²-4x+3 ⇔ x²-3x+2=0

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Bài tập giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
• Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
• Bài tập giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
• Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Bài tập giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
• Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
• Bài tập sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
• Trắc nghiệm sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
• Dạng 5: Phương trình logarit chứa tham số
• Bài tập giải phương trình logarit chứa tham số
• Trắc nghiệm giải phương trình logarit chứa tham số