Giáo án Toán 12 Kết nối tri thức Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Mục tiêu: HS tính được kích thước vật thể sau khi mô hình hóa, từ đó dẫn tới nhu cầu hình thành biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.

Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu.

Sản phẩm: Câu trả lời của HS.

Tổ chức hoạt động: HS làm việc cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

Tình huống mở đầu (3 phút)

- GV mô tả tình huống và có thể yêu cầu HS dựa vào các tính chất hình học của lăng trụ tam giác đứng để xác định toạ độ các đỉnh của hình lăng trụ.

- Đặt vấn đề: Nếu như chúng ta biết toạ độ các điểm trong không gian, liệu chúng ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm đó hay không? Ta sẽ đi tìm hiểu bài học ngày hôm nay.

HS xác định toạ độ các đỉnh của hình lăng trụ và suy nghĩ về tình huống.

+ Mục đích của phần này là để HS tính toán các kích thước của vật thể sau khi đã mô hình hoá, từ đó dẫn tới nhu cầu hình thành biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Mục tiêu: Giúp HS nhận biết được các biểu thức toạ độ của phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số.

Nội dung: HS thực hiện HĐ1, HĐ2 và các ví dụ.

Sản phẩm: Lời giải của các câu hỏi trong hoạt động và ví dụ.

Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

1. Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

HĐ1 (6 phút)

- Trước khi thực hiện HĐ1, GV yêu cầu HS nhắc lại biểu thức toạ độ của các phép toán tương ứng trong mặt phẳng.

- GV cho HS đọc yêu cầu và thực hiện HĐ1 trong 3 phút và chọn một HS đứng tại chỗ trả lời. Sau đó GV cho HS khác nhận xét và chốt lại kết quả.

- Từ HĐ1, GV có thể yêu cầu HS dự đoán biểu thức toạ độ của các phép toán cộng/trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ.

- GV viết bảng hoặc trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức. GV có thể nhấn mạnh sự tương tự giữa các biểu thức toạ độ này với các biểu thức toạ độ trong mặt phẳng để HS dễ dàng ghi nhớ các công thức.

- HS thực hiện HĐ1 theo hướng dẫn của GV.

HD.

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k};$

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}.$

b) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+14\overrightarrow{k}$ nên toạ độ của $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là (2; 3; 14);

$2\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+10\overrightarrow{k}$ nên toạ độ của $2\overrightarrow{a}$là (2; 0; 10).

- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

+ HĐ1 giúp HS giải thích được biểu thức toạ độ của phép cộng/trừ hai vectơ và phép nhân một số với một vectơ trong trường hợp cụ thể, từ đó thừa nhận biểu thức toạ độ của các phép toán trên trong trường hợp tổng quát.

+ Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học.

Câu hỏi (2 phút)

- GV gọi HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi, các HS khác theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và tổng kết.

-GV gợi ý HS viết $-\overrightarrow{a}$ thành (-1)$\overrightarrow{a}$ và áp dụng biểu thức toạ độ của phép nhân một số với một vectơ.

- HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi.

- Đáp án: $-\overrightarrow{a}$ có toạ độ là (-x; -y; -z).

Qua phần câu hỏi, HS xác định được toạ độ của vectơ đối của một vectơ.

Nhận xét (4 phút)

GV có thể yêu cầu HS nhắc lại điều kiện để hai vectơ (trong không gian) cùng phương, từ đó sử dụng biểu thức toạ độ của phép nhân một số với một vectơ để suy ra kết quả. Từ đó, ta rút ra nhận xét.

- Hai vectơ

$\overrightarrow{a}(x;y;z),$

$\overrightarrow{b}(x\text{'};y\text{'};z\text{'})(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0})$

cùng phương khi tồn tại số thực k sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$, khi đó

HS nhận biết được dấu hiệu (ở dạng toạ độ) để hai vectơ cùng phương.

Ví dụ 1 (5 phút)

GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 3 phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và chốt kiến thức.

- Các thành phần không thể thiếu

- HS thực hiện Ví dụ 1 và ghi bài.

+ Mục đích của phần này là để HS sử dụng được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ vừa học để tìm toạ độ của một số vectơ cụ thể.

+ Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học, năng lực tư duy và lập luận toán học.

Luyện tập 1 (5 phút)

GV tổ chức cho HS làm việc theo cặp trong 2 phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và tổng kết.

- HS thực hiện Luyện tập 1 và ghi bài.

- Đáp án:

$\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(3;7;14)$.

+ Mục đích của phần này là để HS luyện tập tìm toạ độ của một số vectơ cụ thể sử dụng phép cộng và trừ vectơ.

+ Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học, năng lực tư duy và lập luận toán học.

HĐ2 (6 phút)

- GV cho HS đọc yêu cầu và thực hiện HĐ2 theo cặp trong 3 phút và chọn HS lên bảng trình bày. Sau đó GV cho HS khác nhận xét và chốt lại kết quả.

- Từ HĐ2, HS suy ra được biểu thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB, trọng tâm của tam giác ABC.

- GV trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.

HĐ2.

a) Gọi toạ độ của M là (x; y; z) thì $\overrightarrow{OM}$ = (x;y;z).

Ta cũng có $\overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A)$ và $\overrightarrow{OB}=(x_B;y_B;z_B)$ nên

$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

$=(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$.

Từ đẳng thức $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ suy ra $x_M=\frac{x_A+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$ và $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$

b) Tương tự câu a.

- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

+ Thông qua HĐ2, HS thiết lập được biểu thức toạ độ của trung điểm đoạn thẳng và biểu thức toạ độ của trọng tâm tam giác.

+ Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học, năng lực tư duy và lập luận toán học.